2022-2023学年重庆市永川北山中学校高二下学期期中数学试题Word版含解析

  重庆市永川北山中学校高2024级高二下期半期考试

数学试题卷

命题人：姚元琼       审题人：袁顺凡        考试时间：120分钟

【注意事项】

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效.

3．考试结束后，将答题卡交回.

一、单项选择题（本大题8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 火车开出车站一段时间内，速度v（单位：米/秒）与行驶时间t（单位：秒）之间的关系是v(t)＝0.4t+0.6t2，则火车开出几秒时加速度为2.8米/秒？（　　）

A. 秒 B. 2秒 C. 秒 D. 秒

【答案】B

【解析】

【分析】

对函数求导，然后令，解方程可得．

【详解】由题意可知，＝0.4+1.2t，令0.4+1.2t＝2.8可得，t＝2（秒）．

故选：B．

2. 已知，则（    ）

A. 28 B. 30 C. 56 D. 72

【答案】C

【解析】

【分析】由组合数性质求出，再用排列数公式求值.

【详解】因为，

所以由组合数性质得，，

所以.

故选：C.

3. 在的展开式中，二项式系数的和是16，则展开式中各项系数的和为（    ）

A. 16 B. 32 C. 1 D.

【答案】A

【解析】

【分析】先根据二项式系数和公式得，再令特殊值即可求得答案.

【详解】解：因为二项式系数的和是16，所以，解得，

所以，令得展开式中各项系数的和为．

故选：A

4. 随机变量服从两点分布，且，令，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据两点分布的性质求出，则.

【详解】因随机变量服从两点分布，且，

所以，

由，所以.
故选：D

5. 设为实数，函数在处有极值，则曲线在原点处的切线方程为（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据导数的运算得，由极值情况可求得，再利用导数的几何意义即可求得在原点处的切线方程.

【详解】因为，所以，

又函数在处有极值，则，得

所以，，令得

且函数在递增，递减，递增，则是函数的极小值点，

所以，，则曲线在原点处的切线方程为.

故选：B

6. 按照编码特点来分，条形码可分为宽度调节法编码和模块组合法编码．最常见的宽度调节法编码的条形码是“标准25码”，“标准25码”中的每个数字编码由五个条组成，其中两个为相同的宽条，三个为相同的窄条，如图就是一个数字的编码，则共有多少（    ）种不同的编码．

A. 120 B. 60 C. 40 D. 10

【答案】D

【解析】

【分析】本题转化为排列问题，即3个分别相同的元素与2个分别相同的元素排成一列的总数问题.

【详解】由题意可得，该题等价于将5个元素（3个分别相同、2个分别相同）排成一列的所有排列数．

故选：D

7. 某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为（    ）

A. 0.625 B. 0.75 C. 0.5 D. 0

【答案】A

【解析】

【分析】他答对题目的概率等于知道正确答案时答对和不知道正确答案时猜对的概率和，依题意求解即可．

【详解】用A表示事件“考生答对了”，用B表示“考生知道正确答案”，

用表示“考生不知道正确答案”，

则，，，

，则

故选：A

8. 已知函数，的图象分别与直线交于两点，则的最小值为（    ）

A. 2 B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】先由题意用表示两点坐标，再由两点间距离得到，令，用导数的方法求出函数的最小值即可得出结果.

【详解】因为函数 的图像与直线分别交于两点，

所以，，其中，且，

所以，

令，

则，令得：；

所以易得：时，；时，；

即函数在上单调递减，在上单调递增，

因此，即的最小值为.

故答案为：B.

【点睛】本题主要考查导数的应用，先构造出函数，根据导数的方法研究函数的最值即可，属于常考题型.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分.）

9. 下列结论正确的是（    ）

A. 若随机变量服从二项分布，则

B. 若随机变量服从正态分布，则

C. 若随机变量服从两点分布，，则

D. 若随机变量的方差，则

【答案】AB

【解析】

【分析】根据二项分布的概率，正态曲线的对称性，两点分布的期望，方差的性质，即可分别求解.

【详解】对于A，若随机变量服从二项分布，则，故选项A正确.

对于B，若随机变量服从正态分布，则，

故，故选项B正确.

对于C，若，，，故选项C错误.

对于D，根据方差的计算公式，，则，故选项D错误.

故选：AB.

10. 二项展开式，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】对A、D选项，给赋特值即可判断；对于C选项则需要根据二项式系数的公式即可得出；对于B选项求导以后赋特值即可求出.

【详解】对A：令，可得，故A正确；

对B：左右两边分别求导得：，令，得，故B正确；

对C：，故C正确；

对D：令，可得，而，所以，故D错误.

故选：ABC.

11. 第24届冬奥会于2022年2月4日在北京和张家口联合举行. 甲、乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法正确的有（     ）

A. 若每个比赛区至少安排一名志愿者，则有240种不同的方案

B. 安排5名志愿者排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同站法

C. 若短道速滑必须安排两名志愿者，其余各安排一名志愿者，则有60种不同的方案

D. 已知5名志愿者身高各不相同，若安排5名志愿者拍照，前排两名，后排三名，后排要求身高最高的站中间，则有40种不同的站法

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据分组分配法即可判断AC，根据捆绑法可以判断B，根据特殊位置优先安排可判断D．

【详解】解：对于A：若每个比赛区至少安排1人，则有种不同的方案，故A正确；

对于B：把甲乙捆绑在一起，看作一个复合元素，再和另外的三人全排，则有种，故B错误；

对于C：短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有种不同的方案，故C正确；

对于D：先排前排，由种，后排3人中身高最高的站中间，则两边的有种，则有种，故D正确．

故选：ACD

12. 已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A. 是奇函数 B. 当时，函数恰有两个零点

C. 若为增函数，则 D. 当时，函数恰有两个极值点

【答案】ACD

【解析】

【分析】

利用函数奇偶性的定义可判断A选项的正误；利用导数分析函数的单调性，可判断B选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D选项的正误.

【详解】对于A选项，函数的定义域为，

，函数为奇函数，A选项正确；

对于B选项，当时，，则，

所以，函数在上为增函数，又，所以，函数有且只有一个零点，B选项错误；

对于C选项，，

由于函数为增函数，则对任意的恒成立，即.

令，则，则，

所以，函数在上为增函数，

当时，，此时，函数为减函数；

当时，，此时，函数为增函数.

所以，，，C选项正确；

对于D选项，当时，，则.

由B选项可知，函数在上单调递减，在上单调递增，

，，

由零点存在定理可知，函数在和上都存在一个零点，

因此，当时，函数有两个极值点，D选项正确.

故选：ACD.

【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：

（1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立；

（2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立；

（3）函数在区间上不单调在区间上存在极值点；

（4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立；

（5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 已知函数，则__________

【答案】

【解析】

【分析】直接利用初等函数导数公式,简单复合函数导数及导数运算律求解即可.

【详解】因为，，

所以，由可得，

故答案为: .

14. 已知随机变量，且，则______.

【答案】

【解析】

【分析】根据二项分布的期望和方差公式计算即可.

【详解】解：因为随机变量，

所以，所以，

所以.

故答案为：.

15. 2021年5月15日，天问一号探测器在火星乌托邦平原南部预选着陆区着陆，我国首次火星探测任务着陆火星取得成功，极大地鼓舞了天文爱好者探索宇宙奥秘的热情.某校航天科技小组决定从甲、乙等6名同学中选出4名同学参加市举行的“我爱火星”知识竞赛，已知甲被选出，则乙也被选出的概率为______.

【答案】##0.6

【解析】

【分析】利用条件概率公式即可得到结果.

【详解】设“甲同学被选出”记为事件，“乙同学被选出”记为事件，

则在甲同学被选出的情况下，乙同学也被选出的概率.

故答案为：

16. 已知函数，若对，，都有，则k的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】对函数求导可知在上单调递增，在上单调递减，设，则当时，恒成立，即恒成立，设，求其最大值后可求k的取值范围.

【详解】，则当时，，

当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，

不妨设，则，，

由已知，即，

令，则在上不存在减区间，

从而当时，恒成立，即恒成立，

令，则，当时，，单调递增；

当时，，单调递减，所以，所以.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17. 在二项式的展开式中，当且仅当第项的二项式系数最大．

（1）求的值；

（2）若展开式中的系数为，求的值．

【答案】（1）8    （2）．

【解析】

【分析】（1）根据二项式系数的特征求出；

（2）写出展开式的通项，令，求出，再代入得到方程，解得即可.

【小问1详解】

由二项式的展开式中，

当且仅当第项的二项式系数最大，即最大，.

小问2详解】

易知二项式展开式的通项为：

，且，  

令，得，
展开式中的系数为，
，即，，解得，
故的值为．

18. 设

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若函数的极大值为，求函数在上的最小值．

【答案】（1）单调递增区间为和；   

（2）.

【解析】

【分析】（1）求导研究函数单调性；（2）由（1）知函数的单调区间，找到在处取得极大值，可求出，求得最小值.

【小问1详解】

，

由得或，
所以的单调递增区间为和；

【小问2详解】

由Ⅰ知函数在处取得极大值，
即，得 ，则，

所以在上单调递增，在上单调递减，
又，，所以在上的最小值为．

19. 现有本书和位同学，将书全部分给这三位同学.

（1）若本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？

（2）若本书都不相同，共有多少种分法？

（3）若本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？

【答案】（1）种；（2）种；（3）150种.

【解析】

【分析】（1）用挡板法求解；

（2）每本书都有三种分配方法，求幂便可得到答案；

（3）用分组分配问题的求解方法求解，①将本书分成组，②将分好的三组全排列，对应3名学生，由分步计数原理计算可得答案.

【详解】解：（1）根据题意，若本书完全相同，将本书排成一排，中间有个空位可用，

在个空位中任选个，插入挡板，有种情况，

即有种不同的分法；

（2）根据题意，若本书都不相同，每本书可以分给人中任意1人，都有3种分法，

则5本不同的书有种；

（3）根据题意，分2步进行分析：

①将本书分成组，

若分成1、1、3的三组，有种分组方法，

若分成1、2、2的三组，有种分组方法，

则有种分组方法；

②将分好的三组全排列，对应名学生，有种情况，

则有种分法.

【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，难度一般. 解答时注意挡板法、分组分配问题等的应用，注意分类讨论思想的运用.

20. 为了提高学生学习数学的兴趣，某校决定在每周的同一时间开设《数学史》《生活中的数学》《数学与哲学》《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习，假设三人选择课程时互不影响，且每人选择每一课程都是等可能的.

（Ⅰ）求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率；

（Ⅱ）设为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，求的分布列和数学期望.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，.

【解析】

【分析】（Ⅰ）根据分步计数原理总事件数是，满足条件的事件数是，利用古典概率计算公式即可得出．

（Ⅱ）设为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则，1，2，3．；；；，即可得出所求．

【详解】解：（Ⅰ）甲、乙、丙三人从四门课程中各任选一门，共有种不同的选法，

记“甲、乙、丙三人选择的课程互不相同”为事件M，

事件M共包含个基本事件，则，

所以甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率为；

（Ⅱ）方法一：X可能的取值为0，1，2，3，

，，

，.

所以X的分布列为：

所以X的数学期望

方法二：甲、乙、丙三人从四门课程中任选一门，可以看成三次独立重复试验，X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数，则，所以，，1，2，3，

所以X的分布列为：

所以X的数学期望.

21. 为贯彻落实《健康中国行动（2019—2030年）》《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》等文件精神，确保2030年学生体质达到规定要求，各地将认真做好学生的体制健康监测.某市决定对某中学学生的身体健康状况进行调查，现从该校抽取200名学生测量他们的体重，得到如下样本数据的频率分布直方图.

（1）求这200名学生体重的平均数和方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）.

（2）由频率分布直方图可知，该校学生的体重服从正态分布，其中μ近似为平均数，近似为方差.

①利用该正态分布，求；

②若从该校随机抽取50名学生，记表示这50名学生的体重位于区间内的人数，利用①的结果，求.参考数据：.若，则，，.

【答案】（1），   

（2）①；②

【解析】

【分析】（1）根据频率分布直方图平均数的求法即可求出，利用方差公式计算即可求解；

（2）由（1）可知，，结合题意给的参照数据即可求出，进而得，利用二项分布求数学期望公式计算即可求解.

【小问1详解】

由题意得，

；

.

所以这200名学生体重的平均数为60，方差为86；

【小问2详解】

①由（1）可知，，

则；

②由①可知1名学生的体重位于的概率为0.6826.

则，

所以.

22. 已知函数,.

（1）求证：；

（2）设，当时，，求实数的取值范围．

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）构造函数，利用导数求出的最小值为，即可得证；

（2）求导，当时，求出函数的最小值为，符合题意；当时，二次求导可得在上单调递增，根据零点存在性定理可得存在零点，且当时，，函数单调递减，从而不合题意.

【小问1详解】

证明：令,则，

令，得，令，得，

故函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，即.

【小问2详解】

，

①当时，由（1）知，
所以,当且仅当且时，等号成立，

所以在上单调递增，则恒成立.符合题意；

②当时，令，则

因为，所以，，所以，

所以在上单调递增，且，，

则存在唯一的，使得.
所以当时，，函数单调递减，

故当时，，不满足题意.
综上所述，实数的取值范围是.