2022-2023学年浙江省宁波市北仑区小浃江中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省宁波市北仑区小浃江中学七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列选项中哪一个可以看作是由图案自身的一部分平移后得到的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列方程中，二元一次方程是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  如图，下列四个角中，与构成一对同位角的是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图所示，在下列四组条件中，能判定的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  某校运动员分组训练，若每组人，余人；若每组人，则缺人；设运动员人数为人，组数为组，则列方程组为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知关于、的方程组的解是，则关于、的方程组的解是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，当光线从空气进入水中时，会发生折射，满足入射角与折射角的度数比为：如图，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水面夹角分别为，，在水中两条折射光线的夹角为，则，，三者之间的数量关系为(    )

A.  B.
C.  D.

10.  如图，有三张正方形纸片，，，它们的边长分别为，，，将三张纸片按图，图两种不同方式放置于同一长方形中，记图中阴影部分周长为，面积为，图中阴影部分周长为，面积为若，则：的值为(    )
 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

11.  空气的密度是，用科学记数法表示为______ ．

12.  已知，用含的代数式表示是______ ．

13.  如图，直线，将一个直角的顶点放在直线上，若，则        ．

14.  如果是一个完全平方式，那么的值为______ ．

15.  已知是方程组的解，则 ______ ．

16.  一副直角三角尺叠放如图所示，现将的三角尺固定不动，将含的三角尺绕顶点顺时针转动旋转角不超过度，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图：当时，则其它所有可能符合条件的度数为          ．
 

三、计算题（本大题共1小题，共12.0分）

17.  某物流公司现有吨货物，计划同时租用，两种车，经理发现一个运货货单上的一个信息是：

根据以上信息，解答下列问题：
辆型车和辆型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
若物流公司打算一次运完，且恰好每辆车都装满货物，请你帮该物流公司设计租车方案；
若型车每辆需租金元次，型车每辆需租金元次，那么最少租车费是多少元？此时的租车方案是什么？

四、解答题（本大题共7小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18.  本小题分
计算或化简：
；
；
．

19.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

20.  本小题分
解下列方程组：
；
．

21.  本小题分
如图，在的正方形网格中有，点，，均在格点上．
画出点到直线的最短路径；
过点画出的平行线，交于点；
将向左平移格，再向下平移格后得到，画出；
判断和的数量关系        ．

22.  本小题分
如图，已知，求证：．

23.  本小题分
已知正方形的边长为，正方形的边长为．
如图，点与点重合，点在边上，点在边上，记阴影部分的面积为；
如图，在图正方形位置摆放的基础上，在正方形的右下角又放了一个和正方形一样的正方形，使一个顶点和点重合，两条边分别落在和上，记阴影部分面积为和．
注：已知；
______ ， ______ ， ______ ；结果用含，的代数式表示
若，，求的值，写出求解过程．

24.  本小题分
如图，直线，一副三角尺按如图放置，其中点在直线上，点，均在直线上，且平分．
求的度数．
如图，若将三角形绕点以每秒度的速度逆时针方向旋转的对应点分别为，，设旋转时间为．
在旋转过程中，若边，求的值．
若在三角形绕点旋转的同时，三角形绕点以每秒度的速度顺时针方向旋转的对应点为，请求出当边时的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

解：、可以看作是由图案自身的一部分平移后得到，故此选项符合题意；
B、两图形大小不同，不能由平移得到，故此选项不合题意；
C、图案由自身的一部分经旋转而得到，故此选项不合题意；
D、图案是一个整体，不能由平移得到，故此选项不合题意．
故选：．
【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，结合图案，对选项一一分析，排除错误答案．
本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致选错．  

2.【答案】 

【解析】

【分析】
直接利用方程的次数以及未知数的个数，进而得出答案．
此题主要考查了二元一次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
【解答】
解：、，是二元二次方程，故此选项错误；
B、，是二元一次方程，故此选项正确；
C、，是分式方程，故此选项错误；
D、，是二元二次方程，故此选项错误，
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：由图可得，与构成同位角的是，
故选：．
两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同位角．
本题主要考查了同位角的概念，同位角的边构成““形，内错角的边构成““形，同旁内角的边构成“”形．
 

4.【答案】 

【解析】

解：因为，所以选项运算正确，故A选项符合题意；
B.因为，所以选项运算不正确，故B选项不符合题意；
C.因为，所以选项运算不正确，故C选项不符合题意；
D.因为，所以选项运算不正确，故D选项不符合题意．
故选：．
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法，积的乘方，合并同类项，熟练掌握同底数幂乘除法，积的乘方，合并同类项的运算法则进行求解是解决本题的关键．
A.应用同底数幂除法法则进行计算即可得出答案；
B.应用积的乘方运算法则进行计算即可得出答案；
C.应用同底数幂乘法法则进行计算即可得出答案；
D.应用合并同类项运算法则进行计算即可得出答案．  

5.【答案】 

【解析】解：、，
内错角相等，两直线平行，故此选项错误；
B、，
内错角相等，两直线平行，故此选项正确；
C、，
内错角相等，两直线平行，故此选项错误；
D、，
内错角相等，两直线平行，故此选项错误．
故选：．
根据内错角相等两直线平行分别得出即可．
此题主要考查了平行线的判定，根据内错角相等两直线平行得出是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】
根据关键语句“若每组人，余人”可得方程；“若每组人，则缺人．”可得方程，联立两个方程可得方程组．
此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程．
【解答】
解：设运动员人数为人，组数为组，由题意得：
．
故选：．  

7.【答案】 

【解析】解：，，


．
故选：．
根据，求解即可．
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，属于中考常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：关于、的方程组的解是，
关于、的方程组，即的解为，
解得，
故选：．
仿照已知方程组的解，利用换元法求解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了换元的思想，熟练掌握换元法是解答本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示，过，，分别作水平线的垂线，则，

，
由题可得，，，
，
即，
即，
故选：．
过，，分别作水平线的垂线，则，依据平行线的性质以及光的折射原理，即可得到，，三者之间的数量关系．
本题主要考查了平行线的性质，光学原理，读懂题意并熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设大长方形的宽为，
由图知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
：的值为．
故选：．
根据题目中的数据，设大长方形的宽短边长为，表示出，，，，再代入，即可求解．
本题主要考查整式的混合运算，明确整式的混合运算的计算方法是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

12.【答案】 

【解析】解：方程，
，
解得．
故答案为：．
把看作已知数求出即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出．
 

13.【答案】 

【解析】解：由图可知，，

，
，
故答案为：．
根据互余和两直线平行，同位角相等解答即可．
本题主要考查了平行线的性质以及互余的运用，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
，
解得．
故答案为：．
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定的值．
本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得，，
，
故答案为：．
根据二元一次方程组的解的定义得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查的是二元一次方程组的解、二元一次方程组的解法，掌握解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键．
 

16.【答案】或或或 

【解析】

【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键
根据题意画出图形，再由平行线的判定定理即可得出结论．
【解答】
解：如图，
当时，；
当时，；
当时，，；
当时，，．
故答案为：或或或．  

17.【答案】解：设辆型车和辆型车一次分别可以运货吨，吨，
根据题意得：
，
解得：，
则辆型车和辆型车一次分别可以运货吨，吨；

某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，
，
则有，
解得：，
为正整数，
，，，，，，，，，，，，．
为正整数，
，，，
，；，；，．
满足条件的租车方案一共有种，，；，；，．

型车每辆需租金元次，型车每辆需租金元次，
当，，租车费用为：元；
当，，租车费用为：元；
当，，租车费用为：元．
当租用型车辆，型车辆时，租车费最少． 

【解析】设辆型车和辆型车一次分别可以运货吨，吨，根据题意列出方程组，求出方程组的解得到与的值，即可确定出所求；
根据某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，列出方程，确定出的范围，根据为整数，确定出的值即可确定出具体租车方案．
根据中求出的几个租车方案得出租车费即可．
此题考查了一次不等式组的应用，二元一次方程的应用，以及二元一次方程组的应用，弄清题意，找出等量关系是解本题的关键．
 

18.【答案】解：

；
；


． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先算乘方，再算乘法，后算加法，即可解答；
利用多项式除以单项式的法则，进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

19.【答案】解：


，
当时，原式． 

【解析】先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
故原方程组的解是：；
，
整理得：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
故原方程组的解是：． 

【解析】利用加减消元法进行求解即可；
利用加减消元法进行求解即可．
本题主要考查解二元一次方程组，解答的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法．
 

21.【答案】互余 

【解析】解：如图，即为所求．
如图，直线即为所求．
如图，即为所求．
，
，
，
，
，
，
即和的数量关系为互余．
故答案为：互余．
过点作的垂线，交的延长线于点即可．
利用网格，取格点，作直线即可．
根据平移的性质作图即可．
由平行线的性质可得，再由，可得，即可得出答案．
本题考查作图平移变换、平行线的判定与性质、点到直线的距离，熟练掌握平移的性质、平行线的判定与性质、点到直线的距离等知识点是解答本题的关键．
 

22.【答案】证明：，，
，
，
，
，
，
，
． 

【解析】求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可．
本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的性质是：两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，反之亦然．
 

23.【答案】     

【解析】解：图中阴影部分的面积，可以看作两个正方形的面积差，即，所以；
由拼图可知：面积为的正方形的边长为，因此；面积为的正方形的边长为，因此；
故答案为：，，；
，而，
，
，
，
，，
．
根据拼图，用代数式表示相应正方形的边长，再根据面积公式进行计算即可；
根据，以及中的结论，可求出、的值，再代入计算即可．
本题考查平方差公式、完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：如图中，

，
，
平分，
，
，
，
，
；
如图中，

，
，
，
，
，
，
在旋转过程中，若边，的值为；
如图中，当时，延长交于，

，
，
，，
，
，
；
如图中，当时，延长交于，

，
，
，，
，
，

综上所述，满足条件的的值为或 

【解析】利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题．
首先证明，由此构建方程即可解决问题．
分两种情形：如图中，当时，延长交于根据构建方程即可解决问题．如图中，当时，延长交于根据构建方程即可解决问题．
本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质，旋转变换，角平分线的定义是解题的关键．