黑龙江省牡丹江市第三高级中学2022-2023学年高三数学下学期第三次模拟试卷（Word版附答案）

牡丹江市第三高级中学2023届高三第三次模拟考试

高三数学试卷

考试时间：120 分钟           分值：150 分

一、单选题（共8题）

1. 已知集合，且，则a可以为（    ）

A. －2 B. －1 C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】求出集合，结合元素与集合关系判断即可.

详解】∵，∴，∴，

可知，故A、C、D错误；，故B正确.

故选：B

2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数的几何意义得到，结合复数的运算法则，即可求解.

【详解】由题意，复平面内，复数对应的点的坐标是，

可得，所以.

故答案为：A.

3. 血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（    ）

（精确到0.1，参考数据：）

A. 0.3 B. 0.5 C. 0.7 D. 0.9

【答案】B

【解析】

【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.

【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，

由题意可得，，两边同时取自然对数并整理，

得，，

则，则给氧时间至少还需要小时

故选： B

4. 已知，则下列不等式不一定成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】A选项，根据不等式基本性质得到；B选项，利用基本不等式求解；C选项，利用作差法比较大小；D选项，可举出反例.

【详解】A选项，因为，所以，不等式两边同时乘以，可得，故A正确；

B选项，因为，所以，由基本不等式可得，

当且仅当，即时，等号成立，但，故等号取不到，，B正确；

C选项，，

因为，，故，故，C正确；

D选项，不妨设，则

故选：D

5. 已知，函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据正弦函数的单调性求出函数的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可.

【详解】由，得，

即函数的单调递减区间为，

令，则函数其中一个的单调递减区间为：

函数在区间内单调递减，

则满足，得，所以的取值范围是.

故选：D

6. 在中，，的平分线交BC于点D．若，则（    ）

A.  B.  C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】

【分析】设，由角平分线定理求得，然后由向量的线性运算可用表示出，从而求得，得出结论．

【详解】设，因为，所以，

又是的平分线，所以，，

，

又，所以，

所以．

故选：B．

7. 海面上有相距4公里的，两个小岛，在的正东方向，为守护小岛，一艘船绕两岛航行，已知这艘船到两个小岛距离之和为6公里.在岛的北偏西处有一个信号站，岛到信号站的距离为公里.若这艘船航行的过程中一直能接收到信号站发出的信号，则信号站的信号传播距离至少为（    ）

A. 公里 B. 5公里 C. 公里 D. 公里

【答案】D

【解析】

【分析】由椭圆定义船的航行轨迹是在一个长轴长为6焦距为4的椭圆上，求出椭圆的标准方程、点坐标，设椭圆上一点，根据的范围求出的范围可得答案.

【详解】由题意，船的航行轨迹是在一个长轴长为6焦距为4 的椭圆上，可设焦点坐标分别为，椭圆的标准方程为，

所以，，所以椭圆的方程为，

因为，，所以，

设椭圆上一点，

所以，

因为，所以，

所以，即，

故选：D.

8. 空间中四个点、、、满足，，且直线与平面所成角为，则三棱锥的外接球体积最大为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】先求的外接圆的半径，过作平面于，可得，可得当，，在一直线上时，三棱锥的外接球体积最大，求解即可．

【详解】设是三角形的外接圆的圆心，因为，所以是正三角形，

则三棱锥的外接球的球心在过且与平面垂直的直线上，

由题意可得，过作平面于，

直线与平面所成的角为，，，

故的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

当球心到的距离最大时，三棱锥的外接球体积最大，

所以在延长线上时，三棱锥的外接球体积最大，

设的中点为，连接，则，，

又，，

所以，，

，

三棱锥的外接球体积最大为.

故选：C．

多选题（共4题部分对2分、全对5分、有错误选项0分）

9. 已知、、为空间中三条不同的直线，、、为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的有（    ）

A. 若，，，则

B. 若，，，若，则

C. 若，、分别与、所成的角相等，则

D. 若，，，则

【答案】BD

【解析】

【分析】对于AC，通过举反例说明其错误；利用线面平行的性质可判断B选项；由垂直的性质及平行公理进行可判断D选项.

【详解】对于A，如图1，若，，，则可以与平行，故A错误；

对于B，因为，，，且，，则，

因为，，则，故，B对；

对于C，如图2，若，、分别与、所成的角为时，与可以相交、平行或异面，故C错误；

对于D，若，，则，又，则，D对.

故选：BC.

10. 下列说法正确的有（    ）

A 若事件与事件互斥，则

B. 若，，，则

C. 若随机变量服从正态分布，，则

D. 这组数据的分位数为

【答案】BC

【解析】

【分析】利用互斥事件的定义判断A，利用条件概率公式和独立事件的定义判断B，利用正态分布曲线的对称性判断C，利用百分位数的定义判断D.

【详解】选项A，若事件与事件互斥，则，故A错误；

选项B，若，，，

则，即事件与事件相互独立，

所以，故B正确；

选项C：若随机变量服从正态分布，，

则，

所以，故C正确；

选项D：将数据进行排序得，共个，

，所以这组数据的分位数为，故D错误；

故选：BC

11. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列，且，数列的前n项和为，则正确的选项是（    ）．

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【解析】

【分析】运用累和法、裂项相消法，结合等差数列的前n项和公式逐一判断即可.

【详解】由题意可知：，于是有，

显然可得：， ，因此选项A不正确，选项B正确；

当 时，，

显然适合上式，，因此选项D不正确；

，

，因此选项C正确，

故选：BC

12. 已知函数的零点为，函数的零点为，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】由题意可得，，令，可得，代入方程可得，变形为，根据函数的单调性及已知，，可得，，进而根据指数与对数的运算性质以及导数判断出结论的正误．

【详解】由题意可得，，

令，则，

代入方程可得，

变形为，

令，，

可知函数在上单调递减，

又，，

，即．

由，，即，因此A正确；

，因此B正确；

，因此C不正确；

令，则，

函数在上单调递增，，

，因此D正确．

故选：ABD

【点睛】利用导数可求得函数的最值（范围），步骤如下：先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导函数求得函数的单调区间，再根据单调性求得函数的最值（范围）.

二、填空题（共4题）

13. 若，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】先化简，再代值计算即可

【详解】解：因为，

所以

，

故答案为：

14. 的展开式中含的项与含的项系数相等，则___________.

【答案】

【解析】

【分析】求得展开式的通项为，分别令和，根据含的项与含的项系数相等，得到，即可求解.

【详解】由的展开式的通项为，

令，可得；

令，可得，

因为展开式中含的项与含的项系数相等，可得，

又因为，所以.

故答案为：.

15. 如果平面向量，，则向量在上的投影向量为_____ .

【答案】

【解析】

【分析】由已知可求得，，进而得出，然后根据即可得出答案.

【详解】由已知可得，，，

所以，，

所以，向量在上的投影向量为.

故答案为：.

16. 自“一带一路”倡议提出以来，中俄两国合作共赢的脚步越来越快．中俄输气管道工程建设中，某段管道铺设要经过一处峡谷，峡谷内恰好有一处直角拐角，如图，管道沿A、E、F、B拐过直角（线段EF过O点，点E，O，F在同一水平面内），峡谷的宽分别为27m、8m，如图所示，设EF与较宽侧峡谷崖壁所成的角为，则EF得长______m，（用表示），要使输气管道顺利通过拐角，EF长度不能低于______m

【答案】    ①.     ②.

【解析】

【分析】在两个直角三角形中用分别表示OE、OF，进而求得EF，结合导数求出的极值点即为最值点，即可求出结果.

【详解】如图所示，

在中，，

在中，，

所以，，

令，，

则，

令，，则，

联立（）可得：，，

所以，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以.

即：EF的长度不能低于.

故答案为：；.

三、解答题

17. 已知数列各项都不为，前项和为，且，数列满足，．

（1）求数列和的通项公式；

（2）令，求数列的前项和为

【答案】（1）;;   

（2）

【解析】

【分析】(1)利用即可求，再根据累加法，即可求解.

(2)利用错位相减法即可求解

【小问1详解】

由，可得，两式相减得，整理得，因为数列各项都不为，所以数列是以为公比的等比数列．令，则，解得，故．

由题知，

所以

【小问2详解】

由（1）得，所以，

，

两式相减得，

所以．

18. 如图，在三棱柱中，平面ABC，D，E分别为AC，的中点，，．

（1）求证：平面BDE；

（2）求直线DE与平面ABE所成角的正弦值；

（3）求点D到平面ABE的距离．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）；   

（3）.

【解析】

【分析】（1）根据线面垂直的性质得到，根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后利用线面垂直的判定定理证明即可；

（2）利用空间向量的方法求线面角即可；

（3）利用空间向量的方法求点到面的距离即可.

【小问1详解】

在三棱柱中，，为，的中点，∴，

∵平面，∴平面，

∵平面，∴，

在三角形中，，为中点，∴，

∵，平面，∴平面.

【小问2详解】

如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，

在直角三角形中，，，∴，

，，，，

，，，

设平面的法向量为，

，令，则，，所以，

设直线与平面所成角为，

所以.

【小问3详解】

设点到平面的距离为，所以.

19. 在中，．

（1）求；

（2）若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求a的值．

条件①：；条件②：；条件③：．

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】（1）   

（2）选②或③，

【解析】

【分析】（1）利用正弦定理：边转角，再利用正弦的二倍角公式，即可求出结果；

（2）条件①，由，角可以是锐角或钝角，不满足题设中的条件，故不选①；条件②，利用条件建立，边与的方程组，求出与，再利用余弦定理，即可求出结果；条件③，利用正弦定理，先把角转边，再结合条件建立，边与的方程组，求出与，再利用余弦定理，即可求出结果；

【小问1详解】

因为，由正弦定理得，，

又，所以，得到，

又，所以，

又，所以，得到，

所以.

【小问2详解】

选条件①：

由（1）知，，根据正弦定理知，，即，

所以角有锐角或钝角两种情况，存在，但不唯一，故不选此条件.

选条件②：

因为，所以，

又，得到，代入，得到，解得，所以，

由余弦定理得，，

所以.

选条件③：

因为，所以，

由，得到，

又，由(1)知，

所以

又由正弦定理得，，得到，

代入，得到，解得，所以，

由余弦定理得，，

所以.

20. 为调查禽类某种病菌感染情况，某养殖场每周都定期抽样检测禽类血液中指标的值.养殖场将某周的5000只家禽血液样本中指标的检测数据进行整理，绘成如下频率分布直方图

（1）根据频率分布直方图，估计这5000只家禽血液样本中指标值的中位数（结果保留两位小数）；

（2）通过长期调查分析可知，该养殖场家禽血液中指标的值服从正态分布

（i）若其中一个养殖棚有1000只家禽，估计其中血液指标的值不超过的家禽数量（结果保留整数）；

（ii）在统计学中，把发生概率小于的事件称为小概率事件，通常认为小概率事件的发生是不正常的.该养殖场除定期抽检外，每天还会随机抽检20只，若某天发现抽检的20只家禽中恰有3只血液中指标的值大于，判断这一天该养殖场的家禽健康状况是否正常，并分析说明理由.

参考数据：

①；

②若，则

【答案】（1）7.33   

（2）（i）841；（ii）不正常，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）先判断中位数所在区间，再设出中位数，利用中位数左侧频率和为0.5求解即可；

（2）（i）由正态分布的对称性及特殊区间的概率求得，再计算家禽数量即可；（ii）先求出，再由独立重复实验的概率公式求出恰有3只血液中指标的值大于的概率，和比较作出判断即可.

【小问1详解】

由可得中位数在区间内，

设中位数为，则，解得；

【小问2详解】

（i）由可得，

则，只；

（ii），，随机抽检20只相当于进行20次独立重复实验，

设恰有3只血液中指标的值大于为事件，则，

所以这一天该养殖场的家禽健康状况不正常.

21. 已知椭圆的短轴长为，且点在椭圆上．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）椭圆C的左、右顶点分别为A、B，点P、Q是椭圆C上异于A、B的不同两点，直线BP的斜率为，直线AQ的斜率为，求证：直线PQ过定点．

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】

【分析】（1）根据题意得，解方程即可得答案；

（2）设点P、Q的坐标分别为，，根据题意得直线BP的方程为，直线AQ的斜率为进而联立方程得，，，．再讨论当时得直线PQ过点，当时，，三点共线，即直线PQ过定点.

【详解】解：（1）由题意有，解得，，

故椭圆C的标准方程为．

（2）证明：设点P、Q的坐标分别为，

由（1）知，点A的坐标为，点B的坐标为，

直线BP的方程为，

联立方程，

消去y后整理为，有，

可得，．

直线AQ的斜率为

联立方程，

消去y后整理为，有，

可得，．

当时，解得，直线PQ的方程为，过点，

当时，，，即，

所以三点共线，

故直线PQ过定点．

【点睛】解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：

1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；

2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.

22. 已知函数．

（1）求的单调区间；

（2）若对恒成立，求a的取值范围；

（3）证明：若在区间上存在唯一零点，则．

【答案】（1）答案见解析   

（2）   

（3）证明见解析

【解析】

【分析】（1）讨论、，结合导数的符号确定单调区间；

（2）由，讨论、研究导数符号判断单调性，进而判断题设不等式是否恒成立，即可得参数范围；

（3）根据（2）结论及零点存在性确定时在上存在唯一零点，由零点性质及区间单调性，应用分析法将问题转化为证在上恒成立，即可证结论.

【小问1详解】

由题设，

当时，，则在R上递增；

当时，令，则，

若，则，在上递减；

若，则，在上递增；

综上，时的递增区间为R，无递减区间；

时的递减区间为，递增区间为.

【小问2详解】

由，

当时，在上恒成立，故在上递增，则，满足要求；

当时，由（1）知：在上递减，在上递增，而，

所以在上递减，在上递增，要使对恒成立，

所以，只需，

令且，则，即递减，

所以，故在上不存在；

综上，

【小问3详解】

由（2）知：时，在恒有，故不可能有零点；

时，在上递减，在上递增，且，

所以上，无零点，即，且趋向于正无穷时趋向正无穷，

所以，在上存在唯一，使，

要证，只需在上恒成立即可，

令，若，则，

令，则，即在上递增，故，

所以，即在上递增，故，

所以在上恒成立，得证；

故，得证.

【点睛】关键点点睛：第三问，通过讨论确定在某一单调区间上存在唯一零点的a的范围后，应用分析法证恒成立即可.