2024届四川省雅安市联考高三上学期期中数学（文）试题含答案

这是一份2024届四川省雅安市联考高三上学期期中数学（文）试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先求解集合，再根据，即可求解.
【详解】因为，且，
因为
所以.
故选：C
2．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】满足二次根式下大于等于零和分母有意义列不等式组求解即可.
【详解】因为，所以，解得，
所以的定义域为.
故选：D
3．已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由均值不等式判断充分条件，再举出反例得到不是必要条件即可.
【详解】因为，解得，所以是充分条件；
当时满足，此时，所以不是必要条件，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：B
4．若、满足约束条件，则的最小值为（ ）
A． B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】画出可行域，数形结合即可得解.
【详解】作出可行域如下图所示，
由，解得，即，
令，则当直线 经过点时取得最小值， 且.
即的最小值为.
故选：A
5．某地发起“寻找绿色合伙人——低碳生活知识竞赛”活动，选取了人参与问卷调查，将他们的成绩进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，且成绩落在的人数为10，则（ ）

A．60B．80C．100D．120
【答案】C
【分析】根据频率之和为计算值，根据成绩落在的人数为10，成绩落在频率为列方程求
【详解】由图可知，，解得，则成绩在的频率为，由，得.
故选：C
6．已知等比数列满足，则（ ）
A．1B．3C．4D．15
【答案】B
【分析】根据题意结合等比数列的通项公式运算求解.
【详解】设的公比为，
因为，解得，
所以.
故选：B.
7．小明准备将新买的《孟子》、《论语》、《诗经》3本书立起来随机地放在书架上，则《论语》、《诗经》两本书相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据古典概型概率问题计算公式以及排列数的计算公式、捆绑法求得正确答案.
【详解】3本书立起来随机地放在书架上，基本事件有种，
其中《论语》、《诗经》两本书相邻的事件有种，
所以《论语》、《诗经》两本书相邻的概率为.
故选：A
8．已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极大值点为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由指数函数的性质判断的符号，进而确定的单调性即可知极大值点.
【详解】由的图象知，
当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
故的单调递增区间为，单调递减区间为和，
故的极大值点为.
故选：D
9．在中，，，，点是的重心，则（ ）
A．7B．8C．D．
【答案】D
【分析】根据向的运算法则化简求值即可.
【详解】点是的重心，连接并延长交于点，
则点为中点，且，即，
.
故选：D
10．若数列满足则称为 “平方递推数列”. 已知数列是 “平方递推数列”， 且则（ ）
A．是等差数列B．是等差数列
C．是 “平方递推数列”D．是 “平方递推数列”
【答案】C
【分析】对于AB，由题意得，然后根据等差数列的定义分析判断即可，对于CD，由平方递推数列的定义分析判断.
【详解】对于AB，因为 是 “平方递推数列”， 所以.
又， 所以 则，，
所以，不是等差数列， 所以AB不正确.
对于C，因为 ，所以 是 “平方递推数列”， 所以C 正确.
对于D，因为 ，
所以不是 “平方递推数列”， D 不正确.
故选：C
11．笛卡尔在信中用一个能画出心形曲线的方程向公主表达爱意的故事广为流传，其实能画出心型曲线的方程有很多种．心形曲线如图所示，其方程为，若为曲线上一点，的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】记与轴非负半轴所成的角为，点，则()，代入曲线方程化简可求得结果.
【详解】记与轴非负半轴所成的角为，心形曲线关于轴对称，不妨取．
设点，则，代入曲线方程可得，
则，
因为，所以，
所以，
所以，
所以，即
所以．
故选：A
12．已知且则一定有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由已知可得，构造函数，利用在上的单调性比较大小可得答案.
【详解】因为 所以，
所以 ，
令，则，
当时，，故在上单调递增，
因为所以，
则 所以，即，故A正确；故B错误；
因为，所以，
因为，所以不确定，故CD错误.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是构造函数，利用在上的单调性比较大小可得答案.
二、填空题
13．已知向量，，若，则 .
【答案】
【分析】根据平面向量的线性运算的坐标表示求得，进而根据向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】因为，，所以，
又因为，所以，
即，解得.
故答案为：.
14．已知是定义在上的奇函数， 且当时则 .
【答案】
【分析】根据奇函数性质得到，求出，进而由得到答案.
【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以，
解得，则，
故.
故答案为：
15．若函数在上单调递减，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据复合函数单调性及二次函数、对数函数单调性判断即可.
【详解】因为函数在区间上单调递增，为增函数，
所以函数在区间上有意义，
且在上单调递减，
当时，，
令得，则定义域为，
函数在区间没有意义，不符合题意；
当时，由题意，解得，综上，的取值范围为.
故答案为：
16．已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题设在上有两个根，结合正弦函数的图象列不等式求参数范围.
【详解】由，得，
由，得.
因为在上有且仅有2个零点，
所以，解得.
故答案为：
三、解答题
17．在平面四边形 中.
(1)求 ；
(2)若 求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，根据余弦定理求出BD，结合正弦定理计算即可求解；
（2）由（1），根据同角的三角函数关系求出，利用和两角差的余弦公式和余弦定理计算即可求解.
【详解】（1）在中，解得.
因为所以
解得.
（2）解法一：由（1）可得.
.
在中，解得.
解法二：延长交于点，如图，
则为等边三角形.
在中，，解得.

18．如图，在三棱锥中，⊥平面，⊥，分别为的中点，且.
(1)证明：平面平面.
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，从而得到平面，由得到平面，从而得到面面垂直；
（2）求出，，结合平面，由等体积法求出体积.
【详解】（1）因为平面，平面 所以，
又⊥，，所以平面.
因为，分别为的中点，
所以，则平面.
因为平面，所以平面平面；
（2）因为平面，平面 所以，
因为，所以，
因为为的中点，所以，
因为⊥，，由勾股定理得，
因为，分别为的中点，所以，
由（1）可得平面，
所以三棱锥的体积.
19．某面包店记录了最近一周A，B两种口味的面包的销售情况，如下表所示：
A口味
B口味
(1)试比较最近一周A，B这两种口味的面包日销量的中位数的大小.
(2)该面包店店主将在下一周每天都制作n个A口味的面包，假设下一周A口味的面包日销量和被记录的这一周的日销量保持一致，每个面包当天卖出可获利6元，当天未售出则将损失5元，从中选一个，你应该选择哪一个?说明你的理由.
【答案】(1)A口味的面包日销量的中位数大于B口味的面包日销量的中位数
(2)，理由见解析
【分析】（1）将销量从小到大的顺序排列，确定中位数后比较大小；
（2）分别求出时的获利情况，然后比较大小来确定.
【详解】（1）最近一周A口味的面包日销量按照从小到大的顺序排列为10，12，13，14，16，18，19．
所以A口味的面包日销量的中位数为14．
最近一周B口味的面包日销量按照从小到大的顺序排列为9，10，12，13，14，18，20，
所以B口味的面包日销量的中位数为13．
故A口味的面包日销量的中位数大于B口味的面包日销量的中位数．
（2）当时，下一周A口味的面包可获利
元．
当时，下一周A口味的面包可获利
元．
当时，下一周A口味的面包可获利
元．
因为，所以应该选择．
20．已知椭圆的离心率为是上一点.
(1)求椭圆的方程.
(2)是的右顶点，过点的直线与相交于两点(异于点)，直线的斜率分别，试判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，且定值为
【分析】（1）根据已知条件列方程组，求得，从而求得椭圆的方程.
（2）设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，由此化简计算出为定值.
【详解】（1）由题可知，解得，
故的方程为.
（2）是定值.理由如下:
依题意可知，直线的斜率存在且不为，
则可设的方程为.
联立方程组，
整理得，
则，
.
因为，所以：
.
故是定值，且该定值为.
【点睛】求解椭圆的标准方程，关键是根据已知条件求得，和是两个未知参数，要求出两个参数的值，需要两个已知条件，如本题中“椭圆的离心率以及椭圆所过点”两个已知条件，再结合即可求得，从而求得椭圆的标准方程.
21．已知函数.
(1)当 时，求曲线在点处的切线方程.
(2)若 证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可;
（2）令函数，求出，令函数，令函数，再利用导数判断出在上的单调性得可得答案.
【详解】（1）当时，
，
所以曲线在点处的切线方程为；
（2）即，
令函数，
，
令函数，
令函数，
因为在上恒成立， 所以函数在上单调递增，
因为，所以在上恒成立，
所以在上单调递增，
因为 所以在上恒成立， 即在上恒成立，
所以在上单调递增，
故.
22．在直角坐标系中，圆的方程为.
(1)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；
(2)直线的参数方程是（为参数），与交于，两点，，求的斜率.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）直接计算圆的极坐标方程即可
（2）给出直线的极坐标方程，用极径表示线段长度即可
【详解】（1）由，，
可得圆的极坐标方程为
（2）在（1）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为
设，所对应的极径分别为，
将的极坐标方程代入的极坐标方程得，
所以，
，
解得，.
所以的斜率为或.
23．已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)若的图象与轴围成的三角形面积为，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分情况去绝对值，再求解不等式；
（2）首先函数写成分段函数的形式，再求三角形的三个顶点，根据三角形的面积求解的值.
【详解】（1）若，则.
当时，由，解得，所以.
当时，，解得，所以.
当时，由，解得，所以.
综上，不等式的解集为.
（2）因为，
所以的图象与轴围成的三角形的三个顶点分别为，，，
所以的面积为，
解得或（舍去）.
故.
星期
一
二
三
四
五
六
日
销量/个
16
12
14
10
18
19
13
星期
一
二
三
四
五
六
日
销量/个
13
18
10
20
12
9
14