2023年山东省威海经区中考一模数学试题

2023年初四综合测试（一）

数学

（时间120分钟，满分120分）

注意事项：

1．本试卷分试题卷和答题卡两部分．试题卷7页，答题卡7页．考试结束，上交答题卡．

2．在答题卡答题时，须用黑色中性笔，作图用2B铅笔．答题时，请务必在题号所指示的区域内作答，写在试题卷上或答题卡指定区域以外的答案一律无效。

3．不要求保留精确度的题目，计算结果保留准确值．

祝考试成功！

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）

1．下列实数中，分数是（    ）

A． B．

C．﹣2 D．0.6868868886……（相邻两个6之间8的个数逐次加1）

2．根据人民银行发布的《金融统计数据报告》，2023年3月末社会融资规模存量为334.9万亿元，同比增长10.7%。将数字334.9万亿用科学记数法表示为（    ）

A． B． C． D．

3．下列计算正确的是

A．3a＋2b＝5ab B． C． D．

4．如图，是有一块马蹄形磁铁和一块条形磁铁构成的几何体，该几何体的左视图是（    ）

A． B． C． D．

5．如图，若△ABC与是位似图形，则位似中心的坐标为（    ）

A． B． C． D．

6．函数y＝kx＋b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程的根的情况是（    ）

A．没有实数根  B．有两个不相等的实数根

C．有两个相等的实数根  D．无法确定

7．一些相同的“◯”按如图所示的规律依次摆放，则第50个图中有多少个“◯”（    ）

A．2657 B．2555 C．2455 D．1875

8．小亮要计算一组数据82，80，83，76，89，79的方差，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去80，得到一组新数据2，0，3，﹣4，9，﹣1，记这组新数据的方差为，则与的大小关系为（    ）

A． B． C． D．无法确定

9．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM﹣PO的最大值为（    ）

A． B． C． D．

10．已知二次函数（a≠0），图象上部分点的坐标（x，y）的对应值如下表所示，则方程的根是（    ）

A．或 B．0或4 C．1或5 D．无实根

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．只要求填出最后结果）

11．计算：_____。

12．分解因式：_____。

13．如图，直线y＝2x＋1和y＝kx＋3相交于点，则关于x的不等式kx＋3≤2x＋1的解集为_____。

14．如图，四边形ABCD是平行四边形，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD＝OA＝2，则图中阴影部分的面积为______．

15．如图，以边长为20cm的正六边形纸板的各顶点为端点，在各边上分别截取4cm长的12条线段，过截得的12端点作所在边的垂线，形成6个有两个直角的四边形．把它们沿图中虚线减掉，用剩下的纸板折成一个底为正六边形的无盖柱形盒子，则它的容积为_____。

16．如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，B（﹣2，1），将△OAB绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到△OED，OE交BC于点G，若反比例函数的图象经过点G，则k的值为_____。

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17．（6分）先化简，再求值：（x>0，y>0），其中x，y满足．

18．（8分）我国非常重视职业教育，某职业技术学校开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业。为了解中学生对这些专业的喜爱程度，特进行了随机抽样调查，每个被调查的学生从这四个专业中选择一个且只能选择一个，调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图。

根据图中信息解答下列问题：

（1）本次被调查的学生有_____人；

（2）扇统计图中D（汽车维修）专业所对应的圆心角的度数为_____，请补全条形统计图；

（3）从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习．请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、乙两名同学的概率。

19．（7分）有这样一道作图题：“求作一个平行四边形ABCD，使得点A与边BC的中点E的连线平分∠BAD．”

小明的思考过程是这样的：在不明确如何入手的时候，可以先把图描出来，接着倒过来想它有什么性质．

例如，假设□ABCD即为所求作，则，

∴∠DAE＝∠BEA．

又AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE．

∴∠BAE＝∠BEA，∴BA＝BE．

∵E是边BC的中点，

∴……

再倒过来，只要作出的平行四边形ABCD满足BC和BA的数量关系是①即可。

（1）填空：①______。

（2）参考小明的思考方式，用直尺和圆规作一个□ABCD，使得点A与边BC的中点E的连线与对角线BD垂直。（要求：只保留作图痕迹，无需写出文字说明）

20．（9分）如图1是某浴室花洒实景图，图2，图3是该花洒的侧面示意图，已知活动调节点B可以上下移动调节花洒臂的高度，离地面CD的距离BC＝160cm。设花洒臂与墙面的夹角为α，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长AB＝30cm。假设水柱AE垂直AB直线喷射，小明站在离墙面距离CD＝120cm处。

（1）当α＝30°时，水柱正好落在小明的头顶上，求小明的身高DE（结果精确到0.1）。

（2）如果小明要洗脚，需要调整水柱AE，使点E与点D重合，调整的方式有两种：

①其他条件不变，只要把活动调节点B向下移动即可，移动的距离BF与小明的身高DE有什么数量关系?直接写出你的结论：_____；

②活动调节点B不动，只要调整α的大小，在图3中，试求α的度数。

（参考数据：，，，）

21．（10分）新冠疫情期间，某网店销售消毒用紫外线灯，该网店店主结合销售数据发现，日销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价、日销售量、日销售纯利润W（元）的四组对应值如下表，此外，该网店每日的固定成本为2000元。

【注】日销售纯利润＝日销售量×（售价﹣进价）﹣每日固定成本

（1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）。

（2）求该商品进价。

（3）由于疫情期间，每件紫外线灯的进价提高了m元（m>0），且每日固定成本增加了100元，但该店主为响应政府号召，落实防疫用品限价规定，按售价不高于170元/件销售，若此时的日销售纯利润最高为7500元，请求出m的值。

22．（10分）如图，AD是⊙O的直径，点P是⊙O外一点，连接PO交⊙O于点C，作PB、PD分别切⊙O于点B，点D，连接AB，AC。

（1）求证：；

（2）如图2，连接PA，若，tan∠BAD＝2，求线段AB的长。

23．（11分）如图，抛物线与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴正半轴交于点C（0，4），点P为直线AC上方抛物线上一动点。

（1）求抛物线的解析式：

（2）如图1，若PQ⊥AC，垂足为Q，当PQ的长度为最大值时，求此时点P的坐标；

（3）如图2，若PQ⊥AC，垂足为Q，且AQ＝3PQ，求此时点P的坐标。

24．（11分）

探索发现

（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，F是BC边上一点，∠CDF＝45°，求证：AC·BF＝AD·BD。

尝试应用

（2）如图2，在△ABC中，，，以A为直角顶点作等腰直角三角形ADE，点D在BC上，点E在AC上，若，求CD的长．

拓展提高

（3）如图3，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，E为AB中点，D为AE中点，过点D作直线交AC于M，在直线DM上取一点F，连接BF交CE于点H；若当∠FHC＝∠ABC时，的值为定值，请直接写出该定值为_____．

2023经区综合测试（一）答案

一、选择（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1-5CCDDD  6-10BCADA

二、填空（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11．1  12．或；  13．  14．  15．2592；  16．

三、解答（72分）

17．（6分）

解：化简，得到x＝3，y＝2，得到

18．（8分）（1）100  （2）54°

补充条形统计图中，B（信息技术）专业的人数为：

100﹣20﹣35﹣15＝30（人）

（3）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，

∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为．

19．（7分）解：（1）BC＝2BA；

（2）方法一：①作线段BC的垂直平分线，取BC的中点E，以E为圆心，BE的长为半径作⊙E，

在圆上任取一点G，连接CG，BG，则CG⊥GB，

②取EC的中点F，以FB为半径，F为圆心作弧，交BG的延长线于点D，则FD＝FB，

作B点的垂直平分线交BD于O，交AD于K，则FO⊥BD，OB＝OD，

③以O为圆心OC长为半径作⊙O，延长CO，交⊙O于点A，则OA＝OC，

连接AB、AD、DC，则四边形ABCD是平行四边形，

④连接AE，此时，FK⊥BD，即AE⊥BD；

方法二：①作BE＝EC，任作射线BP（角度要小），

②作EH⊥BP于点H，在射线EH上截HA＝2EH，

③以点A为圆心作AD＝BC交BP于点D，

④连接AB，CD即可；

20．（9分）

解：（1）过点A作AG⊥CB的延长线于点G，交DE的延长线于点H，

∵∠C＝∠D＝90°，

∴四边形GCDH为矩形，

∴GH＝CD＝120，DH＝CG，∠H＝90°，

在Rt△ABG中，∠ABG＝α＝30°，AB＝30，∴AG＝15，

∴AH＝120﹣15＝105，

∵AE⊥AB，∴∠EAH＝30°，

又∠H＝90°，∴，

∴

（2）①BF＝DE；

②如图，

在Rt△BCD中，

∴，∴∠1≈36.9°，

在Rt△BAD中，AB＝30．

∴，

∴∠2≈8.6°，

∴∠3≈90°﹣8.6°＝81.4°，

∴α＝180°﹣∠1﹣∠3≈180°﹣36.9°﹣81.4°＝61.7°

21．（10分）

解：（1）设一次函数的表达式为y＝kx＋b，

将点（150，200）、（160，180）代入上式得：

，解得：，

∴y关于x的函数解析式为y＝﹣2x＋500；

（2）设进价为x元，得到方程：

8000＝200×（150﹣x）﹣2000，

解得：x＝100（元/件），

答：进价为100元/件；

（3）由题意得：W＝（﹣2x＋500）（x﹣100﹣m）﹣2000﹣100

＝﹣2x2＋（700＋2m）x﹣（52100＋500m），

∵﹣2<0，故W有最大值，

函数的对称轴为，

当时，W随x的增大而增大，

∵x≤170，∴当x＝170时，W有最大值，

即x＝170时，，

解得：m＝10

22．（10分）

（1）证明：连接OB，

∵PB，PD分别切⊙O于点B，D，

∴∠OBP＝∠ODP＝90°，

∵OB＝OP，OP＝OP，

∴Rt△OBP≌Rt△ODP（HL），

∴

∵，∴∠BAD＝∠DOP，

∴；

（2）解：连接BD，

∵∠BAD＝∠DOP，∴tan∠BAD＝tan∠DOP＝2，

在Rt△DOP中，

∴DP＝2OD，∵AD＝2OD，∴DP＝AD，

∵，∴.

∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，

∵，∴BD＝2AB，

∵，∴，

∴或舍去），

∴线段AB的长为.

23．（11分）解：（1）将点A（4，0），C（0，4）代入，

∴解得

∴；

（2）如图1，连接PC，PA，

当PM的长度最大时，△PAC的面积最大，

作轴，交直线AC于点D，

设直线AC的解析式为y＝kx＋b，

代入点A（4，0），C（0，4）

得到直线AC的解析式为y＝﹣x＋4

设点，则D（t，﹣t＋4），

∴

∴

∴当t＝2时，面积最大。此时，点P的坐标为（2，4）

（3）过点P作PH⊥x轴，垂足为H，交AC于点G，

∵OC＝OA＝4，∴∠OCB＝∠OAC＝45°，

∵PQ⊥AC，PH⊥x轴，∴GQ＝PQ，GH＝AH，

∴，∵AQ＝3PQ，

∴AG＝2PQ，∴，

∴GH＝PG，

∴G点是PH的中点，

设，，

∴

解得t＝2或t＝4（舍），∴P（2，4）；

24．（11分）

|（1）证明：∵∠ABC＝90°，AC＝BC，

∴∠A＝∠B＝45°，

∵∠A＋∠ACD＝∠CDF＋∠BDF，∠A＝∠CDF＝45°，

∴∠ACD＝∠BDF，∴△ACD∽△BDF，

∴，

∴；

（2）解：如图，过点E作EF与CD交于点F，使∠EFD＝45°，

∵∠B＝∠ADE＝45°，∴∠BAD＝∠EDF，

∴△ABD∽△DFE，∴，

∵，，

∴，

∵∠EFD＝45°，∠ADE＝45°，

∴∠EFC＝∠DEC＝135°，

∴△EFC∽△DEC，∴

∵，∴，

∴5＝FC×（4＋FC），∴FC＝1，∴CD＝5，