高考数学二轮复习微点2 阿波罗尼斯圆的逆用（2份打包，原卷版+解析版）

专题1  阿波罗尼斯圆及其应用  微点2 阿波罗尼斯圆的逆用

专题1  阿波罗尼斯圆及其应用

微点2  阿波罗尼斯圆的逆用

【微点综述】

当题目给了阿氏圆和一个定点，我们可以通过下述方法快速找到另一个定点，便于计算，令圆O与直线OA相交于M，N两点设点E为OA上一点，且满足，由阿氏圆定理，，则，∴①

同理，∴②

由①②消OA得：，即，即，由①②消R得：，

因此，满足条件的点E在阿氏圆的圆心和定点A的连线上，且或．

【典例刨析】

例1．（2022·湖南·临澧一中高二开学考试）

1．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ＞0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O：x2＋y2＝1上的动点M和定点A，B(1，1)，则2|MA|＋|MB|的最小值为（    ）

A． B．

C． D．

2．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，圆、点和点，M为圆O上的动点，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

3．古希腊数学家阿波罗尼斯（约前262—前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，圆上有且仅有一个点P满足，则r的取值为（    ）

A．1 B．5 C．1或5 D．不存在

4．已知点P是圆上的动点，，O为坐标原点，则的最小值为______．

5．已知圆C：，定点P是圆C上的动点，，O是坐标原点，则的最小值为______．

例6．（2022江西·南昌八中高二月考）

6．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，圆上有且仅有一个点满足，则的取值为_______.

【针对训练】

7．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一.指的是：已知动点与两定点的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，其中，定点为轴上一点，定点的坐标为，若点，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

8．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两个定点A､B的距离之比为λ(λ>0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若已知圆O：x2+y2=1和点，点B(4，2)，M为圆O上的动点，则2|MA|+|MB|的最小值为___________

（2022安徽·合肥六中高二期中）

9．古希腊数学家阿波罗尼奥斯约公元前262~公元前190年的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知圆和，点，为圆上动点，则的最小值为_______.

（2022上海金山中学高二期末）

10．古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足（其中是正常数，且），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点，P是圆上的动点，则的最小值为____________

11．阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点、间的距离为，动点满足， 求的最小值．

（2022·江苏省江阴高级中学高三开学考试）

12．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；若点为抛物线 上的动点，在轴上的射影为，则的最小值为______.

参考答案：

1．C

【分析】讨论点M在x轴上与不在x轴上两种情况，若点M不在x轴上，构造点K(－2，0)，可以根据三角形的相似性得到，进而得到2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|，最后根据三点共线求出答案.

【详解】①当点M在x轴上时，点M的坐标为(－1，0)或(1，0)．

若点M的坐标为(－1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋；

若点M的坐标为(1，0)，则2|MA|＋|MB|＝2×＋．

②当点M不在x轴上时，取点K(－2，0)，如图，

连接OM，MK，因为|OM|＝1，|OA|＝，|OK|＝2，

所以．

因为∠MOK＝∠AOM，

所以△MOK∽△AOM，则，

所以|MK|＝2|MA|，则2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|．

易知|MB|＋|MK|≥|BK|，

所以|MB|＋|MK|的最小值为|BK|．

因为B(1，1)，K(－2，0)，

所以(2|MA|＋|MB|)min

＝|BK|＝．

又<1＋<4，所以2|MA|＋|MB|的最小值为．

故选：C

2．B

【分析】令，则，由阿氏圆的定义可知：，由数形结合可知的最大值.

【详解】设，令，则，

由题知圆是关于点A、C的阿波罗尼斯圆，且，

设点，则，

整理得：，

比较两方程可得：，，，即，，点，

当点M位于图中的位置时，的值最大，最大为.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线和圆的位置关系，圆上动点问题，解题的关键是通过数形结合知两线段距离差的最值是在两端点为起点的的射线上，属于一般题.

3．C

【分析】直接设点P，根据可以求得点P的轨迹为圆，根据题意两圆有且仅有一个公共点，则两圆外切或内切，可得或．

【详解】设点P

∵即

整理得：

∴点P的轨迹为以为圆心，半径的圆，

∵圆的为圆心，半径的圆

由题意可得：或

∴或

故选：C．

4．10

【分析】解法1：借助阿波罗尼斯圆的逆用，得到，进而根据三点共线即可求出最值；

解法2：将转化为，进而结合进而根据三点共线即可求出最值．

【详解】解法1：阿波罗尼斯圆的逆用

假设，使得，

则，

从而可得，

从而可知圆心坐标为，

所以，，解得，即．

所以

．

即的最小值为10．

解法2：代数转逆法

由，得．

表示的是动点与和之间的距离之和，当且仅当三点共线时，和最小，

故．

5．

【分析】解法1：阿波罗尼斯圆的逆用，设，使得，利用两点间的距离公式化简可求得，得直线与圆C相交，则，从而可求得其最小值，解法2：代数转逆法，，可得当点共线，且在之间时取得最小值.

【详解】解：解法1：阿波罗尼斯圆的逆用

设，使得，

则，

整理，得，

即

所以，，从而．

经验证，知直线与圆C相交．

从而

．

所以的最小值为．

解法2：代数转逆法

．

所以的最小值为．

故答案为：

【点睛】关键点点睛：此题考查点与圆的位置关系，考查阿波罗尼斯圆的逆用，解题的关键是根据阿波罗尼斯圆，设，使得，化简后将问题转化为，考查数学转化思想，属于较难题.

6．

【分析】设动点，根据题意求出点的轨迹方程可知轨迹为圆，由题意可知两圆相外切，再讨论内切和外切列方程即可得求解.

【详解】设动点，由，得，

整理得，即点的轨迹方程为：，

又因为圆上有且仅有一个点满足，

所以两圆相切，

圆的圆心坐标为，半径为2，

圆C：的圆心坐标为，半径为，两圆的圆心距为3，

当两圆外切时，，得，因为，故舍去，

当两圆内切时，，，得．

故答案为：.

7．D

【分析】设，，根据和求出a的值，由，两点之间直线最短，可得的最小值为，根据坐标求出即可.

【详解】设，，所以，由，

所以，因为且，所以，

整理可得，又动点M的轨迹是，所以，

解得，所以，又，

所以，

因为，所以的最小值，

当M在位置或时等号成立.

故选：D

8．

【分析】设M(x，y)，令2|MA|=|MC|，根据圆x2+y2=1是关于点A､C的阿波罗尼斯圆，且，

求得点C坐标，再连接BC，由直线段最短求解.整理得：

【详解】设M(x，y)，令2|MA|=|MC|，则，

由题知圆x2+y2=1是关于点A､C的阿波罗尼斯圆，且，

设点C(m，n)，则，

整理得：，

比较两方程可得：，，，

即m=-2，n=0，所以点C(-2，0)，

如图所示：

当点M位于图中M1､M2的位置时，2|MA|+|MB|=|MC|+|MB|的值最小，最小为.

故答案为：

9．

【分析】根据阿波罗尼斯圆的性质，结合两点间线段最短进行求解即可.

【详解】令，则.

由题意可得圆是关于点A，C的阿波罗尼斯圆，且

设点C坐标为，则

整理得

由题意得该圆的方程为，

所以，解得

所以点C的坐标为，所以，

因此当点M、C、B在同一条直线上时，的值最小，且为，

故最小为.

故答案为：

10．

【分析】在轴上取，由可得，可得，利用两点间距离公式可求得结果.

【详解】如图，在轴上取点，

，，，，

（当且仅当为与圆交点时取等号），

.

故答案为：.

11．

【分析】以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设点，根据已知条件可得出点的轨迹方程，利用代数法可得出，数形结合可求出的最小值，即可得解.

【详解】以经过、的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，

则、，设点，

因为，即，整理可得，

即，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

则，

当点为线段与圆的交点时，取得最小值，

所以，.

12．     ；     ##.

【分析】设点坐标，根据题意写出关于与的关系式化简即可；

由，，代入中，即可取出最小值.

【详解】设点，，

 .

抛物线的焦点为点，由题意知，，

，.

故答案为：；.