高考数学二轮复习微点1 阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用 （2份打包，原卷版+解析版）

专题1  阿波罗尼斯圆及其应用  微点1 阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用

专题1  阿波罗尼斯圆及其应用

微点1  阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用

【微点综述】

动点的轨迹问题是高考中的一个热点和重点，尤其是阿波罗尼斯圆在高考中频频出现．处理此类问题的关键是通过建立直角坐标系，寻找动点满足的条件，得出动点的轨迹是一个定圆，从而把问题转化为直线和圆、圆和圆的位置关系问题，并在解决问题的过程中感悟转化与化归、化繁为简的数学思想方法．

阿波罗尼斯（Apollonius约公元前262~192），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠．阿波罗尼斯年青时到亚历山大城跟随欧几里得的后继者学习，和当时的大数学家合作研究．他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一．

1、阿波罗尼斯圆的定义

在平面上给定两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（时点的轨迹是线段的中垂线）

2、阿波罗尼斯圆的证明

【定理1】设．若（且），则点的轨迹方程是，其轨迹是以为圆心，半径为的圆．

证明：由及两点间距离公式，可得，

化简可得①，

（1）当时，得，此时动点的轨迹是线段的垂直平分线；

（2）当时，方程①两边都除以得，化为标准形式即为：

，∴点的轨迹方程是以为圆心，半径为的圆．

图①                                 图②                              图③

阿波罗尼斯圆的另一种形式：

【定理2】为两已知点，分别为线段的定比为的内外分点，则以为直径的圆上任意点到两点的距离之比为．

证明：以为例．如图②，设，，则，

．过作的垂线圆交于两点，由相交弦定理及勾股定理得，于是．

同时在到两点距离之比等于的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，圆上任意一点到两点的距离之比恒为．同理可证的情形．

3、阿波罗尼斯圆的相关性质

由上面定理2的证明可得如下的性质：

性质1：当时，点B在圆内，点A在圆外；当时，点A在圆内，点B在圆外．

性质2：因，故是圆的一条切线．

若已知圆及圆外一点A，可以作出与之对应的点B，反之亦然．

性质3：所作出的阿波罗尼斯圆的直径为，面积为．

性质4：过点作圆的切线（为切点），则分别为的内、外角平分线．

性质5：阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分和外分所得的两个分点，如图所示，是的内分点，是的外分点，此时必有平分，平分的外角．

证明：如图①，由已知可得（且），，又，

平分．由等角的余角相等可得，平分的外角．

性质6：过点作圆不与重合的弦，则AB平分．

证明：如图④，连结，由已知（且），又，平分．

平分．

【典例刨析】

例1．（2022·河北盐山中学高二期中）

1．已知两定点，，如果动点满足，则点的轨迹所包围的图形的面积等于___________.

例2．（2022四川涪陵月考）

2．若满足条件，则面积的最大值为__________．

3．已知圆O：，点，在直线OB上存在定点A（不同于点B），满足对于圆O上任意一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点A的坐标，并求．

4．在平面直角坐标中，已知点，若直线上存在点使得，则实数的取值范围是_______．

5．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两个定点，的距离之比为（，且），那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点，间的距离为，动点满足，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

例6．（2022四川·成都外国语学校高二月考）

6．古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【针对训练】

7．在平面直角坐标系中，已知圆，，动点在直线上，过点分别作圆的切线，切点分别为，若满足的点有且只有两个，则实数的取值范围是________．

8．已知是平面上两个定点，平面上的动点满足，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为______．

9．已知点，，，点D是直线AC上的动点，若恒成立，则最小正整数__________.

10．在平面直角坐标系中，已知圆：，圆：，动点在直线：上（），过分别作圆，的切线，切点分别为，，若满足的点有且只有一个，则实数的值为______.

11．在平面直角坐标系中，是两定点，点是圆：上任意一点，满足：，则的长为.

（2022辽宁·高二期中）

12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，动点满足.设点的轨迹为.

(1)求曲线的方程；

(2)若曲线和无公共点，求的取值范围.