中考数学专题特训第二讲：实数的运算(含详细参考答案)

中考数学专题复习第二讲：实数的运算

【基础知识回顾】

一、    实数的运算。

1、基本运算：初中阶段我们学习的基本运算有    、    、    、     、     、    和      共六种，运算顺序是先算      ，再算      ，最后算      ，有括号时要先算      ，同一级运算，按照                 的顺序依次进行。

2、运算法则：

加法：同号两数相加，取         的符号，并把         相加，异号两数相加，取         的符号，并用较大的         减去较小         的，任何数同零相加仍得         。

减法，减去一个数等于         。

乘法：两数相乘，同号得         ，异号得         ，并把         相乘。

除法：除以一个数等于乘以这个数的         。

乘方：(-a) 2n +1 =          (-a) 2n =        

3、运算定律：加法交换律：a+b=            

             加法结合律：(a+b)+c=            

             乘法交换律：ab=            

             乘法结合律：（ab）c=            

             分配律：   （a+b）c=            

二、零指数、负整数指数幂。

  =             （a≠0）              a-p=              （a≠0）  

【赵老师提醒：1、实数的混合运算在中考考查时经常与0指数、负指数、绝对值、锐角三角函数等放在一起，计算时要注意运算顺序和运算性质。2、注意底数为分数的负指数运算的结果，如：（）-1=        】

三、实数的大小比较：

1、比较两个有理数的大小，除可以用数轴按照         的原则进行比较以外，，还有         比较法、         比较法等，两个负数         大的反而小。

2、如果几个非负数的和为零，则这几个非负数都为         。

【赵老师提醒：比较实数大小的方法有很多，根据题目所给的实数的类型或形可以式灵活选用。如：比较的大小，可以先确定和的取值范围，然后得结论：+2      -2。】

【重点考点例析】

考点一：实数的大小比较。

例1  （2012•西城区）已知的整数部分为a，小数部分为b，则代数式a2-a-b的值为    ．

思路分析：由于3＜＜4，由此可得的整数部分和小数部分，即得出a和b，然后代入代数式求值．

解：∵3＜＜4，

∴a=3，b=-3，

则a2-a-b=32-3-（-3）=9-3-+3=9-，

故答案为：9-．

点评：此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

例2  （2012•台湾）已知甲、乙、丙三数，甲=，乙=，丙=，则甲、乙、丙的大小关系，下列何者正确？（　　）

A．丙＜乙＜甲     B．乙＜甲＜丙     C．甲＜乙＜丙     D．甲=乙=丙

思路分析：本题可先估算无理数的整数部分的最大值和最小值，再求出甲，乙，丙的取值范围，进而可以比较其大小．

解：∵3=＜＜=4，

∴8＜5+＜9，

∴8＜甲＜9；

∵4=＜＜=5，

∴7＜3+＜8，

∴7＜乙＜8，

∵4= ＜＜=5，

∴5＜1+＜6，

∴丙＜乙＜甲 

 故选A．

点评：本题考查了实数的比较大小：（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．

对应训练

1．（2012•南京）12的负的平方根介于（　　）

A．-5与-4之间     B．-4与-3之间     C．-3与-2之间     D．-2与-1之间

1．B．

2．（2012•宁夏）已知a、b为两个连续的整数，且a＜＜b，则a+b=       ．

2．7

考点二：实数的混合运算。

例3  （2012•岳阳）计算：．

思路分析：本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

解：原式=3-+3-1+2×

=3-+3-1+

=5．

点评：本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值等考点．

对应训练

3．（2012•肇庆）计算：．

3．解：原式=

=

=．

考点三：实数中的规律探索。

例4  （2012•张家界）阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是

=ad-bc．例如：，．

（1）按照这个规定，请你计算的值；

（2）按照这个规定，请你计算：当x2-4x+4=0时，的值．

思路分析：（1）根据符号的意义得到=5×8-7×6，然后进行实数的乘法运算，再进行实数的减法运算即可；

（2）利用配方法解方程x2-4x+4=0得x=2，则=，然后根据符号的意义得到3×1-4×1，再进行实数的运算．

解：（1）=5×8-7×6=-2；

（2）由x2-4x+4=0得（x-2）2=4，

∴x=2，

∴==3×1-4×1=-1．

点评：本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行加减运算．也考查了配方法解一元二次方程以及阅读理解能力．

对应训练

【聚焦山东中考】

一、选择题

1．（2012•泰安）下列各数比-3小的数是（　　）

A．0     B．1     C．-4     D．-1

1．C

2．（2012•聊城）计算的结果是（　　）

A．      B．      C．-1       D．1

2．A

3．（2012•菏泽）在算式的中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（　　）

A．加号     B．减号     C．乘号     D．除号

3．D

二、填空题

1．（2012•德州）        ．（填“＞”、“＜”或“=”）

1．＞

2．（2012•济南）计算：2sin30°=           ．

2．-3

解：2sin30° =2×-4=1-4=-3．

故答案为：-3．

【备考真题过关】

一、选择题

1．（2012•重庆）在-3，-1，0，2这四个数中，最小的数是（　　）

A．-3     B．-1     C．0     D．2

1．A

2．（2012•桂林）下面是几个城市某年一月份的平均温度，其中平均温度最低的城市是（　　）

A．桂林11.2℃     B．广州13.5℃     C．北京-4.8℃     D．南京3.4℃

2．C

3．（2012•莆田）下列各数中，最小的数是（　　）

A．-l     B．0     C．1     D．

3．A

4．（2012•肇庆）计算-3+2的结果是（　　）

A．1     B．-1     C．5     D．-5

4．B

5．（2012•南通）计算6÷（-3）的结果是（　　）

A．     B．-2     C．-3     D．-18

5．B

6．（2012•滨州）-23等于（　　）

A．-6     B．6     C．-8     D．8

6．C

7．（2012•黑龙江）若（a-2）2+|b-1|=0，则（b-a）2012的值是（　　）

A．-1     B．0     C．1     D．2012

7．C

8．（2012•义乌市）一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（　　）

A．2与3之间    B．3与4之间    C．4与5之间    D．5与6之间

8．B

9．（2012•天津）估计的值在（　　）

A．2到3之间    B．3到4之间    C．4到5之间    D．5到6之间

9．B

二、填空题

10．（2012•绵阳）比-1℃低2℃的温度是        ℃．（用数字填写）

10．-3

11．（2012•扬州）扬州市某天的最高气温是6℃，最低气温是-2℃，那么当天的日温差是    ．

11．8℃

13．（2012•云南）写出一个大于2小于4的无理数：                      。

13．、、、π…（只要是大于小于无理数都可以）

14．（2012•陕西）计算2cos45°-+=             ．

14．

15．（2012•荆门）计算              ．

15．-1

16．（2012•沈阳）今年沈阳市人均月最低工资标准为900元，相比去年提高了200元，则今年沈阳市人均最低工资相比去年涨幅的百分数约为          %（结果保留一位小数）．

16．28.6

解：∵沈阳市人均月最低工资标准为900元，相比去年提高了200元，

∴去年人均最低工资=900-200=700元，

∴今年沈阳市人均最低工资相比去年涨幅的百分数=200 700 ≈0.286=28.6%．

故答案为：28.6．

17．（2012•黄石）“数学王子”高斯从小就善于观察和思考．在他读小学时就能在课堂上快速地计算出1+2+3+…+98+99+100=5050，今天我们可以将高斯的做法归纳如下：

令 S=1+2+3+…+98+99+100                         ①

S=100+99+98+…+3+2+1                            ②

①+②：有2S=（1+100）×100    解得：S=5050

请类比以上做法，回答下列问题：

若n为正整数，3+5+7+…+（2n+1）=168，则n=           ．

17．12

解：设S=3+5+7+…+（2n+1）=168①，

则S=（2n+1）+…+7+5+3=168②，

①+②得，2S=n（2n+1+3）=2×168，

整理得，n2+2n-168=0，

解得n1=12，n2=-14（舍去）．

故答案为：12．

三、解答题

18．（2012•珠海）计算：．

18．解：原式=2-1+1-2=0．

19．（2012•株洲）计算：2-1+cos60°-|-3|．

19．解：原式=．

20．（2012•重庆）计算：．

20．解：原式=2+1-5+1+9=8．