重庆市永川北山中学2022-2023学年高三数学上学期期中考试试卷（Word版附解析）

这是一份重庆市永川北山中学2022-2023学年高三数学上学期期中考试试卷（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分
1. 如果，那么在复平面内，复数所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】先计算出，然后判断其所在象限，即可求解
【详解】由可得，复数所对应的点位于第四象限.
故选：D
2. 已知集合，集合，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求解集合，再利用交集运算即可.
【详解】解：由题得集合，所以.
故选：B．
3. “幂函数在上为增函数”是“函数为奇函数”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分
C. 充分必要D. 既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】要使函数是幂函数，且在上为增函数，求出，可得函数为奇函数，即充分性成立；函数为奇函数，求出，故必要性不成立，可得答案.
【详解】要使函数是幂函数，且在上为增函数，
则，解得：，当时，，，
则，所以函数为奇函数，即充分性成立；
“函数为奇函数”，
则，即，
解得：，故必要性不成立，
故选：A．
4. 标准对数视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式.标准对数视力表各行为正方形“E”字视标，且从视力5.1的视标所在行开始往上，每一行“E”的边长都是下方一行“E”的边长的倍，若视力4.0的视标边长为，则视力4.9的视标边长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由等比数列的通项公式计算．
【详解】设第行视标边长为，第行视标边长为，
由题意可得，则，则数列为首项为，公比为的等比数列，
所以，则视力4.9的视标边长为，
故选：D.
5. 在三棱锥，若平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ）
A. 100πB. 50πC. 144πD. 72π
【答案】A
【解析】
【分析】根据三棱锥的几何特征，可将三棱锥放于长方体内，三棱锥的外接球就是长方体外接球.
【详解】如图，将三棱锥放于一个长方体内：
则三棱锥的外接球就是长方体的外接球，∴PB为三棱锥P－ABC外接球的直径，
∵，
∴外接球的表面积为：．
故选：A.
6. 已知数列是公差不为零的等差数列，为等比数列，且，设，则数列的前10项和为（ ）
A. 1078B. 1068C. 566D. 556
【答案】A
【解析】
【分析】设公差为d ，公比为q，由结合通项公式建立方程组解出d，q，即可分组利用求和公式求出结果
【详解】设公差为d ，公比为q，
由题，，则，，
联立可解得，，所以，，
∴的前10项和为，
故选：A
7. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A. 16B. 25C. 36D. 49
【答案】B
【解析】
【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用该不等式求解作答.
【详解】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立，
又，即，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以函数的最小值为25.
故选：B
8. 已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，则，然后判断函数的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性可求.
【详解】解：令，则，
因为，，
∴为奇函数，
又因为，由函数单调性可知为的增函数，
∵，则，
∴，
，
∴，解得.
故选：A.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 是两条不同的直线，是空间两个不同的平面，如下有四个命题，其中正确的命题是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据线面、面面垂直与平行的判定定理及性质定理判定即可；
【详解】解：对于A：由、，可得，又，所以，故A正确；
对于B：由、，可得，又，则或，故B错误；
对于C：由，则或，又，则或或与相交（不垂直）或，故C错误；
对于D：由、，可得，又，所以，故D正确；
故选：AD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 随机变量服从正态分布，若，则的值等于3.
B. 为了更好地开展创文创卫工作，需要对在校中小学生参加社会实践活动的意向进行调查，拟采用分层抽样的方法从该地区、、、四个学校中抽取一个容量为400的样本进行调查，已知、、、四校人数之比为7∶4∶3∶6，则应从校中抽取的样本数量为80
C. 已知变量、线性相关，由样本数据算得线性回归方程是，且由样本数据算得，，则
D. 箱子中有4个红球、2个白球共6个小球，依次不放回地抽取2个小球，记事件{第一次取到红球}，{第二次取到白球}，则、为相互独立事件
【答案】BC
【解析】
【分析】利用正态分布的性质得到的值，利用抽样比即可判断从校中抽取的样本数量，根据线性回归直线过样本中心点，可得的值，根据相互独立性的定义即可作出判断.
【详解】A.由正态分布的性质可得：，解得：，故选项A错误；
B.由分层抽样的性质可得：应抽取人数为，故B正确；
C.因为回归直线必过样本中心，所以，即，故C正确；
D.由于第一次取到球不放回，因此会对第2次取球的概率产生影响，因此、不是相互独立事件，故D错误，
故选：BC.
11. 已知直线与圆交于A，B两点，点M为圆C上的一动点，点，记M到l的距离为d，则（ ）
A. B. d的最大值为
C. 是等腰三角形D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，根据垂径定理以及弦长公式，可得答案；
对于B，根据题意作图，结合圆上点与直线的位置关系，可得答案；
对于C，求弦的中垂线的直线方程，根据中垂线的性质，可得答案；
对于D，由题意，作图，根据线段组合，求得答案.
【详解】对于A，由圆，可得，半径为，
点到直线的距离为，则，故A正确；
对于B，由题意，可作下图：
点为弦的中点，直线，则，故B错误；
对于C，由选项B与题意，如下图：
易知，，则直线的斜率，
由，则直线的斜率，由，
则直线的方程为，则，
即点在直线上，为的中垂线，是等腰三角形，
故C正确；
对于D，由题意，可作图：
则，显然，则，
故D正确；
故选：ACD.
12. 已知函数，为的导函数，则下列说法正确的是( )
A. 当时，在单调递增
B. 当时，在处的切线方程为
C. 当时，在上至少有一个零点
D. 当时，在上不单调
【答案】ABD
【解析】
【分析】A．代入m＝1，求，根据指数函数和正弦函数在上的值域即可判断的正负，由此可判断f(x)在上的单调性；
B﹒代入m＝1，求f(0)和，根据导数的几何意义和直线的点斜式方程即可求切线方程；
C﹒代入m＝－1，求，令，求，根据在上的正负判断的单调性，根据单调性可判断其在上是否有零点；
D﹒判断在，上的正负，由此判断的单调性，由此可判断在，上有零点，故可判断f(x)在，上不单调．
详解】①当时，，，
当x＞0时，＞1，－1≤sinx≤1，∴＞0，∴f(x)在上单调递增，故A正确；
∵f(0)＝0，，∴在处的切线方程为y＝x，故B正确；
②当m＝－1时，，，
令，则，
当x＞0时，＞1，－1≤csx≤1，∴＞0，∴在上单调递增，
∴当x≥0时，≥＝1，∴在上无零点，∴C错误；
当，时，csx＜0，＞0，∴＞0，
∴在，单调递增，
又，而，
∴由零点存在定理可知，存在唯一，，使得，
当，时，，单调递减，
当，时，，单调递增，
∴在，上不单调，故D正确．
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 的展开式中的系数为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项特点即可求解.
【详解】的展开式中第四项为，故的系数为：，
故答案为：
14. 设为单位向量，且，则________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据计算出的值，然后将先平方再开根号，结合的值计算出的结果.
【详解】因为，所以，所以，所以，
又因为，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知，求解的方法：
（1）先将平方然后开根号，得到，
（2）代入的值，即可计算出的值.
15. 值为_________.
【答案】1
【解析】
【分析】把拆成，然后利用公式进行化简.
【详解】因为，
所以；
故答案为：1.
16. 在平面直角坐标系中，过动点作圆A：的一条切线PQ，其中Q为切点，若，则的最大值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】先求出点P轨迹方程，然后求出的最大值，由可得出答案.
【详解】，
设，则，
化简得，
故点P轨迹是以为圆心、为半径的圆，
所以的最大值为
由，则故最大值为
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知等差数列满足，，的前项和为.
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】
（1）设公差为，由题可得，则，从而算出的通项公式及前项和；
（2），采用裂项相消法求解.
【详解】（1）设公差为，由得：，所以，
则，所以，
，所以，
（2），
【点睛】方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，
常见的裂项技巧：(1)；
（2）；
（3）；
（4）；
此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
（1）求角B；
（2）若，的面积为，求的周长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两角和的正弦公式化简，结合正弦定理边化角即可得，进而可求解，
（2）根据三角形面积公式以及可得，由余弦定理可求，进而可得周长.
【小问1详解】
∵，
∴，∴.
由正弦定理得，
，∴，∵，∴.
【小问2详解】
∵的面积为，即，得，
∵，∴，∵，∴，∴，
由余弦定理可得，∵，∴，
∴三角形的周长为.
19. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，，，，E是PB的中点.
（1）求证：平面PAD；
（2）若，求三棱锥P-ACE的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取PA的中点F，连接EF，DF，利用平行四边形证明，再由线面平行的判定定理即可得证；
（2）根据等体积法知，即可由棱锥体积公式求解.
【小问1详解】
取PA的中点F，连接EF，DF，
∵点E，F分别为PB，PA的中点，
∴，，
又∵，，
∴，，
∴四边形EFDC是平行四边形，
∴，
又∵平面PAD，平面PAD，
∴平面PAD；
【小问2详解】
∵，，，
∴，
∵，又平面ABCD，
∴，
∴平面PAC，
又点E为PB的中点，点E到平面PAC的距离为，
.
.
20. 北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱.8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射.中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.
（1）求乙闯关成功的概率；
（2）求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，，甲
【解析】
【分析】（1）根据独立重复事件的概率公式即可求解，
（2）根据超几何分布的概率公式计算概率，即可得分布列，通过比较甲乙两人闯关成功的概率大小，即可判断谁的成功的可能性更大.
【小问1详解】
乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A，则.
【小问2详解】
由题意知随机变量X所有可能取值为0，1，2，3，
，，，，
故X的分布列为
所以.
所以甲闯关成功的概率为，因为，所以甲比乙闯关成功的可能性大.
21. 如图，已知函数的图象与坐标轴交于点，，，直线交的图象于另一点，是的重心.
（1）求；
（2）求的外接圆的半径.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）根据题中的条件确定点的坐标，进而根据三角函数的图象与解析式的关系求解；
（2）求解相关的边和角，利用正弦定理求解.
【详解】解：（1）∵是的重心，，∴，
故函数的最小正周期为3，即，
解得，
又，且，
∴.
（2）由（1）知，∴，
又，∴.
∵是中点，
∴，
∴，
设为的外接圆的半径，
则，
∴的外接圆的半径等于.
【点睛】本题考查三角函数的图象与性质、正弦定理.掌握正弦函数性质提解题关键．
22. 已知函数．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若不等式在区间上有解，求实数的取值范围．
【答案】（1）的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；
（2）分、两种情况讨论，利用导数分析函数在上的单调性，验证在上能否成立，综合可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：当时，，
，
当时，，，所以，即在上单调递增，
当时，，，所以，即在上单调递减，
则的单调递增区间为，单调递减区间为.
【小问2详解】
解：因为，
则，
①当时，即时，因为，，，
所以，因此函数在区间上单调递增，
所以，不等式在区间上无解；
②当时，即时，当时，，，
因此，所以函数在区间上单调递减，
，不等式在区间上有解．
综上，实数的取值范围是．
【点睛】方法点睛：利用导数求解函数单调区间的基本步骤：
（1）求函数的定义域；
（2）求导数；
（3）解不等式，并与定义域取交集得到的区间为函数的单调增区间；解不等式，并与定义域取交集得到的区间为函数的单调减区间.X
0
1
2
3
P