真题重组卷01——2023年高考数学真题汇编重组卷（上海专用）

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冲刺2023年高考数学真题重组卷01

数学（上海地区专用）

考生注意：

1、本试卷共21道试题，满分150分，考试时间120分钟.

2、本试卷分设试卷和答题卡.试卷包括试题与答题要求，作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.

3、答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息.

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1—6题每题4分，第7—12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.

1、（2021年上海高考真题）已知，则________．

【答案】

由已知得，

2、（2014·上海·高考真题）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率 是_______（结构用最简分数表示）.

【答案】

【详解】任意选择3天共有种方法，其中3天是连续3天的选法有8种，故所求概率为．

【考点】古典概型．

3、（2018•上海高考真题）设常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．若f（x）的反函数的图象经过点（3，1），则a=　　．

【考点】4R：反函数．版权所有

【专题】11 ：计算题；33 ：函数思想；4O：定义法；51 ：函数的性质及应用．

【分析】由反函数的性质得函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），由此能求出a．

【解答】解：∵常数a∈R，函数f（x）=1og2（x+a）．

f（x）的反函数的图象经过点（3，1），

∴函数f（x）=1og2（x+a）的图象经过点（1，3），

∴log2（1+a）=3，

解得a=7．

故答案为：7．

【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

4、（2021年上海高考真题）若代数式的展开式中，的系数为，则________．

【答案】

通项公式为：

因为的系数为，所以令，即

所有，解得

5、（2013·上海·高考真题理科）已知△ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，若，则角C的大小是_______________（结果用反三角函数值表示）

【答案】

【详解】，故．

【考点定位】考查余弦定理及运算，属容易题．

6、（2015·上海·统考高考真题）在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）．

【答案】

【详解】①男女，种；

②男女，种；

③男女，种；

∴一共有种．

故答案为120.

点睛：解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手；(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；

(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．

7、（2017·上海·统考高考真题）已知数列和，其中，，的项是互不相等的正整数，若对于任意，的第项等于的第项，则________

【答案】2

【详解】由，若对于任意的第项等于的第项，

则，则

所以，

所以.

8、（2021年上海高考真题）已知抛物线： ，焦点为，若在抛物线上且在第一象限，，求直线的斜率为________．

【答案】

【法一】由已知得，，

由弦长公式得：

因为在抛物线上且在第一象限

即，

【法二】如图，根据抛物线定义：在中，

 所以

9、（2020年上海高考真题）如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为　　．

【解答】解：由题意得：点坐标为，，点坐标为，

，

当且仅当时，取最小值，

故答案为：．

10、（2016·上海·统考高考真题）设a＞0,b＞0． 若关于x,y的方程组无解，则的取值范围是      ．

【答案】

【详解】试题分析：方程组无解等价于直线与直线平行，所以且．又，为正数，所以（），即取值范围是．

考点：方程组的思想以及基本不等式的应用．

11、（2017·上海·统考高考真题）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点、、、以及四个标记为“”的点在正方形的顶点处，设集合，点，过作直线，使得不在上的“”的点分布在的两侧. 用和分别表示一侧和另一侧的“”的点到的距离之和. 若过的直线中有且只有一条满足，则中所有这样的为________

【答案】、、

【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示；

则记为“▲”的四个点是A（0，3），B（1，0），C（7，1），D（4，4），

线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，

易知EFGH为平行四边形，如图所示；

设四边形重心为M（x，y），

则，

由此求得M（3，2），即为平行四边形EFGH的对角线交于点，

则符合条件的直线一定经过点，

且过点的直线有无数条；

由过点和的直线有且仅有1条，

过点和的直线有且仅有1条，

过点和的直线有且仅有1条，

所以符合条件的点是、、．

故答案为：、、．

12、（2016·上海·统考高考真题）在平面直角坐标系中，已知A（1,0），B（0，−1），P是曲线上一个动点，则的取值范围是_____________.

【答案】

【详解】[方法一]：坐标法

由是曲线上一个动点，可设，

即

又由于，得

从而可得

[方法二]：换元法

由P是曲线上一个动点，不妨设，即，

即

令，

得

又由于，得

从而有

[方法三]：向量法

不妨设，由P是曲线上一个动点，得

由

又由于，得，

从而可得

[方法四]：线性规划法

由P是曲线上一个动点，不妨设，

得

令，得

要求的取值范围，

只要求与圆弧相交的平行线束的y轴截距的取值范围即可，

如图可知，（1）当过点时，

此时平行线束y轴的截距最小，即最小，

（2）当与单位上半圆 相切于点C时，

此时平行线束y轴的截距最大，即最大

故由圆心O到直线的距离等于半径，

得，

求得或（舍），

即

综上所得

[方法五]：几何法

由

得要求的取值范围，只要求的取值范围即可

过点P作BA的垂线PC，交BA的延长线于点C

由，得，即

设：

如图，（1）当直线PC过点D时，最小

由，得：

又由直线:，联立直线的方程，

得此时的C，即

（2）当直线PC与圆弧相切于点P（第一象限）时，最大

即圆心到直线PC的距离，求得或（舍）

即此时的直线PC：

联立方程，得

即此时

综上所得，

从而有

[方法六]：

由题意设, ，则，又，所以，所以的取值范围为.

【考点】平面向量的数量积、三角函数的图象和性质、数形结合的思想

【名师点睛】本题解答时利用数形结合思想，将问题转化到单位圆中，从而转化成平面向量的坐标运算，利用三角函数的图象和性质，得到的取值范围.本题主要考查考生的逻辑推理能力、基本运算求解能力、数形结合思想、转化与化归思想等.

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.

13、（2021年上海高考真题）已知参数方程，则下列曲线方程符合该方程的是（  ）

【答案】

令，

易得函数恒过定点，结合选项易得

14、（2019年上海高考真题）已知平面、、两两垂直，直线、、满足：，，，则直线、、不可能满足以下哪种关系　　

A．两两垂直 B．两两平行 C．两两相交 D．两两异面

【解答】解：如图1，可得、、可能两两垂直；

如图2，可得、、可能两两相交；

如图3，可得、、可能两两异面；

故选：．

15、（2012·上海·高考真题）设，. 在中，正数的个数是（ ）

A．25. B．50. C．75. D．100.

【答案】D

【详解】由于f（n）=sin的周期T=50

由正弦函数性质可知，a1，a2，…，a24＞0，a25=0，a26，a27，…，a49＜0，a50=0

且sin，sin…但是f（n）=单调递减

a26…a50都为负数，但是|a25|＜a1，|a26|＜a2，…，|a49|＜a24

∴  S1，S2，…，S25中都为正，而s26，s27，…，s50都为正

同理S1，S2，…，s75都为正，S1，S2，…，s75，…，s100都为正，

故选D

16、（2016·上海·统考高考真题）设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是

A．①和②均为真命题

B．①和②均为假命题

C．①为真命题，②为假命题

D．①为假命题，②为真命题

【答案】D

【详解】试题分析：

因为，所以,又、、均是以为周期的函数，所以，所以是周期为的函数，同理可得、均是以为周期的函数，②正确；增函数加减函数也可能为增函数，因此①不正确.选D.

【考点】抽象函数、函数的单调性、函数的周期性

【名师点睛】本题主要考查抽象函数的单调性与周期性，是高考常考内容.本题有一定难度.解答此类问题时，关键在于灵活选择方法，如结合选项或通过举反例应用“排除法”等.本题能较好地考查考生分析问题与解决问题的能力、基本计算能力等.

三、解答题（本大题共5小题，满分76分）

17、（2015·上海·统考高考真题）如图，圆锥的顶点为，底面的一条直径为，为半圆弧的中点，为劣弧的中点.已知，，求三棱锥的体积，并求异面直线与所成角的大小.

【答案】

【详解】因为，，

所以三棱锥的体积．

因为，所以异面直线与所成的角就是与的夹角.

在中，，，

过作，则，

在中，，

所以异面直线与所成角的大小.

考点：圆锥的性质，异面直线的夹角.

18、（2011·上海·高考真题）已知函数，其中常数满足.

（1）若，判断函数的单调性；

（2）若，求时的取值范围.

【答案】（1）当时，函数在上是增函数,当时，函数在上是减函数；（2）当时，则；当时，则.

【详解】（1）当时，任意，

则

∵，，

∴，函数在上是增函数,

当时，同理，函数在上是减函数；

（2）

当时，，则；

当时，，则.

19、（2017·上海·统考高考真题）已知函数．

（1）求的单调递增区间；

（2）设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求的面积．

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）利用降次公式化简，然后利用三角函数单调区间的求法，求得的单调递增区间.

（2）由求得，用余弦定理求得，由此求得三角形的面积.

【详解】（1）依题意，由得，令得.所以的单调递增区间.

（2）由于，所以为锐角，即.由，得，所以.

由余弦定理得，，解得或.

当时，，则为钝角，与已知三角形为锐角三角形矛盾.所以.

所以三角形的面积为.

【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查三角函数单调性的求法，考查余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于基础题.

20、（20221年上海高考真题）已知椭圆，是其左右交点，直线过点交于两点，且在线段上，且都在轴上方

（1）若为椭圆的上顶点，且，求的值；

（2）若，且原点到直线的距离为，求直线的方程；

（3）对任意点，是否存在唯一直线，使得成立？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.

【解析】（1）因为是上顶点，则，则，故

（2）

，得

设，则，解得

（3）设，直线

若，则，

联立直线与椭圆得

即

所以

代入，

所以，

，即证

即对于任意，使得的直线有且仅有一条

21、（2014·上海·高考真题）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.

已知数列满足.

（1）若，求的取值范围；

（2）若是公比为等比数列，，求的取值范围；

（3）若成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.

【答案】（1）；（2）；（3）的最大值为1999，此时公差为.

【分析】（1）依题意：，又将已知代入求出x的范围；

（2）先求出通项：，由求出，对q分类讨论求出Sn分别代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn，得到关于q的不等式组，解不等式组求出q的范围．

（3）依题意得到关于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值时a1，a2，…ak的公差．

【详解】（1）依题意：，

∴；又

∴3≤x≤27，

综上可得：3≤x≤6

（2）由已知得，，，

∴，

当q＝1时，Sn＝n，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，成立．

当1＜q≤3时，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，

∴

不等式

∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0恒成立，

而对于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n＝1，

得q2﹣3q+2≤0，

解得1≤q≤2，又当1≤q≤2，q﹣3＜0，

∴qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，

∴1＜q≤2，

当时，

，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，

∴此不等式即，

3q﹣1＞0，q﹣3＜0，

3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，

qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）＞0

∴时，不等式恒成立，

∴q的取值范围为：．

（3）设a1，a2，…ak的公差为d．由，且a1＝1，

得

即

当n＝1时，d≤2；

当n＝2，3，…，k﹣1时，由，得d，

所以d，

所以1000＝k，即k2﹣2000k+1000≤0，

得k≤1999

所以k的最大值为1999，k＝1999时，a1，a2，…ak的公差为．

【点睛】本题考查等比数列的通项公式及前n项和的求法；考查不等式组的解法；找好分类讨论的起点是解决本题的关键，属于一道难题．