专题20 等腰三角形-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破（原卷版）

这是一份专题20 等腰三角形-2023年中考数学一轮复习热点题型与方法精准突破（原卷版），共20页。
专题20 等腰三角形
【考查题型】

【知识要点】
知识点一 垂直平分线
垂直平分线的概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）。
性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；反过来，到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
考查题型一 垂直平分线的性质
典例1．（2022·山东淄博·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7
变式1-1．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，在中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线，分别交线段，于点D，E，若，的周长为11，则的周长为（    ）

A．13 B．14 C．15 D．16
变式1-2．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）如图，在菱形中，分别以、为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点、，连接，若直线恰好过点与边交于点，连接，则下列结论错误的是（    ）

A． B．若，则
C． D．
变式1-3．（2022·山东济南·中考真题）如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（    ）

A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC C．AB＝4 D．AC＝2AB
变式1-4．（2022·山东聊城·中考真题）如图，中，若，，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（    ）

A． B．
C． D．
变式1-5（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，线段是半圆O的直径。分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线，交半圆O于点C，交于点E，连接，，若，则的长是（    ）

A． B．4 C．6 D．
变式1-6．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，在矩形中，，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线分别交于点E，F，则的长为（    ）

A． B． C． D．
变式1-7．（2022·湖北恩施·中考真题）如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若，．则四边形MBND的周长为（    ）

A． B．5 C．10 D．20
变式1-8．（2021·浙江嘉兴·中考真题）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（      ）

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形
变式1-9．（2022·西藏·中考真题）如图，依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹：

（1）分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点，作直线EF；
（2）以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点G，H，再分别以点G，H为圆心，大于GH的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点O，画射线AO，交直线EF于点M．已知线段AB＝6，∠BAC＝60°，则点M到射线AC的距离为 _____．
变式1-10．（2022·山东枣庄·中考真题）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点B和D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E和F；②作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N．若DM＝5，CM＝3，则MN＝_____．

变式1-11．（2022·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD为平行四边形，AB＝2，BC＝3．按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线MN．若直线MN恰好经过点A，则平行四边形ABCD的面积是 _____．

变式1-12．（2022·江苏无锡·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是CD的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G，则BG＝________．

变式1-13．（2021·青海西宁·中考真题）如图，在矩形中，E为的中点，连接，过点E作的垂线交于点F，交CD的延长线于点G，连接CF．已知，，则_________．

变式1-14．（2022·内蒙古赤峰·中考真题）如图，已知中，，，．

(1)作的垂直平分线，分别交、于点、；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，连接，求的周长．
变式1-15．（2021·广东·中考真题）如图，在中，，作的垂直平分线交于点D，延长至点E，使．

（1）若，求的周长；
（2）若，求的值．
变式1-16．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在正方形中，为上一点，连接，的垂直平分线交于点，交于点，垂足为，点在上，且．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
知识点二 等腰三角形
等腰三角形概念：有两边相等的三角形角等腰三角形。等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形性质：
1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）
2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。（三线合一）
【补充】利用三角形的全等可证明上述定理：已知等腰△ABC
作顶角的平分线 作底边的垂线 作底边的中线




∵AB=AC ∠1=∠2 AD=AD ∵AB=AC AD⊥BC AD=AD ∵AB=AC BD=DC AD=AD
∴△ABC≌△ACD（SAS） ∴△ABC≌△ACD（HL） ∴△ABC≌△ACD（SSS）
∴∠B=∠C BD=DC AD⊥BC ∴∠B=∠C BD=DC ∠1=∠2 ∴∠1=∠2 ∠B=∠C AD⊥BC
等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
考查题型二 等腰三角形的性质
典例2．（2022·江苏宿迁·中考真题）若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（    ）
A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm
变式2-1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，点E，F，G分别在边，，上，，，则四边形的周长是（    ）

A．32 B．24 C．16 D．8
变式2-2．（2022·福建·中考真题）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，，BC＝44cm，则高AD约为（    ）（参考数据：，，）

A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm
变式2-3．（2022·海南·中考真题）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P，画射线，交于点D，若，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
变式2-4．（2022·四川自贡·中考真题）等腰三角形顶角度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数为（    ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
变式2-5．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，直线l1l2，点C、A分别在l1、l2上，以点C为圆心，CA长为半径画弧，交l1于点B，连接AB．若∠BCA＝150°，则∠1的度数为（　　）

A．10° B．15° C．20° D．30°
变式2-6．（2022·黑龙江·中考真题）如图，中，，AD平分与BC相交于点D，点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于点P．若的面积是24，，则PE的长是（    ）

A．2.5 B．2 C．3.5 D．3
变式2-7．（2022·江苏淮安·中考真题）如图，在中，，的平分线交于点，为的中点，若，则的长是（    ）

A．8 B．6 C．5 D．4
变式2-8．（2022·云南·中考真题）已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是____．
变式2-9．（2022·江苏苏州·中考真题）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰△ABC是“倍长三角形”，底边BC的长为3，则腰AB的长为______．
变式2-10．（2022·广西贵港·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转角得到，点B的对应点D恰好落在边上，若，则旋转角的度数是______．

变式2-11．（2022·四川成都·中考真题）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交边于点．若，，，则的长为_________．

变式2-12．（2022·山东滨州·中考真题）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中，立柱，且顶角，则的大小为_______．

变式2-13．（2022·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，以点为圆心，长为半径作弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为__________．

变式1-14．（2022·四川广安·中考真题）若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________．
变式2-15．（2022·上海·中考真题）如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB上，且CF=BE，AE²=AQ·AB求证：

(1)∠CAE=∠BAF；
(2)CF·FQ=AF·BQ
变式2-16．（2022·湖南衡阳·中考真题）如图，在中，，、是边上的点，且，求证：．

变式2-17．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，在和中，，，，且点D在线段上，连．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
变式2-18．（2022·山东淄博·中考真题）如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．求证：BD＝CE．

考查题型三 等腰三角形的判定
典例3．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，在的正方形网格中有两个格点A、B，连接，在网格中再找一个格点C，使得是等腰直角三角形，满足条件的格点C的个数是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5
变式3-1．（2021·贵州铜仁·中考真题）直线、、、如图所示，，，则下列结论错误的是（      ）

A． B． C． D．
变式3-2．（2022·四川雅安·中考真题）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC＝9，CD＝3，那么阴影部分的面积为 _____．

变式3-3．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，在中，点E在上，且平分，若，，则的面积为________．

变式3-4．（2021·湖北黄冈·中考真题）在中，，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F；再分别以点E，F为圈心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．则与的数量关系是____．

考查题型四 等腰三角形的性质与判定
典例4．（2022·天津·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（    ）

A． B． C． D．
变式4-1．（2022·浙江台州·中考真题）如图，点在的边上，点在射线上（不与点，重合），连接，．下列命题中，假命题是（    ）

A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
变式4-2．（2022·广西桂林·中考真题）如图，在ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，则ABC的面积是（    ）

A． B．1+ C．2 D．2+
变式4-3．（2022·山东烟台·中考真题）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是（　　）

A．北偏东70° B．北偏东75° C．南偏西70° D．南偏西20°
变式4-4．（2022·广西梧州·中考真题）如图，在中，是的角平分线，过点D分别作，垂足分别是点E，F，则下列结论错误的是（    ）

A． B． C． D．
变式4-5．（2022·辽宁营口·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，由图中的尺规作图得到的射线与AC交于点D，则以下推断错误的是（    ）

A． B． C． D．
变式4-6．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，在中，，，是边上的中线．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，；②作直线，分别交，于点，；③连接，．则下列结论错误的是（    ）

A． B．
C． D．
变式4-7．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，直线，AB＝AC，∠BAC＝40°，则∠1＋∠2的度数是（    ）

A．60° B．70° C．80° D．90°
变式4-8．（2022·湖北荆门·中考真题）数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得AC＝30，∠A＝45°，∠C＝90°，如图，据此可求得A，B之间的距离为(   )

A．20 B．60 C．30 D．30
变式4-9．（2022·浙江绍兴·中考真题）如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接，则的度数是______．

变式4-10．（2022·湖南邵阳·中考真题）如图，在等腰中，，顶点在的边上，已知，则_________．

变式4-11．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为 _____．

变式4-12．（2022·浙江温州·中考真题）如图，是的角平分线，，交于点E．

(1)求证：．
(2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由．
等边三角形的概念：三条边都相等的三角形叫等边三角形，它是特殊的等腰三角形。
等边三角形的性质：1）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质；
2）有三条对称轴；
3）每个内角都是60°
等边三角形的判定：1）三边相等或三个角都相等的三角形是等边三角形。
2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半
考查题型五 等边三角形的性质
典例5．（2022·海南·中考真题）如图，直线，是等边三角形，顶点B在直线n上，直线m交于点E，交于点F，若，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
变式5-1．（2022·四川南充·中考真题）如图，在正五边形中，以为边向内作正，则下列结论错误的是（    ）

A． B． C． D．
变式5-2．（2022·山东青岛·中考真题）如图，O为正方形对角线的中点，为等边三角形．若，则的长度为（    ）

A． B． C． D．
变式5-3．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（    ）

A． B． C． D．
变式5-4．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，等边三角形OAB，点B在x轴正半轴上，，若反比例函数图象的一支经过点A，则k的值是（    ）

A． B． C． D．
变式5-5．（2022·四川绵阳·中考真题）下列关于等边三角形的描述不正确的是（    ）
A．是轴对称图形 B．对称轴的交点是其重心
C．是中心对称图形 D．绕重心顺时针旋转120°能与自身重合
变式5-6．（2022·青海·中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现：
如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；

    图1
(2)解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.

    图2
变式5-7．（2022·四川自贡·中考真题）如图，△是等边三角形， 在直线上，．求证： ．

变式5-8．（2022·贵州黔东南·中考真题）阅读材料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：
如图，和都是等边三角形，点在上．

求证：以、、为边的三角形是钝角三角形．
(1)【探究发现】小明通过探究发现：连接，根据已知条件，可以证明，，从而得出为钝角三角形，故以、、为边的三角形是钝角三角形．
请你根据小明的思路，写出完整的证明过程．
(2)【拓展迁移】如图，四边形和四边形都是正方形，点在上．

①试猜想：以、、为边的三角形的形状，并说明理由．
②若，试求出正方形的面积．
考查题型六 等边三角形的性质与判定
典例6．（2022·湖南·中考真题）如图，点是等边三角形内一点，，，，则与的面积之和为（   ）

A． B． C． D．
变式6-1．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，等边、等边的边长分别为3和2．开始时点A与点D重合，在上，在上，沿向右平移，当点D到达点B时停止．在此过程中，设、重合部分的面积为y，移动的距离为x，则y与x的函数图象大致为（    ）

A．B．C．D．
变式6-2．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，已知，点为边上一点，，点为线段的中点，以点为圆心，线段长为半径作弧，交于点，连接，则的长是（    ）

A．5 B． C． D．
变式6-3．（2022·湖北黄冈·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则弧AD的长为（    ）

A． B． C． D．2
变式6-4．（2022·贵州安顺·中考真题）如图，在中，，，是边的中点，是边上一点，若平分的周长，则的长为（    ）

A． B． C． D．
变式6-5．（2021·山东枣庄·中考真题）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，，，点是上一动点，点是的中点，则的最小值为（    ）

A． B． C．3 D．
变式6-6．（2022·吉林长春·中考真题）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形和等边三角形组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若厘米，则这个正六边形的周长为_________厘米．

变式6-7．（2022·山东枣庄·中考真题）北京冬奥会开幕式的巨型雪花状主火炬塔的设计，体现了环保低碳理念．如图所示，它的主体形状呈正六边形．若点A，F，B，D，C，E是正六边形的六个顶点，则tan∠ABE＝_____．

变式6-8．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN=AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．

(1)求证：MP=NP；
(2)若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．
变式6-9．（2022·黑龙江·中考真题）和都是等边三角形．

(1)将绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有（或）成立；请证明．
(2)将绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明；
(3)将绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA、PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．