第二学期八年级下册数学第十七章《勾股定理》单元检测试题（解析版）

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新人教版八年级下册数学第十七章《勾股定理》单元自测试题一、填空题(每小题5分，共25分)；1、（2012广州市，7， 3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（      ）   A.  B.           C.       D. 【解析】首先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，利用直角三角形面积的两种求法，求出点C到AB的距离。【答案】由勾股定理得AB==15,根据面积有等积式，于是有CD=。【点评】本题用了考查常用的勾股定理，直角三角形根据面积得到的一个等积式，列方程求线段CD的长。2. （2011•贵阳6,3分）如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（　　） A、2.5  B、2    C、 D、【分析】：勾股定理；实数与数轴。本题利用实数与数轴的关系及直角三角形三边的关系（勾股定理）解答即可．【解答】：解：由勾股定理可知，∵OB=，∴这个点表示的实数是。故选D．【点评】：本题考查了勾股定理的运用和如何在数轴上表示一个无理数的方法．3. （2011山东菏泽，5，4分）如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC=3，AB=6，∠BCA=90°．在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（　　） A．6       B．3             C．        D．【分析】：翻折变换（折叠问题）；含30度角的直角三角形；勾股定理．易得∠ABC=60°，∠A=30°．根据折叠的性质∠CBE=∠D=30°．在△BCE和△DCE中运用三角函数求解．【解答】：解：∵∠ACB=90°，BC=3，AB=6，∴sinA=BC：AB=1：2，∴∠A=30°，∠CBA=60°．根据折叠的性质知，∠CBE=∠EBA=∠CBA=30°，∴CE=BCtan30°=，∴DE=2CE=2．故选C．【点评】：本题考查了：1．折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2．直角三角形的性质，锐角三角函数的概念求解．4. （2011泰安，19，3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC＝3，则折痕CE的长为（　　） A．  B．        C．  D．6【分析】：翻折变换（折叠问题）；勾股定理。先根据图形翻折变换的性质求出AC的长，再由勾股定理及等腰三角形的判定定理即可得出结论．【解答】：解：∵△CED是△CEB翻折而成，∴BC＝CD，BE＝DE，∵O是矩形ABCD的中心，∴OE是AC的垂直平分线，AC＝2BC＝2×3＝6，∴AE＝CE，在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2，即62＝AB2＋32，解得AB＝3，在Rt△AOE中，设OE＝x，则AE＝3－x，AE2＝AO2＋OE2，即（3－x）2＝（3）2＋32，解得x＝，∴AE＝EC＝3－＝2．故选A．【点评】：本题考查的是翻折变换，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．5. （2011四川广安，6，3分）如图所示，圆柱的底面周长为6cm，AC是底面圆的直径，高BC＝ 6cm，点是母线上一点且＝．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是（       ）  A．（）cm  B．5cm    C．cm    D．7cm【分析】：圆柱的表面展开图、勾股定理画出该圆柱的侧面展开图如图所示，则蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离为线段AP的长．在Rt△ACP中，AC＝，＝＝4cm，所以．【解答】：B【点评】：解决这类问题要善于将空间图形转化为平面图形，采用“化曲为直”的方法，利用圆柱体的表面展开图，把求最短距离问题转化为求两点之间的线段的长度问题．二、选择题(每小题5分，共25分)6. （2011四川凉山，15，4分）把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式：                                         . 【分析】：命题与定理；勾股定理．命题都能写成“如果……，那么…”的形式，如果后面是题设，那么后面是结论，题设和结论互换后就是原命题的逆命题． 【解答】：解：逆命题为：三角形三边长a，b，c，满足a2＋b2＝c2，这个三角形是直角三角形，逆命题改写成“如果…，那么…”的形式：如果三角形三边长a，b，c，满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，故答案为：如果三角形三边长a，b，c，满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．【点评】：本题考查把命题写成“如果…，那么…”的形式以及逆命题的概念，难度适中．   7. （2011黑龙江省黑河， 10，3分）已知三角形相邻两边长分别为20cm 和30cm．第三边上的高为10cm，则此三角形的面积为___________cm2．【考点】勾股定理。【分析】本题考虑两种情况，一种为锐角三角形，一种是钝角三角形，然后根据勾股定理求得第三边，从而求得三角形面积．【解答】解：图一图二由题意作图则设AB=20cm，AC=30cm，AD=10cm有两种情况：一种：在直角三角形ABD中利用勾股定理BD==cm同理解CD=20cm则三角形面积==（100+50）cm2二种：在直角三角形ABD中，BD== cm在直角三角形ACD中，CD== cm则BC=cm所以三角形面积为cm2故填或。【点评】本题考查了勾股定理，两次运用勾股定理求出第三边，从两种情况来求第三边长，则再求三角形面积．三、解答题(此大题满分50分)
8、(2012贵州黔西南州，18，3分)如图6，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，若AC=2，CE=4，求四边形ACEB的周长。【解析】由于∠ACB=90°，DE⊥BC，所以AC∥DE．又CE∥AD，所以四边形ACED是平行四边形，所以DE=AC=2．在Rt△CDE中，由勾股定理CD==2．又因为D是BC的中点，所以 BC=2CD=4．在Rt△ABC中，由勾股定理AB==2．因为D是BC的中点，DE⊥BC，所以EB=EC=4，所以四边形ACEB的周长=AC+CE+BE+BA=10+2．【答案】10＋2．【点评】本题是一个几何的综合计算题，尽管难度不大，但综合考查了平行四边形、垂直平分线的性质和判定，理清思路，找准图形中的相等线段，并不难解决 9. （2011黑龙江牡丹江，23，6分）在△ABC中，AB=2，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD，使△ABD为等腰直角三角形，求线段CD的长．【分析】：勾股定理的逆定理；全等三角形的判定与性质。根据题意中的△ABD为等腰直角三角形，显然应分为三种情况：∠ABD=90°，∠BAD=90°，∠ADB=90°．然后巧妙构造辅助线，出现全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性质和勾股定理进行求解．【解答】：∵AC=4，BC=2，AB=2， ∴AC2+BC2=AB2，∴△ACB为直角三角形，∠ACB=90°．分三种情况：如图（1），过点D作DE⊥CB，垂足为点E．易证△ACB≌△BED，易求CD=2； 如图（2），过点D作DE⊥CA，垂足为点E．易证△ACB≌△DEA，易求CD=2； 如图（3），过点D作DE⊥CB，垂足为点E，过点A作AF⊥DE，垂足为点F．易证△AFD≌△DEB，易求CD=3．【点评】：此题综合考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理．10. （2011湖北随州，18，？）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，过D点DE丄DF，交AB于E，交BC于F，若AE＝4，FC＝3，求EF长．【分析】：勾股定理；全等三角形的判定与性质。首先连接BD，由已知等腰直角三角形ABC，可推出BD⊥AC且BD＝CD＝AD，∠ABD＝45°再由DE丄DF，可推出∠FDC＝∠EDB，又等腰直角三角形ABC可得∠C＝45°，所以△EDB≌△FDC，从而得出BE＝FC＝3，那么AB＝7，则BC＝7，BF＝4，再根据勾股定理求出EF的长．【解答】：解：连接BD，∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，∴BD⊥AC，BD＝CD＝AD，∠ABD＝45°，∴∠C＝45°，又DE丄DF，∴∠FDC＝∠EDB，∴△EDB≌△FDC，∴BE＝FC＝3，∴AB＝7，则BC＝7，∴BF＝4，在直角三角形EBF中，EF2＝BE2+BF2＝32+42，∴EF＝5．答：EF的长为5．点评：此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定，关键是由已知先证三角形全等，求得BE和BF，再由勾股定理求出EF的长．11、(2012贵州六盘水，23，12分)如图12，小丽想知道自家门前小河的宽度，于是她按以下办法测出了如下数据：小丽在河岸边选取点A，在点A的对岸选取一个参照点C,测得∠CAD=30°；小丽沿河岸向前走30m选取点B，并测得∠CBD=60°.请根据以上数据，用你所学的数学知识，帮小丽计算小河的宽度.【分析】：先根据题意画出示意图，过点C作CE⊥AD于点E，设BE=x，则在RT△ACE中，可得出CE，利用等腰三角形的性质可得出BC，继而在RT△BCE中利用勾股定理可求出x的值，也可得出CE的长度．【解答】：解：过点C作CE⊥AD于点E，由题意得，AB=30m，∠CAD=30°，∠CBD=60°，故可得∠ACB=∠CAB=30°，即可得AB=BC=30m，设BE=x，在Rt△BCE中，可得CE= ，又∵BC2=BE2+CE2，即900=x2+3x2，解得：x=15，即可得CE= m．答：小丽自家门前的小河的宽度为m．【点评】：此题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是画出示意图，将实际问题转化为解直角三角形的问题，注意直角三角形的构造，难度一般．12．（2013湖南郴州，22，6分）我国为了维护队钓鱼岛P的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航．在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（AP∥BD），当轮船航行到距钓鱼岛20km的A处时，飞机在B处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C处时，飞机在轮船正上方的E处，此时EC=5km．轮船到达钓鱼岛P时，测得D处的飞机的仰角为30°．试求飞机的飞行距离BD（结果保留根号）．【点拨】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．作AF⊥BD，PG⊥BD，在Rt△ABF和△PDG中分别求出BF、GD的值，继而可求得BD=BF+FG+DC的值．【解答】：作AF⊥BD，PG⊥BD，垂足分别为F、G，由题意得：AF=PG=CE=5km，FG=AP=20km，在Rt△AFB中，∠B=45°，则∠BAF=45°，∴BF=AF=5，∵AP∥BD，∴∠D=∠DPH=30°，在Rt△PGD中，tan∠D=，即tan30°=，∴GD=5，则BD=BF+FG+DC=5+20+5=25+5（km）．答：飞机的飞行距离BD为25+5km．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形，然后解直角三角形，难度一般．