中考数学复习 第四讲 整式及其运算（含解析） 试卷

第四讲　方程(组)及其应用

命题点分类集训
时间：60分钟　共24题　答对____题
　
1. (咸宁)方程2x－1＝3的解是(　　)
A. －1　　　　　　B. －2　　　　　　C. 1　　　　　　D. 2
2. (杭州)某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20%，设把x公顷旱地改为林地，则可列方程(　　)
A. 54－x＝20%×108 B. 54－x＝20%(108＋x)
C. 54＋x＝20%×162 D. 108－x＝20%(54＋x)
3. (长沙)长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电器一件，则可获纯利润500元，其利润率为20%.现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那么获得的纯利润为(　　)
A. 562.5元 B. 875元 C. 550元 D. 750元
4. (原创)为推进课改，王老师把班级里40名学生分成若干小组，每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案(　　)
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
5. (哈尔滨)美术馆举办的一次画展中，展出的油画作品和国画作品共有100幅，其中油画作品数量是国画作品数量的2倍多7幅，则展出的油画作品有________幅.
6. (重庆B卷7分)解二元一次方程组.







7. (黄冈6分)已知A，B两件服装的成本共500元，鑫洋服装店老板分别以30%和20%的利润率定价后进行销售，该服装店共获利130元，问A，B两件服装的成本各是多少元？








8. (滨州)用配方法解一元二次方程x2－6x－10＝0时，下列变形正确的为(　　)
A. (x＋3)2＝1 B. (x－3)2＝1
C. (x＋3)2＝19 D. (x－3)2＝19
9. (重庆A卷)一元二次方程x2－2x＝0的根是(　　)
A. x1＝0，x2＝－2 B. x1＝1，x2＝2
C. x1＝1，x2＝－2 D. x1＝0，x2＝2
10. (金华)一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是(　　)
A. 4 B. －4 C. 3 D. －3
11. (衡阳)若关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－1，则另一个根为(　　)
A. －2 B. 2 C. 4 D. －3
12. (德州)若一元二次方程x2＋2x＋a＝0有实数解，则a的取值范围是(　　)
A. a<1 B. a≤4 C. a≤1 D. a≥1
13. (哈尔滨)今年我市计划扩大城区绿地面积，现有一块长方形绿地，它的短边长为60 m，若将短边增大到与长边相等(长边不变)，使扩大后的绿地的形状是正方形，则扩大后的绿地面积比原来增加1600 m2.设扩大后的正方形绿地边长为x m，下面所列方程正确的是(　　)
A. x(x－60)＝1600 B. x(x＋60)＝1600
C. 60(x＋60)＝1600 D. 60(x－60)＝1600
14. (上海)如果关于x的一元二次方程x2＋4x－m＝0没有实数根，那么m的取值范围是________.
15. (内江)已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1、x2，且满足＋＝3，则k的值是________.
16. (兰州5分)解方程：x2－1＝2(x＋1)．










17. (广州12分)某地区2013年投入教育经费2500万元，年投入教育经费3025万元．
(1)求2013年至年该地区投入教育经费的年平均增长率；
(2)根据(1)所得的年平均增长率，预计年该地区将投入教育经费多少万元．









　
18. (天津)分式方程＝的解为(　　)
A. x＝0 B. x＝3 C. x＝5 D. x＝9
19. (乌鲁木齐)九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．设骑车学生的速度为x km/h，则所列方程正确的是(　　)
A. ＝－ B. ＝－20
C. ＝＋ D. ＝＋20
20. (德州)方程－＝1的解为x＝________.
21. (天水)若关于x的方程－1＝0有增根，则a的值为________.
22. (山西5分)解方程：＝－.







23. (陕西5分)解分式方程：－＝1.







24. (北京5分)为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用，到2013年底，全市已有公租自行车25000辆，租赁点600个，预计到年底，全市将有公租自行车50000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍．预计到年底，全市将有租赁点多少个？
中考冲刺集训
时间：60分钟　　满分：90分
一、选择题(共10题，每题3分，共30分)
1. (无锡)方程2x－1＝3x＋2的解为(　　)
A. x＝1　　　　　　B. x＝－1　　　　　　C. x＝3　　　　　　D. x＝－3
2. (珠海)一元二次方程x2＋x＋＝0的根的情况是(　　)
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法确定根的情况
3. (烟台)如果x2－x－1＝(x＋1)0，那么x的值为(　　)
A. 2或－1 B. 0或1 C. 2 D. －1
4. (遵义)若x＝3是分式方程－＝0的根，则a的值是(　　)
A. 5 B. －5 C. 3 D. －3
5. (广州)已知a，b满足方程组，则a＋b的值为(　　)
A. －4 B. 4 C. －2 D. 2
6. (成都)关于x的一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(　　)
A. k＞－1 B. k≥－1
C. k≠0 D. k＞－1且k≠0
7. (怀化)设x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，则x＋x的值是(　　)
A. 19 B. 25 C. 31 D. 30
8. (内江)植树节这天有20名同学共种了52棵树苗，其中男生每人种树3棵，女生每人种树2棵．设男生有x人，女生有y人，根据题意，下列方程组正确的是(　　)
A. B.
C. D.
9. (安徽)我省2013年的快递业务量为1.4亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业迅猛发展，年增速位居全国第一．若年的快递业务量达到4.5亿件，设年与年这两年的年平均增长率为x，则下列方程正确的是(　　)
A. 1.4(1＋x)＝4.5 B. 1.4(1＋2x)＝4.5
C. 1.4(1＋x)2＝4.5 D. 1.4(1＋x)＋1.4(1＋x)2＝4.5
10. (玉林)某次列车平均提速v km/h，用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，设提速前列车的平均速度为x km/h，则列方程是(　　)
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
二、填空题(共5题，每题4分，共20分)
11. (泉州)方程组的解是________.
12. (黄冈)若方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为________．
13. (成都)已知关于x的分式方程－＝1的解为负数，则k的取值范围是________．
14. (毕节)一个容器盛满纯药液40 L，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液10 L．则每次倒出的液体是________L.
15. (龙东地区)某超市“五一放价”优惠顾客，若一次性购物不超过300元不优惠，超过300元时按全额9折优惠，一位顾客第一次购物付款180元，第二次购物付款288元，若这两次购物合并成一次性付款可节省________元．
三、解答题(共5题，第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19～20题每题10分，共40分)
16. (深圳)解方程：＋＝4.








17. (珠海节选)阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x＋10y＋y＝5，即2(2x＋5y)＋y＝5　③，
把方程①代入③得：2×3＋y＝5，∴y＝－1.
把y＝－1代入①得，x＝4.∴方程组的解为.
请你解决以下问题：
模仿小军的“整体代换”法解方程组.













18. (泰安)某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元，甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元．
(1)甲、乙两种款型的T恤衫各购进多少件？
(2)商店按进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半．商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T恤衫商店共获利多少元？







19. (淮安)水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．
(1)若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是________斤(用含x的代数式表示)；
(2)销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？










20. (连云港)在某市组织的大型商业演出活动中，对团体购买门票实行优惠，决定在原定票价基础上每张降价80元，这样按原定票价需花费6000元购买的门票张数，现在只花费了4800元．
(1)求每张门票的原定票价；
(2)根据实际情况，活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠措施，原定票价经过连续二次降价后降为324元，求平均每次降价的百分率.


第四讲　方程(组)及其应用
命题点分类集训
命题点1　一次方程(组)及其应用

1. D　【解析】本题有两种解法：方法一：根据方程解的概念，直接验根．当x＝2时，方程的左边＝2×2－1＝3，右边＝3，左边＝右边，所以x＝2是原方程的解；方法二：解方程．移项，得2x＝3＋1，即2x＝4，解得x＝2.故应选D.
解一元一次方程时，最容易出错的地方是移项没有变号．
2. B　【解析】旱地改造面积为x公顷，则改造后旱地面积为(54－x)公顷，而林地面积增加到(108＋x)公顷．此时，旱地面积占林地面积的20%，则有：54－x＝20%(108＋x)．故应选B.
3. B　【解析】设此家用电器的进价是x元，因此利润是20%·x，所以20%·x＝500，解得x＝2500，设标价是y元，因此列方程：0.8y－2500＝500，所以y＝3750，按照同一标价打9折销售，则获得的纯利润是：3750×0.9－2500＝875(元)．故应选B.
4. C　【解析】本题考查了二元一次方程的实际应用．设分为6人一组的有x组，分为5人一组的有y组，则6x＋5y＝40.∵x，y只能取非负整数，将x、y可能的取值代入方程6x＋5y＝40可得，则x1＝0，y1＝8；x2＝5，y2＝2，两种方案．
5. 69　【解析】设国画作品数量为x幅，则油画作品的数量为(2x＋7)幅，则x＋2x＋7＝100，解得x＝31，∴油画作品有2×31＋7＝69(幅)．
6. 解：由①得x＝2y＋1③，(1分)
把③代入②，得2y＋1＋3y＝6，
解得y＝1.(4分)
把y＝1代入①，得x＝3.(6分)
∴方程组的解为.(7分)
①－②，得－5y＝－5，
解得　y＝1.(2分)
把y＝1代入①，得x－2＝1，
解得x＝3.(5分)
∴方程组的解为.(7分)
7. 解：设A服装的成本为x元，则B服装的成本为(500－x)元．
根据题意可得：30%x＋20%(500－x)＝130，(3分)
30%x＋100－20%x＝130，
10%x＝30，
0．1x＝30，
解得x＝300，
500－x＝500－300＝200(元)．(5分)
答：A服装的成本为300元，B服装的成本为200元．(6分)

8. D　【解析】方程常数项移到右边，两边加上9，左边化为完全平方式，右边合并，即可得到结果．移项得：x2－6x＝10，配方：x2－6x＋9＝19，即(x－3)2＝19.
9. D　【解析】用“分解因式”的方法解这个方程，原方程左边分解，x(x－2)＝0，所以x＝0或x－2＝0，∴x1＝0，x2＝2.
10. D　【解析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，正确记忆根与系数的关系x1·x2＝是解决问题的关键．∵一元二次方程x2＋4x－3＝0两根为x1、x2，∴x1x2＝＝－3，故选D.
11. A　【解析】本题考查一元二次方程根与系数关系．∵关于x的方程x2＋3x＋a＝0的一个根为－1，设另一个根为b，则有x1＋x2＝－1＋b＝－3，解得b＝－2.
将x＝－1代入方程 得1－3＋a＝0，解得a＝2.∴方程为x2＋3x＋2＝0，解得方程两根分别为x1＝－1，x2＝－2.
12. C　【解析】本题考查一元二次方程根的判别式，当根的判别式4－4a≥0时，即a≤1时，一元二次方程有实数根，故选C.
13. A　【解析】增加的长方形的长为x m，宽为(x－60) m，∴增加的面积为x(x－60)＝1600.
14. m＜－4　【解析】∵一元二次方程x2＋4x－m＝0没有实数根，∴b2－4ac＝42－4(－m)＜0，∴m＜－4.
15. 2　【解析】本题考查一元二次方程根与系数关系．由题意得x1＋x2＝－＝6，x1x2＝＝k，由＋＝3，得x1＋x2＝3x1 x2，则6＝3k，解得k＝2.
16. 解：原方程可化为：x2－1＝2x＋2(1分)
　　　　x2－2x－3＝0(2分)
(x＋1)(x＋3)＝0(3分)
解得x1＝－1，x2＝3(5分)
17. 解：(1)设2013年至年该地区投入教育经费的年平均增长率为x,
由题意得：2500(1＋x)2＝3025(3分)
解得：x1＝0.1，x2＝－2.1(不符合题意舍去)(5分)
所以增长率为0.1＝10% .
答：2013年至年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.(7分)
(2)由(1)得，2013年至年的平均增长率为10%，则年该地区将投入教育经费为：3025(1＋10%)＝3327.5(万元)(11分)
答：年该地区将投入教育经费3327.5万元. .(12分)

18. D　【解析】本题考查解分式方程，原方程两边同时乘以x(x－3)，得2x＝3(x－3)，解得x＝9，把x＝9代入x(x－3)＝54≠0，所以x＝9是原分式方程的根．
19. C　【解析】骑车的速度是x km/h，则乘车的速度为2x km/h，根据等量关系“骑车时间＝乘车时间＋20分钟”即＝＋.
20. 2　【解析】通分－＝1，＝1，化为整式方程x2－2x＋2＝x2－x.解得x＝2.经检验x＝2是分式方程的解．∴原方程的解为x＝2.
21. －1　【解析】对方程两边同时乘以x－1，得ax＋1－x＋1＝0，则(a－1)x＋2＝0，∵原方程有增根，∴x＝1，将x＝1代入(a－1)x＋2＝0中，得a－1＋2＝0，a＝－1.
22. 解：方程两边同乘以2(2x－1)，得2＝2x－1－3，(3分)
化简得：－2x＝－6，解得x＝3，(4分)
检验：当x＝3时，2(2x－1)＝2×(2×3－1)＝10≠0，
所以x＝3是原分式方程的根. (5分)
23. 解：方程两边同乘以(x＋3)(x－3)，得
(x－2)(x－3)－3(x＋3)＝(x＋3)(x－3)
　x2－5x＋6－3x－9＝x2－9(3分)
　　　　 　　 －8x＝－6
　　　　　　　　 x＝.(4分)
经检验，x＝是原方程的根．(5分)
注：直接写出方程的解x＝得1分．
24. 解：设年底全市租赁点有x个，
根据题意，可列方程：＝1.2×(3分)
解得：x＝1000，
经检验，x＝1000是原方程的解，且符合实际情况．
答：预计到年底，全市将有租赁点有1000个．(5分)
中考冲刺集训
1. D　【解析】本题考查一元一次方程的解法．将原式移项，得2x－3x＝2＋1，合并同类项，得－x＝3，系数化为1，得x＝－3.
2. B　【解析】根据一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与b2－4ac的关系解答此题，因为b2－4ac＝1－4×1×＝1－1＝0，所以该方程有两个相等的实数根．故选B.
3. C　【解析】本题考查解一元二次方程．任何一个不为零的数的零次幂都等于1，所以化简方程为x2－x－2＝0，解方程得x1＝2，x2＝－1.∵x＋1≠0，∴x≠－1，∴x＝2.
4. A　【解析】将x＝3代入－＝0得－＝0，解得a＝5，故选A.
5. B　【解析】本题考查二元一次方程组的解法．将方程组的两个方程相加，可得4a＋4b＝16，再将方程两边同时除以4，即可得到a＋b＝4.
本题的解题可以不按常规解法进行解答，将两个方程相加，再将a＋b看作一个整体进行解答，可以提高解题效率.
6. D　【解析】∵一元二次方程kx2＋2x－1＝0有两个不相等的实数根，∴k≠0，b2－4ac＝22－4×(－1)k＝4＋4k>0，∴k>－1且k≠0.
7. C　【解析】依题意有：x1＋x2＝－＝－5，x1x2＝＝－3，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－5)2－2×(－3)＝31.
8. D　【解析】由人数可得x＋y＝20，由共种树的数目，可得3x＋2y＝52.联立即可得到方程组．
9. C　【解析】根据题意可知，年与年这两年的平均增长率均为x，所以年的快递业务量为1.4(1＋x)，年的快递业务量1.4(1＋x)(1＋x)，即1.4(1＋x)2＝4.5，故选C.
对于用一元二次方程解决增长率(下降率)问题，正确理解有关“增长”问题的一些词语的含义是解答这类问题的关键，常见的词语有：“增加”、“增加到”、“增加了几倍”、“增长到几倍”、“增长率”等等，然后再列式求解．一般若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2＝b(当增长时中间的“±”号选“＋”，当降低时中间的“±”号选“－”)．
10. A　【解析】因为提速前列车的平均速度是x km/h，则提速后列车的平均速度是(x＋v)km/h；提速前列车行驶s千米需要的时间是：，提速后列车行驶(s＋50)km需要的时间是，因为这两个时间相同，所以＝，正确结果是A.
11. 　【解析】本题考查利用加减消元法解二元一次方程组．将两式相加，得3x＝3，解得x＝1，将x＝1代入x－y＝4，得1－y＝4，解得y＝－3，∴.
12. 3　【解析】由于已知方程有两根，所以得用根与系数的关系，得：x1＋x2＝2，x1x2＝－1，则x1＋x2－x1x2＝2－(－1)＝3.
13. k＞ 且k≠1　【解析】原方程等式两边同乘以(x＋1)(x－1)得：(x＋k)(x－1)－k(x＋1)＝x2－1，－x＝2k－1(化简，合并同类项)，x＝1－2k(系数化为1)，由题意知，x＝1－2k＜0，解得：k＞，又当x＝1－2k＝1，x＝1－2k＝－1时，为方程的增根，解得k＝0或k＝1，所以k的取值范围是k＞且k≠1.
14. 20　【解析】本题考查列一次方程解实际问题．设每次倒出x L液体．根据题意列方程得40－x－·x＝10，解得x1＝20，x2＝60(舍)．
15. 46.8或50　【解析】∵180÷90%＝200<300，288÷90%＝320>300，∴分两种情况进行讨论，情况①，该顾客两次购物均未满300元，则一次性购物，可节省(180＋288)×(1－90%)＝46.8(元)．情况②，若顾客第二次购买超过300元，则可节省(180＋320)×(1－90%)＝50(元)．
16. 解：去分母，得：x(3x－2)＋5(2x－3)＝4(2x－3)(3x－2)(1分)
去括号：3x2－2x＋10x－15＝24x2－52x＋24(2分)
化简得：7x2－20x＋13＝0.
分解得：(x－1)(7x－13)＝0.
∴x1＝1，x2＝.(4分)
经检验：方程的解为x1＝1，x2＝.(5分)
17. 解：把方程②变形：3(3x－2y)＋2y＝19 ③，(2分)
把①代入③得：15＋2y＝19，即y＝2，(4分)
把y＝2代入①得：x＝3，(6分)
则方程组的解为；(7分)
18. 解：(1)设乙种款型购进x件，则甲种款型购进1.5x件，根据题意得，
－＝30，(1分)
整理得45x＝1800，
解得：x＝40，(2分)
经检验，x＝40是原方程的根且符合题意，
∴1.5x＝1.5×40＝60(件)．(3分)
答：甲种T恤衫购进60件，乙种T恤衫购进40件．(4分)
(2)∵甲种款型每件的标价为：×(1＋60%)＝208(元)，
乙种款型每件的标价为：×(1＋60%)＝256(元)，(5分)
甲种款型的销售总额：208×60＝12480(元)，
乙种款型的销售总额为：256×20＋256×0.5×20＝7680(元)，
∴商店共获利金额为：12480＋7680－7800－6400＝5960(元)．(7分)
答：售完这批T恤衫商店共获利5960元．(8分)
19. 解：(1)200x＋100；(4分)
(2)根据题意，得(200x＋100)(4－2－x)＝300，(7分)
整理，得2x2－3x＋1＝0，(x－1)(2x－1)＝0
解得x1＝1，x2＝0.5.(8分)
当x＝0.5时，每天销售量为200×0.5＋100＝200<260，
不合题意，舍去．
(9分)
答：销售这种水果要想每天销售盈利300元，张阿姨需将每斤的销售价降低1元．(10分)
20. 解：(1)设每张门票的原定票价为x元．(1分)
由题意得：＝，(2分)
解得：x＝400.经检验：x＝400是原方程的解．(4分)
答：每张门票的原定票价400元．(5分)
(2)设平均每次降价的百分率为y.
由题意得：400(1－y)2＝324，(7分)
解得：y1＝0.1，y2＝1.9(不合题意，舍去)，(9分)
答：平均每次降价10%.(10分)