2023届四川省雅安市部分校高三下学期4月联考数学（文）试题含解析

2023届四川省雅安市部分校高三下学期4月联考数学（文）试题

一、单选题

1．的共轭复数为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意，由复数的运算即可得到结果.

【详解】因为，则其共轭复数为．

故选:A

2．已知集合，且，则集合可以为（    ）

A．{偶数} B． C．{质数} D．

【答案】C

【分析】根据题意，结合交集的运算，对选项逐一验证即可得到结果.

【详解】若{偶数}，则；

若，则；

若，则；

若{质数}，则.

故选:C

3．2022年11月，国内猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油、鲜菜价格同比（与去年同期相比）的变化情况如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种食品中，食用油价格同比涨幅最小

B．猪肉价格同比涨幅超过禽肉价格同比涨幅的5倍

C．去年11月鲜菜价格要比今年11月低

D．这7种食品价格同比涨幅的平均值超过

【答案】D

【分析】根据题意，结合图表对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】由图可知，猪肉、鸡蛋、鲜果、禽肉、粮食、食用油这6种食品中，粮食价格同比涨幅最小，所以A错误．

因为，所以B错误．

去年11月鲜菜价格要比今年11月高，所以C错误．

因为

，

所以D正确．

故选:D

4．若抛物线的焦点到准线的距离为3，且的开口朝左，则的标准方程为（      ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据开口设抛物线标准方程，利用p的几何意义即可求出.

【详解】依题意可设的标准方程为，

因为的焦点到准线的距离为3，所以，

所以的标准方程为.

故选：A

5．已知扇形AOB（O为圆心）的圆心角为直角，半径为2，在这个扇形区域内任取一点P，则的概率为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意，由几何概型的概率计算公式，结合间接法即可得到结果.

【详解】因为满足的点P位于圆心角为直角，半径为1的小扇形区域内，

所以由间接法可得所求概率为．

故选:C

6．如图，网格纸小正方形的边长为1，粗实线绘制的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由三视图得到直观图，由柱体体积公式求出答案.

【详解】由三视图可知，该几何体由一个棱长为2的正方体和底面半径为，高为2的圆柱拼接而成，

故该几何体的体积为．

故选：B

7．小方计划从4月1日开始存储零钱，4月1日到4月4日每天都存储1元，从4月5日开始，每天存储的零钱比昨天多1元，则小方存钱203天（4月1日为第1天）的储蓄总额为（    ）

A．19903元 B．19913元 C．20103元 D．20113元

【答案】C

【分析】利用等差数列前n项和公式即可求得小方存钱203天（4月1日为第1天）的储蓄总额．

【详解】设小方第天存钱元，

则数列从第4项起成等差数列，且该等差数列的首项为1，公差为1，

所以小方存钱203天的储蓄总额为

元．

故选：C

8．若过作的垂线，垂足为，则称向量在上的投影向量为，如图，已知四边形均为正方形，现有下列四个结论：

①在上的投影向量为；②在上的投影向量为；③在上的投影向量为；④在上的投影向量为．

其中正确的是（    ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

【答案】A

【分析】作出辅助线，找到在上的投影向量，并求出比例关系，得到答案

【详解】过作于．设，则，

所以，则，

所以在上的投影向量为，①正确．

连接，根据向量加法的平行四边形法则，得，

所以在上的投影向量为，③正确

故选：A

9．执行如图所示的程序框图，若输入的，则（    ）

A．输出的S的最小值为，最大值为5 B．输出的S的最小值为，最大值为4

C．输出的S的最小值为0，最大值为5 D．输出的S的最小值为0，最大值为4

【答案】A

【分析】作出可行域，利用线性规划与程序框图判定即可.

【详解】作出不等式组表示的可行域，

由图可知，当直线过点时，取得最大值4，

当直线过点时，取得最小值．

因为，且，所以输出的的最小值为，最大值为5．

故选：A

10．住房的许多建材都会释放甲醛.甲醛是一种无色、有着刺激性气味的气体，对人体健康有着极大的危害.新房入住时，空气中甲醛浓度不能超过0.08，否则，该新房达不到安全入住的标准.若某套住房自装修完成后，通风周与室内甲醛浓度y（单位：）之间近似满足函数关系式，其中，且，，则该住房装修完成后要达到安全入住的标准，至少需要通风（    ）

A．17周 B．24周 C．28周 D．26周

【答案】D

【分析】由已知数据求得参数，然后解不等式即可得．

【详解】，由，，得，，

两式相减得，则，所以，.

该住房装修完成后要达到安全入住的标准，则，

则，即，解得，

故至少需要通风26周.

故选：D．

11．已知四棱锥的每个顶点都在球O的球面上，球O的表面积为，平面，底面是等腰梯形，，，，，则（    ）

A．4 B．5 C． D．

【答案】B

【分析】作图分析，结合图形的几何性质，确定外接球球心的位置，用m表示出球的半径，根据球的表面积即可求得答案.

【详解】如图，取的中点E，过E作，使得，连接，，，,

在等腰梯形中，由，，可得为正三角形.

因为底面是等腰梯形，所以也为正三角形，所以.由平面，得平面，

则，同理,

又，而,

所以M到A，B，C，D，P的距离相等，则M为球O的球心.

在中，，，

所以球O的表面积为，解得，

故选：B

12．已知函数有两个极值点，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由极值点定义得到，，两式相减，结合上面的等式求出答案.

【详解】由，得，可得．

因为，

所以两式作差得，

则，

所以，解得．

故选：A

二、填空题

13．写出曲线的一条对称轴的方程：________．

【答案】（答案不唯一，只要对称轴方程满足即可）

【分析】根据题意，由正弦型函数的对称轴方程，代入计算，即可得到结果.

【详解】由题意可得，令，得．

令，则其一条对称轴为.

故答案为:

14．若P为双曲线C右支上一点，，分别为左、右焦点，且，，，则C的离心率为______．

【答案】

【分析】根据题意，由双曲线的定义即可得到，再由离心率公式即可得到结果.

【详解】因为，，，

所以，，

故．

故答案为:

三、双空题

15．在这4个数中，最小的是________，最大的是________．

【答案】         

【分析】利用指数、三角函数性质判断各数的大小关系即可.

【详解】因为，且，

所以最小的是，最大的是．

故答案为：，

四、填空题

16．已知数列和满足，，，，则______．

【答案】

【分析】根据题意，由递推关系可得是等比数列，结合等比数列的通项公式即可得到结果.

【详解】因为，，所以，

整理得．

因为，所以，

所以是首项为，公比为的等比数列，

所以．

故答案为:

五、解答题

17．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，．

(1)求A；

(2)若，且，求面积的取值范围．

【答案】(1)；

(2)；

【分析】（1）由，对其进行“切化弦”，然后再进行约分化简，即可求出，可求出A；

（2）根据正弦定理进行“角化边”求出，然后根据余弦定理及基本不等式放缩，即可得出的范围，再根据三角形面积公式即可求出其取值范围.

【详解】（1）因为，所以．

在中，，所以，则．

因为，所以．

（2）由及正弦定理，得，所以．

由余弦定理得，所以，

当且仅当时，等号成立，所以．

因为的面积为，所以面积的取值范围是.

18．某视频UP主采购了8台不同价位的航拍无人机进行测评，并从重量、体积、画质、图传、续航、避障等多方面进行综合评分．以下是价格和对应的评分数据：

(1)根据以上数据，求关于的线性回归方程（系数精确到）．

(2)某网友下周将购买一台（为整数）元的航拍无人机，根据（1）中的回归方程，对即将购买的航拍无人机进行预测评分．设预测评分为，若精确到整数的值为92，求的最大值．

附：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．

参考数据：，．

【答案】(1)

(2)2500

【分析】（1）根据所给数据求出，，即可求出，，即可得到回归直线方程；

（2）依题意可得，解得的取值范围，即可得解.

【详解】（1）依题意可得，

，

，

，

所以关于的线性回归方程为．

（2）依题意可得，得．

因为为整数，所以的最大值为，即的最大值为．

19．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)讨论在上零点的个数．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）根据题意，求导即可得到，从而得到切线方程；

（2）根据题意，构造函数，求导得到其值域，将函数零点问题转化为函数图像交点问题，即可得到结果.

【详解】（1）因为，所以，

所以曲线在点处的切线方程为，

即．

（2）令，得．

设函数，

则．

当时，；当时，．

所以．

，

，．

当时，方程无解，则在上零点的个数为0；

当或时，方程只有一解，则在上零点的个数为1；

当时，方程有两解，则在上零点的个数为2．

20．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，，，E为棱AB上任意一点（不包括端点），F为棱PD上任意一点（不包括端点），且．

(1)证明：异面直线CE与AP所成角为定值．

(2)已知，，当三棱锥的体积取得最大值时，平面CEF与PA交于点N，求EN的长．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理可得平面ABCD，从而得到异面直线所成角为定值；

（2）根据题意，在AD上取点G，使得，由条件表示出三棱锥的体积，即可得到其取得最大值时EN的长.

【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴．

∵，，∴平面PAB，∴．

∵，平面ABCD，∴平面ABCD，

∴，∴异面直线CE与AP所成角为定值，且该定值为．

（2）如图，在AD上取点G，使得．

由，设，，其中．

由，，平面ABCD，

可得，，，．

∵，平面ABCD，∴平面ABCD．

在中，有，可得，可得．

的面积为．

，

可得当时，三棱锥体积的最大值为．

当三棱锥的体积取得最大值时，E为AB的中点，F为DP的中点．

延长CE交DA于点M，连接MF，交PA于点N．

∵，∴，∴．

∵，∴，

∴．

又，∴．

21．设椭圆方程为，，分别是椭圆的左、右顶点，动直线l过点，当直线l经过点时，直线l与椭圆相切.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线l与椭圆交于P，Q（异于A，B）两点，且直线与的斜率之和为，求直线l的方程.

【答案】(1)

(2).

【分析】（1）由左右顶点得，再由直线与椭圆位置关系联立方程利用韦达定理得即可；

（2）联立直线与椭圆方程，由椭圆定义及斜率关系计算即可.

【详解】（1）依题意可得.

当直线l经过点时，l的方程为，

代入，整理得，

，

解得，所以椭圆的方程为.

（2）依题意可得直线l的斜率不为0，可设，，.

由，得，

则

则

.

因为，

所以.又因为，所以

则直线的方程为与联立得，

所以l的方程为，即.

【点睛】本题考察直线与椭圆的位置关系，属于压轴题.关键在于利用椭圆第四定义的推广转化斜率关系来简化计算，即椭圆上中心对称的两个点与椭圆上任意一点（与该两点不重合）的连线斜率之积为定值.

椭圆方程：，记椭圆上中心对称的两点，那么椭圆上任意与A、B不重合的点P有.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），曲线与轴的交点为（在的上方）．

(1)若曲线与轴的交点为，求的面积；

(2)设为曲线上任意一点，求线段中点的迹方程（用直角坐标方程表示）．

【答案】(1)10

(2)

【分析】（1）根据题意，由曲线的参数方程，求得点的坐标，即可得到三角形的面积；

（2）根据题意，将曲线的参数方程化为普通方程，然后设线段的中点为，

结合条件，代入曲线，化简即可得到结果.

【详解】（1）对于曲线的参数方程，令，得，

则，则．

对于曲线的参数方程，令，得或1，

则或2，所以．

故的面积．

（2）对于曲线的参数方程，由，得，

代入，得，则曲线的普通方程为．

设线段的中点为，则

解得

因为在曲线上，所以，

所以，

整理得，所以线段中点的轨迹方程为．

23．已知函数．

(1)当时，求不等式的解集；

(2)当时，若，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）根据题意，两边同时平方即可去掉绝对值符号，然后求解不等式，即可得到结果；

（2）解法一，根据绝对值不等式，将原式化简，即可得到结果；解法二，分类讨论去掉绝对值符号，分别计算其最小值，即可得到结果.

【详解】（1）当时，可化为，

不等式两边平方，得，整理得，

解得．故当时，不等式的解集为．

（2）（解法一）当时，由绝对值不等式得．

由，得的最小值为4．

因为，所以，解得．

故的取值范围为．

（解法二）当时，，

当时，;

当时，；

当时，；

当时，．

故的最小值为4．

因为，所以，解得．

故的取值范围为．