2023届安徽省铜陵市高三下学期5月模拟考试（三模）数学试题（新课标老高考）含答案

  铜陵市2023年新课标老高考高三模拟考试

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号和座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

1.若集合，，则（    ）

A. B. C. D.

2.已知复数，则（    ）

A. B. C. D.

3.在平行四边形中，是边上中点，则（    ）

A. B. C. D.

4.若有4名女生和2名男生去两家企业参加实习活动，两家企业均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案有（    ）种。

A.20 B.28 C.32 D.64

5.已知，，，则（    ）

A. B. C. D.

6.已知抛物线，点在上，直线与坐标轴交于、两点，若面积的最小值为1，则（    ）

A.1 B. C.1或 D.或

7.已知函数，，满足以下条件：①，其中，：②.则（    ）

A. B. C. D.

8.已知平面上两定点、，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆心在上，半径为的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知棱长为3的正方体表面上动点满足，则点的轨迹长度为（    ）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.近年来，加强青少年体育锻炼，重视体质健康已经在社会形成高度共识，某校为了了解学生的身体素质状况，举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有效的训练，促进他们体能的提升，现从全部测试成绩中随机抽取200名学生的测试成绩，进行适当分组后，画出如下频率分布直方图，则（    ）

A.

B.在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有70人

C.估计全校学生体能测试成绩的平均数为77.5

D.估计全校学生体能测试成绩的69%分位数为84

10.若函数的图象关于直线对称，则（    ）

A.

B.点是曲线的一个对称中心

C.在上单调递增

D.直线是曲线的一条切线

11.如图，在棱长为1的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，则（    ）

A.

B.

C.存在无数条直线与直线，，均相交

D.当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为

12.已知三个互不相等的正数a，b，c满足，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.的展开式中的系数是______.

14.已知非零实数，满足，当时，______.

15.如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为2km，山高为，是山坡上一点，且.现要建设一条从到的环山观光公路，这条公路从出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，下坡路段长为______.

16.“康威生命游戏（Game of Life）”是由剑桥大学约翰•何顿•康威教授设计的一款计算机程序，模拟生命之间既协同又竞争的生存定律.程序界面是一个无限大的网格，程序开始时，在每个方格放置一个生命细胞，用黑色方格表示该细胞为“存活”状态，白色方格（空格）表示该细胞为“死亡”状态，初始时每个细胞随机地设定为“存活”或“死亡”之一的某个状态，然后根据一定的规则计算出下一代每个细胞的状态，画出其细胞的生死分布图，再计算出下一代每个细胞的状态，画出其细胞的生死分布图，以此类推，每个细胞迭代后的状态由该细胞本身的状态及周围8个细胞的状态决定，规则如下表所示：

若某种初始状态在迭代过程中细胞的生死分布图发生改变，并在迭代了若干代之后能够回到初始状态，则称该初始状态对应的图形为“振荡器”.下列四种初始状态中（图中未画出的网格外侧均视为空格），对应的图形为“振荡器”的是______（填序号）.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

已知数列的前项和满足，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：.

18.（12分）

如图所示，空间四边形中，，，且，，二面角的大小为45°.

（1）求异面直线和的夹角：

（2）求二面角的大小.

19.（12分）

已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，.

（1）试判断三角形的形状；

（2）若线段长为3，其端点分别落在边和上，求内切圆半径的最大值.

20.（12分）

某校承接了2023年某大型考试的笔试工作，考试前，学校将高二年级的201~205五个班级内部的墙壁装饰画取下后打包，统一放置，考试结束后再恢复原位.学校安排了三位校工甲、乙、丙进行该项工作，每位校工至少负责一个班级的装饰画复原工作.已知每位校工能够完全还原一个班级装饰画的概率均为，并且他们之间的工作相互独立.

（1）求校工甲将自己负责的所有班级的装饰画完全还原的概率；

（2）设校工乙能够完全还原的班级数为X，求X的分布列和数学期望.

21.（12分）

已知抛物线，其焦点为，定点，过的直线与抛物线相交于，两点，当的斜率为1时，的面积为2.

（1）求抛物线的标准方程：

（2）若抛物线在，点处的切线分别为，，且，相交于点，求距离的最小值.

22.（12分）

已知函数.

（1）试求函数的极值；

（2）若存在实数使得成立，求实数的取值范围.

数学参考答案 

13.【答案】672 14.【答案】1 15.【答案】 16.【答案】（2）、（3）

6.【解析】由题可得无解，则，令，又点到直线的距离为，则，解得（舍去）.

7.【解析】令，令，则，即.由累加法可得.

8.【解析】由材料可得，动点的轨迹是球心在延长线上，半径为2的球面和正方体表面的交线.

，，所以轨迹长度为.

12.【解析】因为，构造，

则，易得在上递减，在上单增，，所以a，c一个比2大，一个比2小，所以.B选项正确.

①当时，，设，易知单减，且，所以，所以，故，

又因为，故，即，所以；

②当时，，所以，故，

又因为，故，即，所以.

综上C选项正确.

15.【解析】如图，是圆锥侧面展开图，结合题意，段即为下坡路段，长度为.

16.【解析】根据题意，四种初始状态变化如下：

（1）保持初始状态不变，不符合条件

（2）…  符合条件

（3）…  符合条件

（4）不再变化，不符合条件

17.解：（1）由题意可知：，则时有

∴

∴，∵，∴.……2分

经验证符合题意。

∴时，……4分

经验证符合题意.∴.……5分

（2）由（1）可知，∴

∵，∴……8分

∴……9分

∴.证毕.……10分

18.【答案】（1） （2）

解：（1）

∴

∴

∵二面角的大小为45°，∴  ∴，.……3分

方法一：又，

∴，

∴，即，的夹角为90°.……6分

方法二：取的中点

∵，

∴，

又

∴平面

∴，即AC，BD的夹角为90°……6分

（2）方法一：过作于，连接

∵

∴

∴即为二面角的平面角.……8分

由勾股定理可知，

由等面积法可知……10分

∴

∴二面角的大小为120°……12分

方法二：过在平面内作的平行线，显然与夹角为45°，如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，与垂直的直线为轴建立空间直角坐标系，则

，，， ……7分

由题意可知：平面的法向量为……8分

设平面的法向量为

， 

得

令，则……10分

∴

∴二面角的大小为120°.……12分

19.【答案】（1）等边三角形（2）

（1），且

∴

∴……2分

（时等号成立）

∴

由题意可知，

∴

又……4分

∴

∴，由等号成立的条件可知，此时

∴为等边三角形.……6分

（2）由题意可知

（其中指的周长）

∴……8分

∵

∴

∴……10分

又

∴

∴

∴……12分

20.【答案】

（1）

（2）

解：（1）设事件：甲分的班级数为个（，2，3），事件：甲完成班级的装饰画复原。

∴，

，又……4分

所以……6分

（2）又题意可知的可能取值为0，1，2，3

……10分

所以的分布列为

……12分

21.【答案】（1）   （2）

解：（1）过且斜率为1的直线为：

代入拋物线方程可知，解得，

∴点M，N分别为，

∴

∴，

∴抛物线方程为：.……4分

（2）设，，，由题意可知：

对于抛物线，当时，；，；时，.

显然时，； 时，

若，则点处的切线为，即，

∵，∴，即；

同理，若，点处的切线为；

时，，则在顶点处的切线为，符合上述表达式.

∴点处的切线为；点处的切线为……8分

在这两条切线上，∴

则的直线方程为

∵在上，

∴，即在定直线上.……10分

∴长的最小值即为点到直线的距离，此时

.……12分

22.【答案】（1）

①时，函数在上单调递增，不存在极值.……2分

②时，得

时，，单调递减，时，，单调递增，

∴，无极大值.……5分

（2）由题意可知：

∵，∴.……8分

由（1）可知时，函数在上单调递增

则存在，，即……10分

令，则，有

时，，单调递减，

时，，单调递增，

∴

∴……12分