2023届贵州省毕节市高三诊断性考试（三）数学（文）试题含解析

2023届贵州省毕节市高三诊断性考试（三）数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则下图中阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意由列举法写出集合中的元素，再由交集的定义即可求得结果.

【详解】，

图中阴影部分为，故图中阴影部分表示的集合为.

故选：B.

2．若复数满足，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的除法化简复数，即可得出复数的虚部.

【详解】因为，则，因此，的虚部为.

故选：D.

3．已知等比数列的前n项和为，若，，，则（    ）

A．16 B．18 C．21 D．27

【答案】C

【分析】根据给定条件，结合数列前n项和的意义及等比数列通项公式求出即可求解作答.

【详解】令等比数列的公比为，，

即有，解得，

所以.

故选：C

4．已知函数，是的一个极值点，则的最小值为（    ）

A． B．1 C．2 D．

【答案】A

【分析】根据极值点的定义结合正弦函数图像的性质，是的一条对称轴，可求得表达式，即可求出答案.

【详解】由是的一个极值点，结合正弦函数图像的性质可知，是的一条对称轴，

即，，求得，

，

当时，的最小值为.

故选：A.

5．两名学生均打算只去甲､乙两个城市中的一个上大学，且两人去哪个城市是等可能的，则不去同一城市上大学的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】写出所有的可能性（甲，甲）（甲，乙）（乙，甲）（乙，乙），再找出去不同城市的可能性（甲，乙）（乙，甲），即可求出概率.

【详解】两名学生均打算只去甲､乙两个城市中的一个上大学，

所有的可能性有（甲，甲）（甲，乙）（乙，甲）（乙，乙），共4种可能，

其中不去同一城市上大学的情况为（甲，乙）（乙，甲）共2种可能，故概率为.

故选：C.

6．已知函数，则对任意非零实数x，有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据给定的函数式，计算及即可判断作答.

【详解】函数，，

则，显然，且，AB错误；

，D正确，C错误.

故选：D

7．若实数a，b满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定的等式，利用均值不等式建立不等式，再求解不等式判断作答.

【详解】，由，得，

于是，整理得，当且仅当时取等号，

解得，A错误，B正确；

又，即，当且仅当时取等号，CD错误.

故选：B

8．直线，直线，下列说法正确的是（    ）

A．，使得 B．，使得

C．，与都相交 D．，使得原点到的距离为3

【答案】B

【分析】对A，要使，则，所以，解之再验证即可判断；

对B，要使，，，解之再验证即可判断；

对C，当时，与重合，即可判断；

对D，根据点到直线距离列方程即可判断.

【详解】对A，要使，则，所以，解之得，此时与重合，选项A错误；

对B，要使，，，解之得，所以B正确；

对C，过定点，该定点在上，但是当时，与重合，所以C错误；

对D，，化简得，此方程，无实数解，所以D错误.

故选：B.

9．已知双曲线M：的焦距为2c，F为抛物线的焦点.以F为圆心，c为半径的圆过双曲线M的右顶点.若圆C：与双曲线M的渐近线有公共点，则半径r的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由抛物线的方程得，写出以F为圆心，c为半径的圆的方程，由题意可得，即，取其中一条渐近线，根据到直线的距离小于等于即可求解.

【详解】由抛物线的方程可得，则以F为圆心，c为半径的圆的方程为.

又过双曲线M的右顶点,所以,

所以.

因为圆C：与双曲线M的渐近线有公共点，

双曲线M的渐近线方程为，即，

由对称性可取其中一条渐近线，

所以到直线的距离小于等于，即，即.

故选：A.

10．已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定的条件，探求函数的性质，再逐项分析判断作答.

【详解】函数的定义域为，为偶函数，则，即，

又为奇函数，则，即有，亦即，

因此，即，由，得，

则有，即函数是上的偶函数，又，从而是周期为6的周期函数，

显然，而没有条件能求出，即CD错误；

，没有条件能求出，A错误；

由，得，即，所以，B正确.

故选：B

11．油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为的圆，圆心到伞柄底端距离为，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定条件，作出图形，再利用正弦定理求出椭圆的长轴长，结合焦点位置求出半焦距作答.

【详解】如图，伞的伞沿与地面接触点B是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A是椭圆长轴的另一个端点，

对应的伞沿为C，O为伞的圆心，F为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为，半焦距为，

由，得，，

在中，，则，，

由正弦定理得，，解得，则，

所以该椭圆的离心率.

故选：A

12．已知点G为三角形ABC的重心，且，当取最大值时，（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题设可得，结合，及余弦定理可得，根据基本不等式即可求解.

【详解】由题意，所以，

即，所以，所以，

又，，

则，

所以，即，

由，，，

所以，

所以，当且仅当时等号成立，

又在上单调递减，，

所以当取最大值时，.

故选：A

【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三角形重心的性质和余弦定理可得，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，属于较难题.

二、填空题

13．某学校为了解教师身体健康情况，从高考学科和非高考学科教师中采用分层抽样的方法抽取部分教师体检.已知该学校高考学科和非高考学科教师的比例是5：1，且被抽到参加体检的教师中，高考学科教师比非高考学科教师多64人，则参加体检的人数是___________.

【答案】96

【分析】设参加体检的人数为，利用分层抽样的定义列出方程，求解即可.

【详解】设参加体检的人数为，则，解得，所以参加体检的人数是96人.

故答案为：96.

14．写出一个同时具有下列性质①②③的非常值函数______.

①在上恒成立；②是偶函数；③.

【答案】（答案不唯一，形如均可）

【分析】结合①②可联想到函数是奇函数，再由③结合联想幂函数写出解析式作答.

【详解】由②知，函数可以是奇函数，由①知，函数在上可以是减函数，

由③结合①②，令，显然，满足①；是偶函数，满足②；

，满足③，

所以.

故答案为：

15．将正整数排成如图所示的数阵，其中第行有个数，如果2023是表中第行的第个数，则___________.

【答案】1001

【分析】根据题中的条件，及等比数列前项和的公式可求得2023所在行数，再根据第行有个数即可算出.

【详解】有题可知，第行有个数，由等比数列的求和公式，前行总个数为，

令，则，

，且第10行有个数，根据数的排列规律可得，2023是表中第10行，第个数，即.

故答案为：1001.

16．如图，菱形ABCD的边长为2，.将沿AC折到PAC的位置，连接PD得三棱锥.

①若三棱锥的体积为，则或3；

②若平面PAC，则；

③若M，N分别为AC，PD的中点，则平面PAB；

④当时，三棱锥的外接球的体积为.

其中所有正确结论的序号是______.

【答案】①③④

【分析】对于②，设，由线面垂直的判定定理及性质定理可得平面，，根据勾股定理即可求解；

对于④，由②可得当时，平面,设为三棱锥的外接球球心，为等边的重心，过作,垂足为，根据勾股定理求出三棱锥的外接球半径为，再由球的体积公式即可求解；

对于①，设在的投影为，由棱锥的体积公式可得，分二面角为锐角与钝角讨论，结合勾股定理及余弦定理即可求解；

对于③，根据中位线定理可得，根据线面平行的判定定理即可判断.

【详解】对于②，设，若平面PAC，平面PAC，所以.

因为菱形ABCD的边长为2，，所以是等边三角形，

所以,即.

因为,平面,所以平面.

因为平面，所以.

又，所以,故②错误.

对于④，由②可得当时，平面,

设为三棱锥的外接球球心，为等边的重心，过作,垂足为，

因为，所以,,

所以三棱锥的外接球半径为,

所以三棱锥的外接球体积为，故④正确.

对于①，设在的投影为，因为，所以在所在的直线上.

又，所以，解得.

因为二面角可能为锐角或钝角，

（i）当二面角为钝角时，

所以,，

所以.

（ii）当二面角为锐角时，

因为,，

所以在中，由余弦定理可得,

即，即,解得.

所以是的中点，所以,

所以.

综上，或3，故①正确.

对于③，若M，N分别为AC，PD的中点，由中位线定理可得,

因为平面,平面,

所以平面，故③正确.

故答案为:①③④.

【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于内切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径;对于球的外接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.

三、解答题

17．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且.

(1)求B；

(2)若，且的面积为，求a，c.

【答案】(1)

(2)或.

【分析】（1）利用正弦定理进行边换角，再结合辅助角公式得，再结合得范围即可得到答案；

（2）利用三角形面积公式得，利用余弦定理得，联立即可解出答案.

【详解】（1），

由正弦定理得:，

，

,

，,

即，

，，，

，.

（2）,，①

,且，

②

联立①②解得或

18．三棱柱中，四边形是菱形，，平面平面，是等腰三角形，与交于点的中点分别为，如图所示.

(1)在平面内找一点，使平面，并加以证明；

(2)求三棱锥的体积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用线面平行的判定定理进行寻找并证明；

（2）利用等体积法，转换三棱锥的定点求解.

【详解】（1）

取的中点，连接，则平面，

证明：由三棱柱的性质可知M是的中点，在中为中位线，

平面，平面

平面

（2）在等腰中，为的中点

平面 平面，平面平面

平面，即为的高，

在中，，

在中，

在中，由余弦定理的得，，

在等腰三角形，

19．某新能源汽车公司对其产品研发投资额（单位：百万元）与其月销售量（单位：千辆）的数据进行统计，得到如下统计表和散点图.

(1)通过分析散点图的特征后，计划用作为月销售量关于产品研发投资额的回归分析模型，根据统计表和参考数据，求出关于的回归方程；

(2)根据回归方程和参考数据，当投资额为11百万元时，预测月销售量是多少？（结果用数字作答，保留两位小数）

参考公式及参考数据：

【答案】(1)

(2)千辆

【分析】令，转化为，分别求得平均值，代入公式求得，即可得到回归直线方程

将代入回归直线方程，求得预测值

【详解】（1）令

由题意可得

回归直线方程为

（2）

故当百万元时，预测月销售量是千辆.

20．已知椭圆的下顶点，右焦点为为线段的中点，为坐标原点，，点与椭圆上任意一点的距离的最小值为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)直线与椭圆交于两点，若存在过点的直线，使得点与点关于直线对称，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据条件求出，写出椭圆方程；

（2）设，代入椭圆方程求得AB中点的坐标，写出的方程，代入得到的关系，再代入求得的取值范围.

【详解】（1）根据题意得: ，

∴，

∴

∴，

∴椭圆的标准方程为.

（2）

根据题意得:的中垂线过点，

由,化简得:，

，

设，

，

，

的中点，

，

∴的中垂线方程为: ，

代入点的坐标得: ，

故，

代入且

.

【点睛】关键点点睛：求参数的取值范围的方法，设直线方程，引入了两个未知数，先通过AB的垂直平分线过点得到关系，代入求出参数的取值范围.

21．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）将带入原函数求导，再将分别带入原函数求出切点坐标，带入导函数求出切线斜率，即可得到切线方程；

（2）方法一：由可得，此时构造新函数，对新函数求导判断单调性，求得函数的最小值，即得最小值，再构造函数，再由函数的单调性即可求得实数的取值范围.

方法二：同构成，再利用函数的单调性得恒成立，再分离得，再利用导数即可得到答案.

【详解】（1）当时，，则，

可知，

即切点为，；

则切线方程为，即

（2）解法一：等价于，即，

令，则，

显然在上单调递增.

由于，所以，则存在使得，

即得，

又，所以函数此时为单调递减函数，

，所以函数此时为单调递增函数，

故函数在处取得最小值

由于，即，即；

所以，设，则，

所以在上为单调递减函数，

由于，则在时，，在时，

由于在单调递增，所以，

故时，实数的取值范围是.

解法二：

因为函数在上是单调递增，

恒成立，

所以，即，

令，由解得，

由，解得，

则在上单调递减，在上单调递增，

所以，

所以，所以，

所以实数的取值范围是.

【点睛】方法点睛：含参不等式求参数取值范围，可采构造函数利用隐零点的方法，也可采用同构的方法，同构的关键在于转化成所构函数的形式.

22．直角坐标系xOy中，点，动圆C：.

(1)求动圆圆心C的轨迹；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐标方程为：，过点P的直线l与曲线M交于A，B两点，且，求直线l的斜率.

【答案】(1)圆心C的轨迹为线段；

(2).

【分析】（1）设圆心，根据即可得圆心C的轨迹；

（2）将曲线M的极坐标方程化为直角坐标方程，设直线的倾斜角为，得直线的参数方程为（为参数），代入曲线M的直角坐标方程，设，可得，根据韦达定理可求的值，结合即可求解.

【详解】（1）设圆心，因为，所以.

所以圆心C的轨迹方程为，

即圆心C的轨迹为线段.

（2）因为，所以，

因为，所以，即曲线的直角坐标方程为.

设直线的倾斜角为，由点在直线上，

得直线的参数方程为（为参数），

代入曲线的方程得：，

设，由于点在曲线的内部，

所以，

化简得：，解得.

由于，所以，或，

所以，即直线的斜率为.

23．设不等式的解集为，且，.

(1)求的值；

(2)若、、为正实数，且，求的最小值.

【答案】(1)

(2)的最小值为

【分析】（1）根据，可得出实数的取值范围，结合可得出的值；

（2）由（1）可得，利用柯西不等式可求得的最小值.

【详解】（1）因为，，所以，，即，

因为，则.

（2）由（1）可知，，

由柯西不等式可得，

当且仅当时，即当，时，等号成立，

所以，，当且仅当时，即当，时，等号成立，

因此，的最小值为.