重庆市永川北山中学2022-2023学年高一数学下期期中考试试题（Word版附解析）
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数学试题卷
【注意事项】
1．答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、单项选择题（本大题8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.复数，则复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
2.如图所示，为平行四边形对角线上一点，，则( )
A. B.
C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则( )
A. B. C. D.
5.一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原的面积是( )
A. B.
C. D.
6.设，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
7.正三棱锥中，，顶点到底面的距离为，其各顶点都在同一球面上，则该球的半径为( )
A. B. C. D.
8.在锐角中，角，，的对边分别为，，，为的面积，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分。）
9.设向量，，则( )
A. B.
C. D. 与的夹角为
10.下列各式中，值为的是( )
A. B.
C. D.
11.已知内角，，所对的边分别为，，，以下结论中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，，则该三角形有两解
C. 若，则一定为等腰三角形
D. 若，则一定为钝角三角形
12. 如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是( )
A. 棱上存在一点，使得 平面
B. 直线到平面的距离为
C. 过且与面平行的平面截正方体所得截面面积为
D. 过的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量的夹角是，且，，则
14.如图，半径为的半圆剪去一个以直径为底的等腰直角三角形，
将剩余部分以半圆的直径为轴旋转一周，所得几何体的体积是 ．
- 求值：
16.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章中有己知三边求兰角形面积的方法以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积。”如果把以上这段文字写成公式就是，其中，，是的内角，，的对边，若，且，，成等差数列，则面积的最大值为___________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.（满分10分）已知，，均为锐角．
求的值；
求的值．
18.（满分12分）已知是虚数单位，复数的共轭复数是，且满足．
求复数的模；
若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
19.（满分12分）已知：是同一平面内的两个向量，其中，
若与的夹角为锐角，求实数的取值范围；
求在上投影向量．
20.（满分12分）在，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
问题：已知，，分别为三个内角，，的对边，且 ．
求
若，则的面积为，求，．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
21.（满分12分）如图，在四棱锥，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，
设，分别为，的中点，求证：平面
求证：平面
22.（满分12分）如图所示，在长方形中，，，为的中点，以为折痕，把折起到的位置，且平面平面．
求证：；
求四棱锥的体积；
在棱上是否存在一点，使得平面，若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由．
重庆市永川北山中学校高2025级高一下期半期考试
数学参考答案
1.【答案】A
【解析】由，可得，
，所以，
故选A．
- 【答案】B
【解析】，故选B．
3.【答案】D
【解析】，
，
，
．
故选D
4.【答案】A
【解析】因为，
令，，，则．
故选：．
5.【答案】D
【解析】因为三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，
所以的底，
，
在中为直角三角形，高．
所以直角三角形的面积是．
故选D．
6.【答案】C
【解析】若，，则或，故A不正确
若，，，则或相交，故B不正确；
若，，则，故C正确；
若，，，则与相交或或，故D项不正确．
7.【答案】D
【解析】设该球的半径为．
因为正的边长为，
所以的外接圆半径为．
因为正三棱锥的顶点到底面的距离为，
所以，解得．
8.【答案】C
【解析】中，由余弦定理得，，
且的面积为，
由，
得，
化简得；
又，，
所以，
化简得，
解得或不合题意，舍去；
所以
，
由，且，，
解得，
所以，所以，所以；
故选：C．
9.【答案】CD
【解析】由题意，，，
则，，故A错误；
易知，由，
所以与不平行，故B错误；
又，即，故C正确；
因为，
又，所以与的夹角为．
故选CD．
10.【答案】AB
【解析】．，正确，
B.，正确，
C.，不正确，
D.，
那么，不正确．
故选AB．
11.【答案】AD
【解析】对，由三角形的性质，当时，，即，故，故A正确；
对，由正弦定理，故，故，因为，故，故该三角形只有解，故B错误；
对，由正弦定理，，故，
又，，所以或，
即或，所以为等腰或者直角三角形，故C错误；
对，由正弦定理，，又余弦定理，故，故一定为钝角三角形，故D正确．
故选AD．
12.【答案】BCD
【解析】解：对于如图：在正方体中
因为点在棱上，所以直线平面．
设．
因为是的中点，所以，而是的中点，
因此取的中点为，连接，则．
因为若平面，而平面平面，
所以与重合，而此时点不在棱上，故A不正确
对于如图：在正方体中
连接与．
因为，分别为棱，的中点，所以，
而，因此．
又因为平面，平面，所以平面，
因此直线到平面的距离就是点到平面的距离．
设点到平面的距离为，而正方体的棱长为，
则，，因此，
而，点到平面的距离为，
所以由得，解得，故B正确
对于如图：在正方体中
取的中点，的中点，连接，，
则四边形是过的正方体的一个截面．
又因为，平面，平面，所以平面．
又因为由选项B知：平面，而，平面，
所以平面平面，即过且与面平行的平面截正方体所得截面为四边形．
又因为四边形的面积为，
所以过且与面平行的平面截正方体所得截面面积为，故C正确；
对于如图：在正方体中
连接，则的中点是正方体外接球球心，且外接球半径为．
因为由对称性知：过的平面截正方体的外接球所得截面面积最小时，
截面圆的圆心是的中点，
所以连接，，，则，因此，
因此截面圆的半径为，
所以截面圆的面积为，故D正确．
13.【答案】
【解析】利用向量的数量积，得到
．
故答案填：．
14.【答案】
【解析】解：所得几何体为半径为的球体去掉两个底面半径为，高为的两个圆锥，故体积为：
故答案为：．
15.【答案】
【解析】原式．
故答案为．
16.【答案】
【解析】，由正弦定理得，
由余弦定理得，故，
，，成等差数列，，
因此
，当时，等号成立，
即面积的最大值为．
故答案为 ．
17.【答案】
解：，由得，
为锐角，，则，
；
由得，
均为锐角，，
，则，
．
18.【答案】
解：设复数，则，
于是，即，
所以，解得，即，
故
由得，
由于复数在复平面内对应的点在第一象限，
所以，解得
- 【答案】
解：，，
，
与的夹角为锐角，
，且，
实数的取值范围为；
，
，
，
在上投影向量为
20.【答案】
解：若选
A.
由正弦定理得，，
，，即，
，，
若选
，
由余弦定理得，，
，，
若选
．，
，，
，，
，
，，
由余弦定理：，
即，即，
由，，解得．
21.【答案】
证明：连接，由题意得，，
又由，得，
平面，平面，
平面；
证明：取棱中点，连接，
依题意得，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
又平面，，
又，，，平面，
平面．
- 【答案】
解：证明：由题意，在长方形中，和为等腰直角三角形，
，
，即，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，
；
取的中点，连接，则，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
；
如图所示，
连结交于，假设在上存在点，使得平面，连接，
平面，平面平面，
，
在中，，
在梯形中，，
，即，
在棱上存在一点，且，使得平面．
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