2023年浙江省杭州市萧山区中考数学调研试卷（4月份）（含解析）

2023年浙江省杭州市萧山区中考数学调研试卷（4月份）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列运算一定正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年轻的数学家．下面的数据是部分获奖者获奖时的年龄单位：岁：，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

4.  数学是研究化学的重要工具，数学知识广泛应用于化学邻域，比如在学习化学的醇类化学式中，甲醇化学式为，乙醇化学式为，丙醇化学式为，设碳原子的数目为为正整数，则醇类的化学式可以用下列哪个式子来表示(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，直线，直线分别交直线，于点，，点在直线上，，若，则的度数是(    )
 

A.  B.  C.  D.

6.  若，则下列不等式一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，已知是的直径，弦，垂足为，且，，则的半径长为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  九章算术中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出钱，还差钱；若每人出钱，多余钱，问合伙人数、羊价各是多少？若设人数为人，羊价钱，则下面所列方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为的小正方形已知为较长直角边，若，则正方形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知抛物线与轴最多有一个交点，现有以下三个结论：
该抛物线的对称轴在轴左侧；
关于的方程无实数根；
的最小值为．
其中，正确结论为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  分解因式：______．

12.  在一个盒子中装有若干乒乓球，小明为了探究盒子中所装乒乓球的数量，他先从盒子中取出一些乒乓球，记录了所取乒乓球的数量为个，并在这些乒乓球上做了记号“”，然后将它们放回盒子中，充分摇匀；接下来，他又从这个盒子中再次取出一些乒乓球，记录了所取乒乓球的数量为个，其中带有记号“”的乒乓球有个，小明根据实验所得的数据，，，可估计出盒子中乒乓球的数量有______ 个

13.  将一个正八边形与一个正六边形如图放置，顶点、、、四点共线，为公共顶点则 ______ ．

14.  已知反比例函数的表达式为，和是反比例函数图象上两点，若时，，则的取值范围是______ ．

15.  如图，以边长为的等边顶点为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与边相切，分别交，于，，则图中阴影部分的面积是______ ．

16.  如图所示，长宽比为：的矩形，将矩形沿着折叠，使点落到宽的中点，点落到点处，则 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：；
解不等式：．

18.  本小题分
第届亚运会将于年月日至月日在杭州举行，杭州亚运会吉祥物是“宸宸”“琮琮”和“莲莲”将三张正面分别印有以上个吉祥物图案的卡片卡片的形状、大小、质地都相同背面朝上、洗匀．
若从中任意抽取张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是        ；
若先从中任意抽取张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取张，求两次抽取的卡片图案不同的概率请用树状图或列表的方法求解
 

19.  本小题分
如图所示，延长平行四边形一边至点，连结交于点，若．
若，求线段的长；
若的面积为，求平行四边形的面积．

20.  本小题分
已知：一次函数的图象与某反比例函数的图象的一个公共点的横坐标为．
求该反比例函数的解析式；
将一次函数的图象向上平移个单位，求平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标．

21.  本小题分
如图所示正方形与等边，连结，过点作的垂线段，连结，．
求的度数；
证明：．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线．
当时，求抛物线与轴交点坐标；
求抛物线的对称轴，以及顶点纵坐标的最大值；
抛物线上两点和，当，时，若存在，直接写出的取值范围．

23.  本小题分
已知点是以为直径的圆上一点，连结，在上截取，连结并延长交圆于点，连结，设．
如图，若时，求度数；
如图，过点作，证明：；
如图，若，连结并延长，交的延长线于点，设的面积为，设面积为，用含的代数式表示：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的相反数是．
故选：．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查整式的运算．分别利用合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，平方差公式解题即可．
【解答】
解：，故A错误；
B.，故B错误；
C.，故C错误；
D.，故D正确．
故选D．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
根据众数和中位数的定义即可得正确选项．
【解答】
解：出现的次数最多，
这组数据的众数是，
将这组数据按从小到大排列，排在中间的两个数分别为，，故这组数据的中位数为．
故选：．
【点评】
本题主要考查众数和中位数，掌握求众数和中位数的方法是解题关键．  

4.【答案】 

【解析】解：设碳原子的数目为为正整数时，氢原子的数目为，
观察，发现规律：，，，，
．
碳原子的数目为为正整数时，它的化学式为．
故选：．
设碳原子的数目为为正整数时，氢原子的数目为，列出部分的值，根据数值的变化找出变化规律“”，依次规律即可解决问题．
本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律“”本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据碳原子的变化找出氢原子的变化规律是关键．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
首先利用平行线的性质得到，然后利用得到，最后利用角的和差关系求解即可．
【解答】
解：如图所示，







直线，
，
，
，
又，
，
．
故选：．
【点评】
本题主要考查了平行线的性质，角的和差等知识，解答本题的关键是根据平行线的性质求出的度数．  

6.【答案】 

【解析】解：，
，
．
，
选项不成立；
，
，
选项不成立；
，
，
选项一定成立；
，
，
，
选项不成立．
故选：．
利用已知条件得到，再利用不等式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，如图所示：

是的直径，弦，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
即的半径为，
故选：．
连接，由圆周角定理得出，根据垂径定理可得，证出为等腰直角三角形，利用特殊角的三角函数可得答案．
此题主要考查了圆周角定理、垂径定理、以及三角函数的应用；关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，可得：．
故选：．
首先根据若每人出钱，还差钱，可得出，再根据若每人出钱，多余钱，可得出，然后联立，即可列出方程组．
本题考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系准确列出方程组是解本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设则正方形的面积，
由题意可知，
，
，
，
正方形的面积为，
，
正方形的面积，
故选：．
设则正方形的面积，由题意可知，由此即可解决问题．
本题考查正方形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，即、同号，
该抛物线的对称轴在轴左侧；
故正确；
，
抛物线开口向上，
抛物线与轴最多有一个交点，
抛物线的顶点在轴上或在轴的上面，
抛物线与直线无交点，
关于的方程无实数根；
故正确；
当时，，
，
即，
而，
，
故错误；
故选：．
根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．
先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【解答】
解：．
故答案为．  

12.【答案】 

【解析】解：所取乒乓球的数量为个，其中带有记号“”的乒乓球有个，
带有记号“”的乒乓球的频率为，
乒乓球的总个数为个，
故答案为：．
首先确定样本中乒乓球的频率，然后用样本估计总体即可．
本题考查了用样本估计总体的知识，解题的关键是确定样本中乒乓球的频率．
 

13.【答案】 

【解析】解：由多边形的内角和可得，
，
，
，
，
由三角形的内角和得：
，


．
故答案为：．
根据多边形的内角和，分别得出，，再根据三角形的内角和算出，得出即可．
本题考查了多边形的内角和定理，掌握定理是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：反比例函数的图象上两点，，当时，有，
，
解得，
故答案为：．
根据反比例函数的性质，可以得到关于的不等式，从而可以求得的取值范围．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意，以为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与边相切，
设切点为，连接，则，
等边中，，，
．
在中，
，
，
故答案为：．
作，由勾股定理求出，然后根据得出答案．
本题主要考查了等边三角形的性质，求扇形面积，理解切线的性质，将阴影部分的面积转化为三角形的面积扇形的面积是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作于点，设与交于点，如图所示：
则，
长宽比为：的矩形，
设，则，
是的中点，
，
根据折叠的性质，可知，
设，则，
在矩形中，，
根据勾股定理，得，
即，
解得，
，
，
根据折叠的性质可得，，
，
，
，
，
∽，
：：：，
：：：，
，，
根据折叠的性质可得，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
故答案为：．
过点作于点，设与交于点，设，则，根据折叠的性质，可得，根据勾股定理列方程，求出的长，可得的长，再证∽，根据相似三角形的性质可得：：：，可得的长和的长，再证明≌，根据全等三角形的性质可得的长，进一步可得的长，根据，可知四边形是矩形，可得，进一步求出的长，根据求解即可．
本题考查了翻折变换折叠问题，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式
；
，
，
，
，
，
则． 

【解析】代入三角函数值、去绝对值符号、计算零指数幂和负整数指数幂，再计算加减即可；
根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为可得．
本题主要考查实数的运算和解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
 

18.【答案】 

【解析】解：从中任意抽取张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是，
故答案为：；
把吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”三张卡片分别记为、、，
画树状图如图：

共有种等可能的结果，两次抽取的卡片图案不相同的结果有种，
两次抽取的卡片图案相同的概率为．
直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有种等可能的结果，两次抽取的卡片图案不相同的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法与树状图法；正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

19.【答案】解：四边形为平行四边形，
，，
∽，
，
而，
，
而，
；
如图，过作于，角于，
，
于，
根据，
的面积为，
，
，
平行四边形的面积． 

【解析】利用平行四边形的性质可以证明∽，然后利用相似三角形的性质和已知条件即可求解；
利用相似三角形的性质和三角形的面积公式可以求出，然后利用平行四边形的面积即可求解．
此题主要考查了相似三角形的性质与判定，同时也利用了三角形的面积公式和平行四边形的性质及面积公式，有一定的综合性，对于学生的要求比较高．
 

20.【答案】解：把代入，得，
设反比例函数的解析式为，
把，代入得，，
该反比例函数的解析式为；

平移后的图象对应的解析式为，
解方程组，得或．
平移后的图象与反比例函数图象的交点坐标为和． 

【解析】先求出两函数的交点坐标，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
平移后的图象对应的解析式为，联立两函数解析式，进而求得交点坐标．
考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数图象与几何变换，解题的关键是待定系数法求函数解析式，掌握各函数的图象和性质．
 

21.【答案】解：四边形是正方形，是等边三角形，
，，，，
，
，
；
证明：，，
，
，
，
，
，
又，
∽，
，
． 

【解析】由正方形的性质和等边三角形的性质可求，，，即可求解；
通过证明∽，可得，即可求解．
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形的相似是解题的关键．
 

22.【答案】解：时，，
抛物线与轴的交点坐标为．
，
抛物线经过，，
抛物线的对称轴为直线，
将代入得，
抛物线顶点纵坐标为，其最大值为．
时，点与点关于对称轴对称，点在对称轴左侧，点在对称轴右侧，
，即
点关于对称轴的对称点坐标为，
，，
，
，
，
解得． 

【解析】将代入函数解析式求解．
由抛物线的的解析式可得抛物线经过，，根据抛物线的对称性可得抛物线的对称轴，进而求解．
由可得点，关于对称轴对称，由点坐标可得点关于对称轴的对称点的坐标，进而求解．
本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
 

23.【答案】解：如图，

连接，作于，
，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
；
证明：如图，

连接，
，，
∽，
，，
，，
，，，
，
，
，
，
；
解：如图，

作的垂直平分线，交于，
，
，
，
由知：，
，
，
，
不妨设，，，
，
，
在中，
，
，
是直径，
，
，
∽，
，
． 

【解析】连接，作于，由得，由是的直径，得，结合，进一步得出结果；
连接，可证得∽得出，可证得，进一步得出结果；
作的垂直平分线，交于，可证得，由得，得出，从而，从而，不妨设，，，从而，可得，在中，，从而得出，可证得∽，从而得出，进而得出结果．
本题考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造二倍角．