江西省九江市2023届高三三模数学（文）试题（含解析）

这是一份江西省九江市2023届高三三模数学（文）试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江西省九江市2023届高三三模数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．2．已知复数z满足，则（    ）A．1 B． C．2 D．3．已知，，，则（    ）A． B． C． D．4．为了强化节约意识，更好地开展“光盘行动”，某校组织社会实践小组对某块稻田的稻穗进行调研，小组随机抽取了20株稻穗，并统计了每株稻穗的粒数，整理得到如下茎叶图，则每穗粒数的中位数和平均数分别是（    ）A．174，175 B．175，175 C．175，174 D．174，1745．已知，且，，则（    ）A． B． C． D．6．执行如图所示的算法框图，则输出的C的值为（    ）A．0 B．1 C．2 D．37．若数列满足（q为常数，且），则称为差等比数列，其中q为公差比.已知差等比数列中，，，且公差比为2，则（    ）A．1024 B．1022 C．2048 D．20468．已知椭圆的左右焦点分别为，，，为平面内异于，的两点.若的中点在上，且，，则（    ）A．4 B． C．8 D．9．已知函数的部分图像如图所示.若，则的最大值为（    ）A．2 B． C．4 D．10．已知定义在R上的函数在上单调递增，是奇函数，的图像关于直线对称，则（    ）A．在上单调递减 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递增11．榫卯是一种中国传统建筑、家具的主要结构方式，它凝聚了中华文明的智慧.它利用材料本身特点自然连接，既符合力学原理，又重视实用和美观，达到了实用性和功能性的完美统一.下图是榫卯结构中的一种，当其合并在一起后，可形成一个正四棱柱.将合并后的榫卯对应拿开（如图1所示），已知榫的俯视图如图2所示，则卯的主视图为（    ）A． B．C． D．12．从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过另外一个焦点.如图所示，已知双曲线（）的左右焦点分别为，，从右焦点发出的两条方向相反的光线经双曲线上两点A，B反射后，其中反射光线BC垂直于AB，反射光线AD满足，则该双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D． 二、填空题13．中，，，D为BC的中点，则______.14．中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的面积为______.15．已知函数有两个极值点，，且，则______.16．如图，棱长为2的正方体中，P，Q为四边形内的点（包括边界），且点P到AB的距离等于到平面的距离，点Q到的距离等于到平面ABCD的距离，则的最小值为______. 三、解答题17．已知数列的前n项和为，且满足，.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前n项和.18．直三棱柱中，，D为的中点，.(1)求证：平面平面ABD；(2)若，求三棱锥的体积.19．2023年，国家不断加大对科技创新的支持力度，极大鼓舞了企业投入研发的信心，增强了企业的创新动能.某企业在国家一系列优惠政策的大力扶持下，通过技术革新和能力提升，极大提升了企业的影响力和市场知名度，订单数量节节攀升，右表为该企业今年1~4月份接到的订单数量.月份t1234订单数量y（万件）5.25.35.75.8附：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，，.(1)试根据样本相关系数r的值判断订单数量y与月份t的线性相关性强弱（，则认为y与t的线性相关性较强，，则认为y与t的线性相关性较弱）.（结果保留两位小数）(2)建立y关于t的线性回归方程，并预测该企业5月份接到的订单数量.20．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，A，B为E上两点，且点A的纵坐标为，F恰好是的重心.(1)求E的方程；(2)若，P，Q为抛物线上相异的两个动点，且，求的最小值.21．已知函数）在处的切线斜率为.(1)求a的值；(2)若，，求实数m的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为（t为参数）.以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，其中α为倾斜角，且.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设l与曲线C相交于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率为，，求的取值范围.23．设a，b，c均为正数，已知函数的最小值为4.(1)求的最小值；(2)证明：.
参考答案：1．A【分析】首先求解一元二次不等式则得到集合，再利用集合交并补的运算即可.【详解】，，解得，则，.故选：A.2．B【分析】设，然后根据复数的四则运算求出，然后代入复数模的计算公式即可求解.【详解】设，则，即，，解得，，.故选：.3．C【分析】借助指数函数与对数函数的单调性将三个数，和中间量0与1来比较，即得大小关系.【详解】解析：，，，.故选：C.4．A【分析】根据中位数和平均数的定义进行计算即可.【详解】从小到大排列，第10个和第11个数的平均数为中位数，即，故中位数为174，先把每个数据减去174，得到20个数据为，此时，从而求出平均数为.故选：A.5．A【分析】先根据，，求出，，再利用两角差的余弦公式求【详解】解析：，，，，，，故选：A.6．C【分析】根据题意，由程序框图可得C是以3为周期的周期数列，即可得到结果.【详解】由题意，输入，，，执行程序框图，，，，，执行循环体；，，，，执行循环体；，，，，执行循环体；，，，，执行循环体；所以C是以3为周期的周期数列，当时，执行循环体，，，，，结束循环体，所以输出的C的值为2.故选:C.7．D【分析】由题意证明数列是以4为首项，2为公比的等比数列，并求出的通项，再用累加法求出的通项，从而得到.【详解】，，，，数列是以4为首项，2为公比的等比数列，，当时，，.故选：D.8．D【分析】连接，，依题意可得，分别是和的中位线，即可得到，，再根据椭圆的定义计算可得.【详解】如图所示，连接，，，，，分别为线段，的中点，为的中点，，分别是和的中位线，，，在上，，.故选：D.9．D【分析】根据图象先求出，然后根据函数过点和在单调递减得到，代入函数解析式，利用两角和与差的正弦公式即可求解.【详解】由图可知，，，则，，又，且在单调递减，，，，，又，，，.故的最大值为.故选：D.10．C【分析】根据是奇函数，得到的图象关于点对称，由图像关于直线对称可知为偶函数，结合函数在上单调递增，得到在上单调递减，再求出函数的周期性得到答案.【详解】是奇函数，，即的图象关于点对称，又在上单调递增，在上单调递增，即在上单调递增.由，可得，由图像关于直线对称可知为偶函数，∴在上单调递减，，，是周期函数，最小正周期为4，∵，，∴在上的单调性和在上的单调性相同，在上单调递减.故选：C.11．C【分析】根据题意，由榫与卯为互补结构结合对应的视图，再由排除法即可得到结果.【详解】由题可知，榫与卯为互补结构，合并为一个正四棱柱，故卯需要有两个通透的长方形通道，由于四棱柱摆放角度为直角边正对我们，故主视图必须有一条居中的实线代表棱，故A错误；然后对榫的结构分析并与卯互补可得，卯的两边通道中间并不会连通，故不存在居中的虚线，故BD错误，综上所述，只有C满足要求.故选:C12．B【分析】连接，，在中，设，则，，由双曲线定义可知，，解出，在中用表示出，最后求出离心率.【详解】如图，连接，，由双曲线的光学性质可知，，，设，则，，由双曲线定义可知，，，，，，，，.故选：B.13．2【分析】利用平面向量的数量积和直角三角形中余弦的定义求解即可.【详解】解析：如图，.故答案为：2.14．【分析】利用正弦定理可得，再用余弦定理得，求出，最后使用面积公式即得.【详解】解析：由及正弦定理，得，，由余弦定理知，，，.故答案为：.15．【分析】根据函数有两个极值点得到是方程的两个不相等的实数根，然后分离变量，构造函数，对函数求导，利用函数的单调性即可求解.【详解】，是的两个零点，即是方程的两个不相等的实数根，， 是方程的两个不相等的实数根.令，则.当或时，；当时，，在和上单调递减，在上单调递增，且当时，；当时，.，且.由，得，，，由，即.故答案为：.16．【分析】根据抛物线的定义得到P，Q的轨迹，结合图像，即可求解.【详解】当P，Q在线段上时，由P到AB的距离等于到平面的距离知，P到点B的距离等于到的距离，故点P在以B为焦点，为准线的抛物线上；同理，点Q在以为焦点，BC为准线的抛物线上.设这两条抛物线与的交点即分别为点，（如图1）.则P，Q的轨迹分别为四边形内过点，且平行于AB的线段（如图2）.则的最小值即为.如图3所示，建立平面直角坐标系，则的坐标为，，所在的抛物线方程为，，联立方程且，得，，，即的最小值为.故答案为：.17．(1)(2) 【分析】（1）由与的关系证得是等差数列，求出，再求；（2）使用裂项求和.【详解】（1）当时，，当时，，，即，，，，是首项为2，公差为1的等差数列，，，，综上，（2），,（）,，记数列的前n项和为， .18．(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先证平面，得到①，再借助三角形相似证明②，最后证出平面平面；（2）等体积法求即可.【详解】（1）为直三棱柱，，又，，平面平面，①设，则，，，，，，故②由①②，，，且，知平面ABD又平面，平面平面ABD（2）由，得，解得的面积由（1）知平面，三棱锥的体积三棱锥的体积19．(1)0.96，订单数量y与月份t的线性相关性较强(2)，6.05万件 【分析】（1）根据公式求出，即可得出结论；（2）利用最小二乘法求出回归方程，再令，即可得解.【详解】（1），，，，，，订单数量y与月份t的线性相关性较强；（2），，线性回归方程为，令，（万件），即该企业5月份接到的订单数量预计为6.05万件.20．(1)(2)11 【分析】（1）根据点A的坐标及重心F的坐标表示点B，将B的坐标代入抛物线方程可求出，可得抛物线的方程；（2）设直线PQ的方程为，，，联立直线PQ与抛物线方程，根据韦达定理和，求出，再根据抛物线的定义求出，结合二次函数知识可求出结果.【详解】（1）由已知可得，，设F恰好是的重心，，解得，将代入，得，，解得，E的方程为；（2）设直线PQ的方程为，，，由方程组，得，即，且，，，，，，，即，，，或，若，直线PQ过N点，不合题意，舍去，，此时，，则，当时，有最小值为11.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.21．(1)(2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的几何意义即可求得答案;（2）由，变形为，从而令，求得其导数，结合端点处函数值以及导数值情况，判断出m的范围，并加以证明，即可得答案.【详解】（1），，，，，.（2）由（1）可知，，由，得，令，则，，且，存在，使得当时，，，即；下面证明当时，， ，且，，设，，当时，；当时，；可知在上单调递减，在上单调递增，，，，；当时，令，则，设，则，且为单调递增函数，由于，故，仅在是取等号，故在上单调递增，，故，即，则在上单调递增，而，当时，递增的幅度远大于递增的幅度，，故必存在，使得，则时，，故在上单调递减，则，与题意不符；综上，实数m的取值范围为.【点睛】关键点睛：根据不等式恒成立求解参数范围时，关键是要根据端点处函数值以及导数值的情况推出m的范围，再加以证明.22．(1)，(2) 【分析】（1）参数方程和普通方程的转化，极坐标方程和直角坐标方程的转化；（2）直线的参数方程应用，根与系数关系求得斜率和范围.【详解】（1）曲线C的普通方程为，由，得，即，，所以，又，故，即，,所以.（2）设，，将代入直线l方程中，得，则，，，，，.23．(1)(2)证明见解析 【分析】（1）应用绝对值三角不等式及基本不等式求目标式最小值，注意取值条件，（2）利用基本不等式证明不等式即可.【详解】（1），，则，，仅当时等号成立，，仅当时等号成立，，仅当时等号成立，，，即，仅当时取等号，故的最小值为.（2），仅当时等号成立，，仅当时等号成立，，仅当时等号成立，，又，仅当时等号成立，同理，仅当时等号成立，，仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，即.