专题21 垂美四边形模型-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破（原卷版）

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专题21 垂美四边形模型垂美四边形的概念：对角线互相垂直的四边形为垂美四边形。垂美四边形的性质：①S垂美四边形ABCD=AC•BD ②AB2+DC2=AD2+BC2证明：1）S垂美四边形ABCD=S△ABC+ S△ADC                           =AC•BP+AC•DP=AC•(BP+DP)=AC•BD        结论：垂美四边形的面积等于对角线乘积的一半。       2）∵AB2=AP2+BP2    CD2=PD2+PC2                 ∴AB2+CD2 = AP2+BP2+PD2+PC2         ∵AD2=AP2+DP2    BC2=BP2+PC2                 ∴AD2+BC2 = AP2+BP2+PD2+PC2         ∴AB2+DC2=AD2+BC2[【变形一】如图，在矩形ABCD中，P为CD边上有一点，连接AP、BP，则DP、BP、AP、CP之间的关系：DP2+BP2=AP2+PC2证明：∵ DP2+BP2 =DP2+BC2+PC2                PC2+AP2 =PC2+DP2+AD2  而AD=BC      ∴ DP2+BP2=AP2+PC2[【变形二】如图，在矩形ABCD中，P为矩形内部任意一点，连接AP、BP，CP，DP则AP、BP，CP，DP之间的关系：AP2+PC2=DP2+BP2证明（思路）：方法一：过点P分别作PE⊥AB、PF⊥BC、PG⊥CD、PH⊥AD垂足分别为点E、点F、点G、点H由已知条件可得HF⊥EG ∴HG2+EF2=EH2+FG2(证明过程略)而AP=EH、BP=EF、CP=FG、DP=GH  ∴ AP2+PC2=DP2+BP2方法二：将△APD平移至如图所示位置，点A与点B重合，点D与点C重合由平移的性质可得DP=CM，AP=BM，DP∥CM，∴四边形DPMC为平行四边形∴CD∥PM 则∠1=∠2 而∠2+∠3= 90°∴∠1+∠3= 90° 则∠CEP=90° ∴BC⊥PM∴ BM2+PC2=CM2+BP2 (证明过程略)∴ AP2+PC2=DP2+BP2【培优过关练】1．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）如图所示，四边形的对角线，互相垂直，若，，则的长为（    ）A．2.5 B．3 C．4 D．2．（2022秋·四川绵阳·九年级统考期中）如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的最大面积是（    ）A．64 B．32 C．16 D．以上都不对3．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，四边形的两条对角线互相垂直，AC、BD是方程的两个解，则四边形的面积是（    ）A．60 B．30 C．16 D．324．（2022秋·河南信阳·九年级统考阶段练习）如图，四边形的两条对角线互相垂直，，则四边形的面积最大值是（      ）A．16 B．32 C．36 D．645．（2023春·八年级课时练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，点E为对角线BD上任意一点，连接AE、CE． 若AB=5，BC=3，则AE2-CE2等于(    )A．7 B．9 C．16 D．256．（2019·浙江杭州·模拟预测）如图，点E是矩形内任意一点，连接，则下列结论正确的是（　　　）A． B．C． D．7．（2022秋·上海·九年级校考期中）如图，已知四边形的对角线、互相垂直于点，，，，那么________．8．（2022·山东枣庄·统考模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD=3，BC=5，则____________．9．（2020·山东日照·校考三模）如果，在中，，，斜边的两个端点分别在相互垂真的射 线，上滑动，下列结论：①若C ，O两点关于对称，则②C ，O两点距离的最大值为4：③四边形的面积为；④斜边的中点D运动路径的长度是．其中正确结论的序号是_______________10．（2020秋·全国·九年级专题练习）学习新知：如图1、图2，P是矩形ABCD所在平面内任意一点，则有以下重要结论：AP2+CP2＝BP2+DP2．该结论的证明不难，同学们通过勾股定理即可证明．应用新知：如图3，在△ABC中，CA＝4，CB＝6，D是△ABC内一点，且CD＝2，∠ADB＝90°，则AB的最小值为_____．11．（2022秋·天津·九年级天津市第五十五中学校考期末）如图，四边形两条对角线互相垂直，且．设，(1)用含的式子表示：_____________；(2)当四边形的面积为时，求的长；12．（2022秋·江西抚州·九年级南城县第二中学校考阶段练习）(1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______；（只填序号）            (2)【概念理解】如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由．(3)【性质探究】如图1，垂美四边形的两对角线交于点，试探究，，，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明；(4)【性质应用】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，，已知，，求长．13．（2022秋·九年级单元测试）如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：四边形EFGH是平行四边形．(2)若四边形ABCD的对角线互相垂直且它们的乘积为48，求四边形EFGH的面积．14．（2022秋·九年级课时练习）小明学习了特殊的四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是______．(2)性质探究：通过探究，直接写出垂美四边形ABCD的面积S与两条对角线AC、BD之间的数量关系：______．(3)问题解决：如图2，分别以的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结BG、CE交于点N，CE交AB于点M，连结GE．①求证：四边形BCGE为垂美四边形；②已知，，则四边形BCGE的面积为______．15．（2021秋·山西太原·八年级太原师范学院附属中学校考阶段练习）认识新知：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)概念理解：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知OB＝OD，AB＝AD，判断：四边形ABCD____垂美四边形（填“是”或“否”）；(2)性质探究：如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD．①若OA＝1，OB＝5，OC＝7，OD＝2，则AB2+CD2＝____；AD2+BC2＝____．②猜想AB、BC、CD、AD这四条边的数量关系，并给出证明．(3)解决问题：如图3，△ACB中，∠ACB＝90°，AC⊥AG且AC＝AG＝4，AB⊥AE且AE＝AB＝5，连结CE、BG、GE，则GE＝____．16．（2022春·江西上饶·八年级统考期末）定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．(1)特例感知：如图1，四边形ABCD是“垂美四边形”，如果，，，则______，______．(2)猜想论证：如图1，如果四边形ABCD是“垂美四边形”，猜想它的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系并给予证明．(3)拓展应用：如图2，分别以的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知，，求GE长．17．（2022春·广东韶关·八年级统考期末）新定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．(1)尺规作图：以已知线段为对角线作一个垂美四边形，使其对角线交于点O；（不写作法，保留作图痕迹）(2)已知四边形是垂美四边形，且，则它的面积为________；(3)如图，四边形是垂美四边形，，探究a、b、c、d的数量关系；(4)如图，已知D、E分别是中边的中点，，请运用上题的结论，求的长．18．（2022秋·江西吉安·九年级统考期末）定义：我们把两条对角线互相垂直的四边形称为“垂美四边形”．(1)特例感知：如图1，四边形ABCD是“垂美四边形”，如果，OB=2，，则______，______．(2)猜想论证如图1，如果四边形ABCD是“垂美四边形”，猜想它的两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系并给予证明．(3)拓展应用：如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，∠BAC=60°，求GE长．(4)如图3，∠AOB=∠COD=90°，∠ABO=∠CDO=30°，∠BOC=120°，OA=OD，，连接AC，BC，BD，请直接写出BC的长．19．（2021春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．（1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD．垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）解决问题：已知AB＝5．BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD；①如图2，当∠ACB＝90°，连接DE，求DE的长；②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH＝2，则S△ABC＝　　．20．（2021·贵州贵阳·统考一模）如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．（1）性质探究：如图1．已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2+CD2＝AD2+BC2．（2）解决问题：已知AB＝5，BC＝4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．①如图2，当∠ACB＝90°，连接PQ，求PQ；②如图3，当∠ACB≠90°，点M、N分别是AC、AP中点连接MN．若MN＝，则S△ABC＝　   　．