中考数学专题特训第四讲：因式分解(含详细参考答案)

2013年中考数学专题复习第四讲：因式分解

【基础知识回顾】

一、因式分解的定义：

1、把一个         式化为几个整式      的形式，叫做把一个多项式因式分解。

2、因式分解与整式乘法是       运算，即：多项式   整式的积

【赵老师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为             的形式。】

二、因式分解常用方法：

1、提公因式法：

  公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。

  提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc=            。

【赵老师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是         ，都遵循一个原则：取系数的            ，相同字母的               。2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为      ，不能漏掉。3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要         。】

2、运用公式法：

将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。①平方差公式：a2-b2=               ,

       ②完全平方公式：a2±2ab+b2=                    。

【赵老师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，

找准里面a与b。如：x2-x+即是完全平方公式形式而x2- x+就不符合该公式。】

一、     公式分解的一般步骤

1、   一提：如果多项式即各项有公因式，即分要先          

2、   二用：如果多项没有公因式，即可以尝试运用         法来分解。

3、   三查：分解因式必须进行到每一个因式都解因为止。

   【赵老师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两点，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】

【重点考点例析】

 考点一：因式分解的概念

例1  （2012•安徽）下面的多项式中，能因式分解的是（　　）

A．m2+n      B．m2-m+1      C．m2-n      D．m2-2m+1

思路分析：根据多项式特点和公式的结构特征，对各选项分析判断后利用排除法求解．

解：A、m2+n不能分解因式，故本选项错误；

B、m2-m+1不能分解因式，故本选项错误；

C、m2-n不能分解因式，故本选项错误；

D、m2-2m+1是完全平方式，故本选项正确．

故选D．

点评：本题主要考查了因式分解的意义，熟练掌握公式的结构特点是解题的关键．

对应训练

1．（2012•凉山州）下列多项式能分解因式的是（　　）

A．x2+y2     B．-x2-y2     C．-x2+2xy-y2     D．x2-xy+y2

1．C

 考点二：因式分解

例2  （2012•天门）分解因式：3a2b+6ab2=             ．

思路分析：首先观察可得此题的公因式为：3ab，然后提取公因式即可求得答案．

解：3a2b+6ab2=3ab（a+2b）．

故答案为：3ab（a+2b）．

点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．

例3  （2012•广元）分解因式：3m3-18m2n+27mn2=              ．

思路分析：先提取公因式3m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．

解：3m3-18m2n+27mn2

=3m（m2-6mn+9n2）

=3m（m-3n）2．

故答案为：3m（m-3n）2．

点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

对应训练

2．（2012•温州）把a2-4a多项式分解因式，结果正确的是（　　）

A．a（a-4） B．（a+2）（a-2） C．a（a+2）（a-2） D．（a-2）2-4

2．A．

3．（2012•恩施州）a4b-6a3b+9a2b分解因式得正确结果为（　　）

A．a2b（a2-6a+9） B．a2b（a-3）（a+3） C．b（a2-3）2 D．a2b（a-3）2

3．D

考点三：因式分解的应用

例4 8．（2012•随州）设a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，且1-ab2≠0，则()5=              ．

考点：因式分解的应用；分式的化简求值．

分析：根据1-ab2≠0的题设条件求得b2=-a，代入所求的分式化简求值．

解答：解：∵a2+2a-1=0，b4-2b2-1=0，
∴（a2+2a-1）-（b4-2b2-1）=0，
化简之后得到：（a+b2）（a-b2+2）=0，
若a-b2+2=0，即b2=a+2，则1-ab2=1-a（a+2）=1-a2-2a=0，与题设矛盾，所以a-b2+2≠0，
因此a+b2=0，即b2=-a，
∴()5
=()5
=-()5
=()5
=（-2）5
=-32．
故答案为-32．

点评：本题考查了因式分解、根与系数的关系及根的判别式，解题关键是注意1-ab2≠0的运用．

对应训练

4．（2012•苏州）若a=2，a+b=3，则a2+ab=           ．

4．6

【聚焦山东中考】

1．（2012•济宁）下列式子变形是因式分解的是（　　）

A．x2-5x+6=x（x-5）+6     B．x2-5x+6=（x-2）（x-3）

C．（x-2）（x-3）=x2-5x+6   D．x2-5x+6=（x+2）（x+3）

1．B．

2．（2012•临沂）分解因式：a-6ab+9ab2=              ．

2．a（1-3b）2．

3．（2012•潍坊）分解因式：x3-4x2-12x=             ．

考点：因式分解-十字相乘法等；因式分解-提公因式法．

分析：首先提取公因式x，然后利用十字相乘法求解即可求得答案，注意分解要彻底．

解答：解：x3-4x2-12x
=x（x2-4x-12）
=x（x+2）（x-6）．
故答案为：x（x+2）（x-6）．

点评：此题考查了提公因式法、十字相乘法分解因式的知识．此题比较简单，注意因式分解的步骤：先提公因式，再利用其它方法分解，注意分解要彻底．

4．（2012•威海）分解因式：3x2y+12xy2+12y3=                ．

考点：提公因式法与公式法的综合运用．

分析：先提取公因式3y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．

解答：解：3x2y+12xy2+12y3，
=3y（x2+4xy+4y2），
=3y（x+2y）2．
故答案为：3y（x+2y）2．

点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

【备考真题过关】

一、选择题

1．（2012•无锡）分解因式（x-1）2-2（x-1）+1的结果是（　　）

A．（x-1）（x-2）     B．x2     C．（x+1）2     D．（x-2）2

1．D

2．（2012•呼和浩特）下列各因式分解正确的是（　　）

A．-x2+（-2）2=（x-2）（x+2）     B．x2+2x-1=（x-1）2

C．4x2-4x+1=（2x-1）2            D．x2-4x=x（x+2）（x-2）

2．C

3．（2012•台湾）下列四个选项中，哪一个为多项式8x2-10x+2的因式？（　　）

A．2x-2     B．2x+2     C．4x+1     D．4x+2

3．A

4．（2012•西宁）下列分解因式正确的是（　　）

A．3x2-6x=x（3x-6）                  B．-a2+b2=（b+a）（b-a）

C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y）           D．4x2-2xy+y2=（2x-y）2

考点：因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．

专题：计算题．

分析：根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解，并根据提取公因式法，利用平方差公式分解因式法对各选项分析判断后利用排除法求解．

解答：解：A、3x2-6x=3x（x-2），故本选项错误；
B、-a2+b2=（b+a）（b-a），故本选项正确；
C、4x2-y2=（2x+y）（2x-y），故本选项错误；
D、4x2-2xy+y2不能分解因式，故本选项错误．
故选B．

点评：本题主要考查了因式分解的定义，熟记常用的提公因式法，运用公式法分解因式的方法是解题的关键．

5．（2012•温州）把a2-4a多项式分解因式，结果正确的是（　　）

A．a（a-4）    B．（a+2）（a-2） C．a（a+2）（a-2）    D．（a-2）2-4

考点：因式分解-提公因式法．

分析：直接提取公因式a即可．

解答：解：a2-4a=a（a-4），
故选：A．

点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．

二、填空题

6．（2012•湘潭）因式分解：m2-mn=          ．

6．m（m-n）

7．（2012•桂林）分解因式：4x2-2x=            ．

7．2x（2x-1）

8．（2012•沈阳）分解因式：m2-6m+9=            ．

8．（x-3）2．

9．（2012•黔西南州）分解因式：a4-16a2=              ．

9．a2（a+4）（a-4）．

10．（2012•北海）因式分解：-m2+n2=             ．

10．（n+m）（n-m）

11．（2012•北京）分解因式：mn2+6mn+9m=               ．

11．m（n+3）2．

12．（2012•益阳）写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式：           ．

12．解：答案不唯一，如x2-3

=x2-（）2

=（x+）（x-）．

故可填 x2-3．

13．（2012•宜宾）分解因式：3m2-6mn+3n2=             ．

13．3（m-n）2

14．（2012•绥化）分解因式：a3b-2a2b2+ab3=        ．

14．ab（a-b）2．

15．（2012•宜宾）已知P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，当x≠0时，3P-2Q=7恒成立，则y的值为                 ．

15．解：∵P=3xy-8x+1，Q=x-2xy-2，

∴3P-2Q=3（3xy-8x+1）-2（x-2xy-2）=7恒成立，

∴9xy-24x+3-2x+4xy+4=7，

13xy-26x=0，

13x（y-2）=0，

∵x≠0，

∴y-2=0，

∴y=2；

故答案为：2．

16．（2012•广东）分解因式：2x2-10x=              ．

考点：因式分解-提公因式法．

分析：首先确定公因式是2x，然后提公因式即可．

解答：解：原式=2x（x-5）．
故答案是：2x（x-5）．

点评：本题考查了提公因式法，正确确定公因式是关键．

17．（2012•黄石）分解因式：x2+x-2=                 ．

考点：因式分解-十字相乘法等．

专题：探究型．

分析：因为（-1）×2=-2，2-1=1，所以利用十字相乘法分解因式即可．

解答：解：∵（-1）×2=-2，2-1=1，
∴x2+x-2=（x-1）（x+2）．
故答案为：（x-1）（x+2）．

点评：本题考查的是十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．

18．（2012•黑河）因式分解：27x2-3y2=                ．

考点：提公因式法与公式法的综合运用．

分析：首先提公因式3，然后利用平方差公式分解．

解答：解：原式=3（9x2-y2）=3（3x+y）（3x-y）．
故答案是：3（3x+y）（3x-y）．

点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止

19．（2012•六盘水）分解因式：2x2+4x+2=                 ．

考点：提公因式法与公式法的综合运用．

分析：先提取公因式2，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．

解答：解：2x2+4x+2
=2（x2+2x+1）
=2（x+1）2．
故答案为：2（x+1）2．

点评：本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．

20．（2012•南充）分解因式：x2-4x-12=                  ．

考点：因式分解-十字相乘法等．

专题：计算题．

分析：因为-6×2=-12，-6+2=-4，所以利用十字相乘法分解因式即可．

解答：解：x2-4x-12=（x-6）（x+2）．
故答案为（x-6）（x+2）．

点评：本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．

21．（2012•哈尔滨）把多项式a3-2a2+a分解因式的结果是                  ．

考点：提公因式法与公式法的综合运用．

分析：先提取公因式a，再利用完全平方公式进行二次分解因式

解答：解：a3-2a2+a
=a（a2-2a+1）
=a（a-1）2．
故答案为：a（a-1）2．

点评：本题主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，难点在于需要进行二次分解因式．

22．（2012•广州）分解因式：a3-8a=              ．

考点：提公因式法与公式法的综合运用．

专题：常规题型．

分析：先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

解答：解：a3-8a，
=a（a2-8），
=a（a+2）（a-2）．
故答案为：a（a+2）（a-2）．

点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

23．（2012•广西）分解因式：2xy-4x2=                 ．

考点：因式分解-提公因式法．

分析：利用提取公因式法分解即可，公因式的确定方法是：公因式的系数是各项的系数的最大公约数，字母是各项中共同含有的字母，并且字母的次数是各项中字母的最低的次数作为公因式的次数．

解答：解：原式=2x（y-2x）．
故答案是：2x（y-2x）．

点评：本题考查了利用提公因式法分解因式，正确确定公因式是关键．

24．（2012•大庆）分解因式：ab-ac+bc-b2=                ．

考点：因式分解-分组分解法．

分析：首先把前两项分成一组，后两项分成一组，每一组可以提公因式，然后再利用提公因式法即可．

解答：解：ab-ac+bc-b2
=（ab-ac）+（bc-b2）
=a（b-c）-b（b-c）
=（b-c）（a-b）．
故答案是：（b-c）（a-b）．

点评：本题考查了分组分解法分解因式，此题因式分解方法灵活，注意认真观察各项之间的联系．

三、解答题

25．（2012•扬州）（1）计算：-（-1）2+（-2012）0
（2）因式分解：m3n-9mn．

考点：提公因式法与公式法的综合运用；实数的运算；零指数幂．

专题：常规题型．

分析：（1）根据算术平方根的定义，乘方的定义，以及任何非0数的0次幂等于1解答；
（2）先提取公因式mn，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．

解答：解：（1）-（-1）2+（-2012）0
=3-1+1
=3；

（2）m3n-9mn
=mn（m2-9）
=mn（m+3）（m-3）

点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．