期末考试压轴题考点训练3-2023年初中数学8年级上册同步压轴题（教师版含解析）

期末考试压轴题考点训练(三)

1．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝(　　)

A．15° B．20° C．25° D．30°

【答案】A

【详解】解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB＝60°，

∵∠ACB＝∠CGD＋∠CDG，

∴∠CGD＋∠CDG＝60°，

∵CG＝CD，

∴∠CGD＝∠CDG＝30°，

∵∠CDG＝∠DFE＋∠E，

∴∠DFE＋∠E＝30°，

∵DF＝DE，

∴∠E＝∠DFE＝15°，

故选：A．

2．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAF=∠CAG=90°，AB=AF，AC=AG，连接FG，交DA的延长线于点E，连接BG，CF， 则下列结论：①BG=CF；②BG⊥CF；③∠EAF=∠ABC；④EF=EG，其中正确的有(      )

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④

【答案】D

【详解】解：∵∠BAF=∠CAG=90°，

∴∠BAF+∠BAC=∠CAG+∠BAC，即∠CAF=∠GAB，

又∵AB=AF=AC=AG，

∴△CAF≌△GAB(SAS)，

∴BG=CF，故①正确；

∵△FAC≌△BAG，

∴∠FCA=∠BGA，

又∵BC与AG所交的对顶角相等，

∴BG与FC所交角等于∠GAC，即等于90°，

∴BG⊥CF，故②正确；

过点F作FM⊥AE于点M，过点G作GN⊥AE交AE的延长线于点N，

∵∠FMA=∠FAB=∠ADB=90°，

∴∠FAM+∠BAD=90°，∠FAM+∠AFM=90°，

∴∠BAD=∠AFM，

又∵AF=AB，

∴△AFM≌△BAD(AAS)，

∴FM=AD，∠FAM=∠ABD，

故③正确，

同理△ANG≌△CDA，∴NG=AD，∴FM=NG，

∵FM⊥AE，NG⊥AE，∴∠FME=∠ENG=90°，

∵∠AEF=∠NEG，∴△FME≌△GNE(AAS)．∴EF=EG．

故④正确．故选：D．

3．如图，把沿线段折叠，使点落在点处；若，，，则的度数为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：∵沿线段折叠，使点落在点处，

∴ ，∴ ，

∵，，∴ ，

∵，∴ ，

∴ ，

故选：C．

4．如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】∵平分，平分

∴，

设

∵

∴可以假设，

∴

∵

∴

∴

设，则

∴

∴

∵

∴

故答案选：C

5．如图，四边形ABCD是正方形，M、N分别为边AB、AD的中点，点P在正方形的边上(包括顶点)，且△MNP是等腰三角形，则符合条件的点P的个数有(    )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】D

【详解】解：如图，∵△MNP是等腰三角形，

∴符合条件的点P的个数有4个，

故选：D．

6．如图，在中，，，，D是坐标平面上一点，若以A，B，D为顶点的三角形与全等，则点D的坐标是________．

【答案】D1(-1，3)，D2(4，-1)，D3(-1，-1)

【详解】如图，要和全等，且有一边为AB的三角形，

D点可为：D1(-1，3)，D2(4，-1)，D3(-1，-1)

故答案为：D1(-1，3)，D2(4，-1)，D3(-1，-1)．

7．如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，，AE与CD交于点F，于点G，则的度数为________．

【答案】

【详解】∵△ABC为等边三角形，

∴AC＝CB＝AB，∠ACB＝∠B＝60°，

∵AD＝BE，

∴BD＝CE，

∵在△ACE和△CBD中

，

∴△ACE≌△CBD(SAS)，

∴∠CAE＝∠BCD，

∵∠AFG＝∠CAF＋∠ACF，

∴∠AFG＝∠BCD＋∠ACF＝∠ACB＝60°，

∵AG⊥CD，

∴∠AGF＝90°，

∴∠FAG＝90°−60°＝30°．

故答案为30°．

8．在平面直角坐标系中，点A(3，0)，B(0，6)，作△BOC，使△BOC与△ABO全等，则点C坐标为 _______________．

【答案】或或

【详解】根据题意，得，，

使△BOC与△ABO全等，分三种情况分析：

当时，如下图

∵△BOC与△ABO全等，且 ，∴ ，∴

当时，如下图

∵△BOC与△ABO全等，且 ，∴ ，∴

当时，如下图

∵△BOC与△ABO全等，且 ，∴ ，∴

故答案为：或或．

9．如图，平分，，的延长线交于点，若，则的度数为__________．

【答案】

【详解】解：如图，连接，延长与交于点

平分，，

是的垂直平分线，

故答案为：

10．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的ABC，则与ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有____个．

【答案】5

【详解】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG，△CDF，△AEF，△DBH，△BCG共5个，

故答案为5.

11．如图，在中，，于点D，于点E．AD交B于点F，点G为BC边的中点，作交直线FG于点H．

(1)如图1，当，时，______，______．

(2)如图2，当时，试探索AF与BH的数量关系，并证明．

(3)如图3，当时，(2)中AF与BH的数量关系______成立(填“仍然”或“不再”)．请说明理由．

【答案】(1)3；3；(2)BH＝CF，见解析；(3)仍然，见解析

【详解】(1)解：如图1，

∵AB＝AC，∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∵BE⊥AC，

∴BE垂直平分AC，∠CBE＝30°，

∴AF＝CF＝3，

∵BH⊥AB，

∴∠ABH＝90°，

∴∠HBC＝∠ABH－∠ABC＝30°，

∵AD⊥BC，

∴∠BDH＝∠BDF＝90°，AD垂直平分BC，

∴∠H＝90°－∠HBC＝60°，∠BFH＝90°－∠CBE＝60°，BF＝CF＝AF＝3，

∴∠H＝∠BFH＝60°，

∴BH＝BF，

∴BF＝BH＝CF＝3，

故答案为：3，3；

(2)AF＝BH，

理由如下：连接CF，如图2，

∵∠ABD＝45°，AD⊥BC，

∴AD＝BD，∠ADC＝∠BDF＝90°，

∵BE⊥AC，

∴∠AEF＝∠BDF＝∠ADC＝90°，

∵∠AFE＝∠BFD，

∴∠EAF＝∠DBF，

∴△ADC≌△BDF(ASA)，

∴DF＝DC，

∴∠DCF＝45°，

∵BH⊥AB，

∴∠ABH＝90°，

∴∠HBG＝∠ABH －∠ABD＝45°，

∴∠HBG＝∠FCD，

∵点G为BC边的中点，

∴CG＝BG，

∵∠BGH＝∠CGF，

∴△CGF≌△BGH(ASA)，

∴BH＝CF，

∵BA＝BC，BE⊥AC，

∴BE是AC的垂直平分线，

∴AF＝CF，

∴AF＝BH；

(3)仍然，证明如下：

连接CF，如图3，

∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E．由三角形三条高交于一点，得CF⊥AB．

∵BH⊥AB，

∴CFBH．

∴∠H＝∠CFG，

∵点G为BC边的中点，

∴CG＝BG，

∵∠BGH＝∠CGF，

∴△CGF≌△BGH(AAS)，

∴BH＝CF，

∵BA＝BC，BE⊥AC，

∴BE是AC的垂直平分线，

∴AF＝CF，

∴AF＝BH；

故答案为：仍然．

12．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交∠ACB的平分线CE于点O．

(1)求证：．

(2)如图1，若∠A=60°，请直接写出BE，CD，BC的数量关系．

(3)如图2，∠A=90°，F是ED的中点，连接FO．

①求证：BC−BE−CD=2OF．

②延长FO交BC于点G，若OF=2，△DEO的面积为10，直接写出OG的长．

【答案】(1)见解析；(2)BE+CD=BC，；(3)①见解析；②

【解析】(1)

证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，

∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)

=180°− (∠ABC+∠ACB)

=180°− (180°−∠A)

=∠A+90°；

(2)

解：BE+CD=BC．

在BC上截取BM=BE，连接OM，如图：

∵∠BOC=∠A+90°=120°，

∴∠BOE=60°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠EBO=∠MBO，

∴△BOE≌△BOM，

∴∠BOE=∠BOM=60°，

∴∠MOC=∠DOC=60°，

∵OC为∠DCM的角平分线，

∴∠DCO=∠MCO，

在△DCO与△MCO中，

，

∴△DCO≌△MCO (ASA)，

∴CM=CD，

∴BC=BM+CM=BE+CD；

(3)

①证明：如图，延长OF到点M，使MF=OF，连接EM，

∴OM=2OF．

∵F是ED的中点，

∴EF=DF，

∵∠DFO=∠EFM，

∴△ODF≌△MEF(SAS)，

∴OD=EM．

过点O作CE，BD的垂线，分别交BC于点K，H，

∴∠OCK+∠OKC=90°．

∵∠A=90°，

∴∠ACE+∠AEC=90°

∵∠ACE=∠OCK，

∴∠AEO=∠OKC，

∴∠BEO=∠BKO，

∴△OBE≌△OBK(AAS)，

同理可得△ODC≌△OHC，

∴EO=OK，OD=OH=EM，BE=BK，CD=CH．

由(1)可知∠DOE=∠BOC=×90°+90°=135°，

∴∠BOE=∠COD=45°，

∴∠OEM=∠KOH=45°，

∴△OME≌△KHO，∴KH=OM，∴KH=2OF．

∵BC−BK−CH=KH=2OE，∴BC−BE−CD=KH=2OF；

②解：∵△OME≌△KHO，∴∠EOM=∠OKH，∴FG⊥BC．

由①可知KH=2OF=4，△ODF≌△MEF，

∴S△DEO=S△OME=S△KHO=10，

∴KH×OG×=10，

∴OG=5．

13．(1)模型：如图1，在中，平分，，，求证：．

(2)模型应用：如图2，平分交的延长线于点，求证：．

(3)类比应用：如图3，平分，，，求证：．

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析；

【详解】解：(1)∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC，

∴DE=DF，

∵ ，，

∴：=AB：AC；

(2)如图，在AB上取点E，使得AE=AC，连接DE

又∵ AD平分∠CAE，

∴ ∠CAD=∠DAE，

在△ACD和△AED中，

，

∴△ACD≌△AED(SAS)，

∴CD=DE且∠ADC=∠ADE，

∴ ，

∴ ，

∴AB：AC=BD：CD；

(3)如图延长BE至M，使EM=DC，连接AM，

∵ ∠D+∠AEB=180°，

又∵∠AEB+∠AEM=180°，

∴∠D=∠AEM，

在△ADC与△AEM中，

，

∴△ADC≌△AEM(SAS)，

∴∠DAC=∠EAM=∠BAE，AC=AM，

∴AE为∠BAM的角平分线，

故 ，

∴BE：CD=AB：AC；

14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°,AC＝BC, E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF,交BE于点D,且∠ACF＝∠CBE, CG平分∠ACB交BD于点G,

(1)如图1,求证: CF＝BG;

(2)如图2,延长CG交AB于H,连接AG,过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P,

求证: PB＝CP＋CF;

(3)如图3，在(2)间的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时， 若S△AEG＝3，BG＝6,求AC的长.

【答案】(1)见详解；(2)见详解；(3)3+3

【详解】解：：(1)∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠A=45°，

∵CG平分∠ACB，

∴∠ACG=∠BCG=45°，

∴∠A=∠BCG，

在△BCG和△CAF中，

，

∴△BCG≌△CAF(ASA)，

∴CF=BG；

(2)∵PC∥AG，

∴∠PCA=∠CAG，

∵AC=BC，∠ACG=∠BCG，CG=CG，

∴△ACG≌△BCG，

∴∠CAG=∠CBE，

∵∠PCG=∠PCA+∠ACG=∠CAG+45°=∠CBE+45°，

∠PGC=∠GCB+∠CBE=∠CBE+45°，

∴∠PCG=∠PGC，

∴PC=PG，

∵PB=BG+PG，BG=CF，

∴PB=CF+CP；

过E作EM⊥AG，交AG于M，

∵S△AEG=AG•EM=3 ，

由(2)得：△ACG≌△BCG，

∴BG=AG=6，

∴×6×EM=3，

EM=，

设∠FCH=x°，则∠GAC=2x°，

∴∠ACF=∠EBC=∠GAC=2x°，

∵∠ACH=45°，

∴2x+x=45，

x=15，

∴∠ACF=∠GAC=30°，

在Rt△AEM中，AE=2EM=2，

∴M是AG的中点，

∴AE=EG=2，

∴BE=BG+EG=6+2，

在Rt△ECB中，∠EBC=30°，

∴CE=BE=3+，

∴AC=AE+EC=2+3+=3+3．

15．在中，，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，CD的垂直平分线的交点，连接EA，EC，ED．

(1)如图1，当时，则_______°；

(2)当时，

①如图2，连接AD，判断的形状，并证明；

②如图3，直线CF与ED交于点F，满足．P为直线CF上一动点．当的值最大时，用等式表示PE，PD与AB之间的数量关系为_______，并证明．

【答案】(1)80；(2)是等边三角形；(3)．

【详解】解：(1)∵点E为线段AC，CD的垂直平 分线的交点，

∴，

∴，，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵在中，，，

∴，

∴，

故答案为：．

(2)①结论：是等边三角形．

证明：∵在中，，，

∴，

由(1)得：，，

∴是等边三角形．

②结论：．

证明：如解图1，取D点关于直线AF的对称点，连接、；

∴，

∵，等号仅P、E、三点在一条直线上成立，

如解图2，P、E、三点在一条直线上，

由(1)得：，

又∵，

∴，

又∵，，

∴，

∵点D、点是关于直线AF的对称点，

∴，，

∴是等边三角形，

∴，，

∵是等边三角形，

∴，，

∴，

∴，

在和中，

，

∴(SAS)

∴，

∵，

∴，

在中，，，

∴，∴