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    专题1  阿波罗尼斯圆及其应用  微点1 阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用

    专题1  阿波罗尼斯圆及其应用

    微点1  阿波罗尼斯圆介绍及其直接应用

    【微点综述】

    动点的轨迹问题是高考中的一个热点和重点,尤其是阿波罗尼斯圆在高考中频频出现.处理此类问题的关键是通过建立直角坐标系,寻找动点满足的条件,得出动点的轨迹是一个定圆,从而把问题转化为直线和圆、圆和圆的位置关系问题,并在解决问题的过程中感悟转化与化归、化繁为简的数学思想方法.

    阿波罗尼斯(Apollonius约公元前262~192),古希腊数学家,与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠.阿波罗尼斯年青时到亚历山大城跟随欧几里得的后继者学习,和当时的大数学家合作研究.他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.

    1、阿波罗尼斯圆的定义

    在平面上给定两点,设点在同一平面上且满足,当时,点的轨迹是个圆,称之为阿波罗尼斯圆.(点的轨迹是线段的中垂线)

    2、阿波罗尼斯圆的证明

    【定理1】设.若),则点的轨迹方程是,其轨迹是以为圆心,半径为的圆.

    证明:由及两点间距离公式,可得

    化简可得

    1)当时,得,此时动点的轨迹是线段的垂直平分线;

    2)当时,方程两边都除以,化为标准形式即为:

    的轨迹方程是以为圆心,半径为的圆.

                                                                  

    阿波罗尼斯圆的另一种形式:

    【定理2为两已知点,分别为线段的定比为的内外分点,则以为直径的圆上任意点两点的距离之比为

    证明:以为例.如图,设,则

    .过的垂线圆交于两点,由相交定理及勾股定理得,于是

    同时在到两点距离之比等于的圆上,而共线的三点所确定的圆是唯一的,上任意一点两点的距离之比恒为.同理可证的情形.

    3、阿波罗尼斯圆的相关性质

    由上面定理2的证明可得如下的性质:

    性质1:当时,点B在圆内,点A在圆外;当时,点A在圆内,点B在圆外.

    性质2:因,故是圆的一条切线.

    若已知圆及圆外一点A,可以作出与之对应的点B,反之亦然.

    性质3:所作出的阿波罗尼斯圆的直径为,面积为

    性质4:过点作圆的切线为切点),则分别为的内、外角平分线.

    性质5:阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分和外分所得的两个分点,如图所示,的内分点,的外分点,此时必有平分平分的外角.

    证明:如图,由已知可得),,又

    平分.由等角的余角相等可得平分的外角.

    性质6:过点作圆不与重合的弦,则AB平分

    证明:如图,连结,由已知),又平分

    平分

    【典例刨析】

    1.(2022·河北盐山中学高二期中)

    1.已知两定点,如果动点满足,则点的轨迹所包围的图形的面积等于___________.

    2.(2022四川涪陵月考)

    2.若满足条件,则面积的最大值为__________

    3.已知圆O,点,在直线OB上存在定点A(不同于点B),满足对于圆O上任意一点P,都有为一常数,试求所有满足条件的点A的坐标,并求

    4.在平面直角坐标中,已知点,若直线上存在点使得,则实数的取值范围是_______

    5.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一,指的是:已知动点与两个定点的距离之比为,且),那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.若平面内两定点间的距离为,动点满足,则的最大值为(    

    A B C D

    6.(2022四川·成都外国语学校高二月考)

    6.古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元首262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,著作中这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆,已知点,圆,在圆上存在点满足,则实数的取值范围是(    

    A B C D

    【针对训练】

    7.在平面直角坐标系中,已知圆,动点在直线上,过点分别作圆的切线,切点分别为,若满足的点有且只有两个,则实数的取值范围是________

    8.已知是平面上两个定点,平面上的动点满足,若对于任意的,不等式成立,则实数的最小值为______

    9.已知点,点D是直线AC上的动点,若成立,则最小正整数__________.

    10.在平面直角坐标系中,已知圆,圆,动点在直线上(),过分别作圆的切线,切点分别为,若满足的点有且只有一个,则实数的值为______.

    11.在平面直角坐标系中,是两定点,点是圆上任意一点,满足:,则的长为.

    2022辽宁·高二期中)

    12.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名,他发现:平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.在平面直角坐标系中,,动点满足.设点的轨迹为.

    (1)求曲线的方程;

    (2)若曲线无公共点,求的取值范围.


     

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