中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习十一（含答案）

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中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习十一1.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2交x轴于点A(﹣3，0)和点B(1，0)，交y轴于点C．已知点D的坐标为(﹣1，0)，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD．(1)求这个抛物线的表达式．(2)点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值．(3)①点M在平面内，当△CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，求出满足条件的所有点M的坐标；②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，求出满足条件的所有点N的坐标．      2.如图，已知直线y＝x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．(1)求抛物线的表达式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．      3.如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘AB在x轴上，且AB＝8dm，外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为y轴，高度OC＝8dm．现计划将此余料进行切割：(1)若切割成正方形，要求一边在底部边缘AB上且面积最大，求此正方形的面积；(2)若切割成矩形，要求一边在底部边缘AB上且周长最大，求此矩形的周长；(3)若切割成圆，判断能否切得半径为3dm的圆，请说明理由．      4.在平面直角坐标系中，二次函数y=mx2﹣(m＋n)x＋n(m＜0)的图象与y轴正半轴交于A点．(1)求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点；(2)设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO=45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式；(3)在(2)的条件下，设M(p，q)为二次函数图象上的一个动点，当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围．      5.已知抛物线y=a(x﹣2)2+c经过点A(2，0)和C(0，)，与x轴交于另一点B，顶点为D．(1)求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；(2)如图，点E，F分别在线段AB，BD上(E点不与A，B重合)，且∠DEF=∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；(3)若点P在抛物线上，且=m，试确定满足条件的点P的个数．      6.如图，抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点A和点B(1，0)，与y轴交于点C(0，3)，其对称轴I为x=﹣1．(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；(2)若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴I上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．       7.如图1，抛物线y=ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴、y轴分别交于点A(﹣1，0)、B(3，0)、点C三点．(1)试求抛物线的解析式；(2)点D(2，m)在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；(3)如图2，在(2)的条件下，将△BOC沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD重叠的面积记为S，设平移的时间为t秒，试求S与t之间的函数关系式？       8.定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“伴随函数”．(1)函数y＝x＋1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 　    　，函数y＝(x﹣2)2＋1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为 　       　；(2)已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点P(m，3)互为“伴随函数”．若当m＜x＜7时，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围；(3)已知点A(0，1)，点B(4，1)，点C(2，0)，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a(a＞0)与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a(a＞0)与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．      
0.中考数学三轮冲刺《二次函数压轴题》强化练习十一（含答案）答案解析  一         、综合题1.解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋2交x轴于点A(﹣3，0)和点B(1，0)，∴抛物线的表达式为：y＝a(x＋3)(x﹣1)＝a(x2＋2x﹣3)＝ax2＋2ax﹣3a，即﹣3a＝2，解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x＋2；(2)连接OP，设点P(x，﹣x2﹣x＋2)，∵抛物线y＝﹣x2﹣x＋2交y轴于点C，∴点C(0，2)，则S＝S四边形ADCP＝S△APO＋S△CPO﹣S△ODC＝＝×3×(﹣x2﹣x＋2)＋×2×(﹣x)﹣×2×1＝﹣x2﹣3x＋2，∵﹣1＜0，S有最大值，∴当x＝﹣时，S的最大值为．(3)①如图2，若点M在CD左侧，连接AM，∵∠MDC＝90°，∴∠MDA＋∠CDO＝90°，且∠CDO＋∠DCO＝90°，∴∠MDA＝∠DCO，且AD＝CO＝2，MD＝CD，∴△MAD≌△DOC(SAS)∴AM＝DO，∠MAD＝∠DOC＝90°，∴点M坐标(﹣3，1)，若点M在CD右侧，同理可求点M'(1，﹣1)；②如图3，∵抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣x＋2＝﹣(x＋1)2＋；∴对称轴为直线x＝﹣1，∴点D在对称轴上，∵MD＝CD＝M'D，∠MDC＝∠M'DC＝90°，∴点D是MM'的中点，∵∠MCD＝∠M'CD＝45°，∴∠MCM'＝90°，∴点M，点C，点M'在以MM'为直径的圆上，当点N在以MM'为直径的圆上时，∠M'NC＝∠M'MC＝45°，符合题意，∵点C(0，2)，点D(﹣1，0)∴DC＝，∴DN＝DN'＝，且点N在抛物线对称轴上，∴点N(﹣1，)，点N'(﹣1，﹣)延长M'C交对称轴与N''，∵点M'(1，﹣1)，点C(0，2)，∴直线M'C解析式为：y＝﹣3x＋2，∴当x＝﹣1时，y＝5，∴点N''的坐标(﹣1，5)，∵点N''的坐标(﹣1，5)，点M'(1，﹣1)，点C(0，2)，∴N''C＝＝M'C，且∠MCM'＝90°，∴MM'＝MN''，∴∠MM'C＝∠MN''C＝45°∴点N''(﹣1，5)符合题意，综上所述：点N的坐标为(﹣1，)或(﹣1，﹣)或(﹣1，5)． 2.解：(1)当x＝0时，y＝4，∴C (0，4)，当y＝0时，x＋4＝0，∴x＝﹣3，∴A (﹣3，0)，∵对称轴为直线x＝﹣1，∴B(1，0)，∴设抛物线的表达式：y＝a(x﹣1)(x＋3)，∴4＝﹣3a，∴a＝﹣，∴抛物线的表达式为：y＝﹣(x﹣1)(x＋3)＝﹣x2﹣x＋4；(2)如图1，作DF⊥AB于F，交AC于E，∴D(m，﹣m2﹣m＋4)，E(m，m＋4)，∴DE＝﹣m2﹣m＋4﹣(m＋4)＝﹣m2﹣4m，∴S△ADC＝DE•OA＝(﹣m2﹣4m)＝﹣2m2﹣6m，∵S△ABC＝8，∴S＝﹣2m2﹣6m＋8＝﹣2(m＋)2＋12.5，∴当m＝﹣时，S最大＝12.5，当m＝﹣时，y＝5，∴D(﹣，5)；(3)设P(﹣1，n)，∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，∴PA＝PC，即：PA2＝PC2，∴(﹣1＋3)2＋n2＝1＋(n﹣4)2，∴n＝，∴P(﹣1，)，∵xP＋xQ＝xA＋xC，yP＋yQ＝yA＋yC∴xQ＝﹣3﹣(﹣1)＝﹣2，yQ＝4﹣＝，∴Q(﹣2，)． 3.解：(1)如图1，由题意得：A(﹣4，0)，B(4，0)，C(0，8)，设抛物线的解析式为：y＝ax2＋8，把B(4，0)代入得：0＝16a＋8，∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2＋8，∵四边形EFGH是正方形，∴GH＝FG＝2OG，设H(t，﹣t2＋8)(t＞0)，∴﹣t2＋8＝2t，解得：t1＝﹣2＋2，t2＝﹣2﹣2(舍)，∴此正方形的面积＝FG2＝(2t)2＝4t2＝4(﹣2＋2)2＝(96﹣32)dm2；(2)如图2，由(1)知：设H(t，﹣t2＋8)(t＞0)，∴矩形EFGH的周长＝2FG＋2GH＝4t＋2(﹣t2＋8)＝﹣t2＋4t＋16＝﹣(t﹣2)2＋20，∵﹣1＜0，∴当t＝2时，矩形EFGH的周长最大，且最大值是20dm；(3)若切割成圆，能切得半径为3dm的圆，理由如下：如图3，N为⊙M上一点，也是抛物线上一点，过N作⊙M的切线交y轴于Q，连接MN，过点N作NP⊥y轴于P，则MN＝OM＝3，NQ⊥MN，设N(m，﹣m2＋8)，由勾股定理得：PM2＋PN2＝MN2，∴m2＋(﹣m2＋8﹣3)2＝32，解得：m1＝2，m2＝﹣2(舍)，∴N(2，4)，∴PM＝4﹣1＝3，∵cos∠NMP＝＝＝，∴MQ＝3MN＝9，∴Q(0，12)，设QN的解析式为：y＝kx＋b，∴，∴，∴QN的解析式为：y＝﹣2x＋12，﹣x2＋8＝﹣2x＋12，x2﹣2x＋4＝0，Δ＝(﹣2)2﹣4××4＝0，即此时N为圆M与抛物线在y轴右侧的唯一公共点，∴若切割成圆，能切得半径为3dm的圆． 4.解：(1)令mx2﹣(m＋n)x＋n=0，则△=(m＋n)2﹣4mn=(m﹣n)2，∵二次函数图象与y轴正半轴交于A点，∴A(0，n)，且n＞0，又∵m＜0，∴m﹣n＜0，∴△=(m﹣n)2＞0，∴该二次函数的图象与轴必有两个交点；(2)令mx2﹣(m＋n)x＋n=0，解得：x1=1，x2=，由(1)得＜0，故B的坐标为(1，0)，又因为∠ABO=45°，所以A(0，1)，即n=1，则可求得直线AB的解析式为：y=﹣x＋1．再向下平移2个单位可得到直线l：y=﹣x﹣1；(3)由(2)得二次函数的解析式为：y=mx2﹣(m＋1)x＋1．∵M(p，q) 为二次函数图象上的一个动点，∴q=mp2﹣(m＋1)p＋1．∴点M关于轴的对称点M′的坐标为(p，﹣q)．∴M′点在二次函数y=﹣m2＋(m＋1)x﹣1上．∵当﹣3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=﹣3时，q=12m＋4；     结合图象可知：﹣(12m＋4)＜2，解得：m＞﹣．∴m的取值范围为：﹣＜m＜0． 5.解：(1)由题意：，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣2)2+3，∴顶点D坐标(2，3)．(2)可能．如图1，∵A(﹣2，0)，D(2，3)，B(6，0)，∴AB=8，AD=BD=5，①当DE=DF时，∠DFE=∠DEF=∠ABD，∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立．②当DE=EF时，又∵△BEF∽△AED，∴△BEF≌△AED，∴BE=AD=5③当DF=EF时，∠EDF=∠DEF=∠DAB=∠DBA，△FDE∽△DAB，∴=，∴==，∵△AEF∽△BCE∴==，∴EB=AD=，答：当BE的长为5或时，△CFE为等腰三角形．(3)如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，PB．设P[n，﹣(n﹣2)2+3]，则S△PBD=S△PBH+S△PDH﹣S△BDH=×4×[﹣(n﹣2)2+3]+×3×(n﹣2)﹣×4×3=﹣(n﹣4)2+，∵﹣＜0，∴n=4时，△PBD的面积的最大值为，∵=m，∴当点P在BD的右侧时，m的最大值=，观察图象可知：当0＜m＜时，满足条件的点P的个数有4个，当m=时，满足条件的点P的个数有3个，当m＞时，满足条件的点P的个数有2个(此时点P在BD的左侧)． 6.解：(1)∵抛物线y=ax2＋bx＋c与x轴交于点A和点B(1，0)，与y轴交于点C(0，3)，其对称轴I为x=﹣1，∴，解得：．∴二次函数的解析式为y=﹣x2﹣2x＋3=﹣(x＋1)2＋4，∴顶点坐标为(﹣1，4)；(2)令y=﹣x2﹣2x＋3=0，解得x=﹣3或x=1，∴点A(﹣3，0)，B(1，0)，作PD⊥x轴于点D，∵点P在y=﹣x2﹣2x＋3上，∴设点P(x，﹣x2﹣2x＋3)①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD即y=﹣x2﹣2x＋3=2，解得x=﹣1(舍去)或x=﹣﹣1，∴点P(﹣﹣1，2)；②∵S四边形BCPA=S△OBC＋S△OAC=2＋S△APC∵S△AOC=4.5，S△OCP=x，S△OAP=|yP|=﹣x2﹣3x＋∴S△APC=S△OAP＋S△OCP﹣S△AOC=x＋(﹣x2﹣3x＋4.5)﹣4.5=﹣x2﹣x=﹣(x﹣)2＋，∴当x=﹣0.5时，S△ACP最大值=，此时M(﹣0.5，﹣)，S四边形PABC最大=．  7.解：(1)将A(﹣1，0)、B(3，0)代入抛物线y=ax2＋bx＋3(a≠0)，，解得：a=﹣1，b=2．故抛物线解析式为：y=﹣x2＋2x＋3．(2)存在将点D代入抛物线解析式得：m=3，∴D(2，3)，令x=0，y=3，∴C(0，3)，∴OC=OB，∴∠OCB=∠CBO=45°，如图，设BP交y轴于点G， ∵CD∥x轴，∴∠DCB=∠BCO=45°，在△CDB和△CGB中：∵∠∴△CDB≌△CGB(ASA)，∴CG=CD=2，∴OG=1，∴点G(0，1)，设直线BP：y=kx＋1，代入点B(3，0)，∴k=﹣，∴直线BP：y=﹣x＋1，联立直线BP和二次函数解析式：，解得：或(舍)，∴P(﹣，)．(3)直线BC：y=﹣x＋3，直线BD：y=﹣3x＋9，当0≤t≤2时，如下图：设直线C′B′：y=﹣(x﹣t)＋3联立直线BD求得F(3﹣t，t)，S=S△BCD﹣S△CC′E﹣S△C′DF=×2×3﹣×t×t﹣×(2﹣t)(3﹣t)整理得：S=﹣t2＋3t(0≤t≤2)．当2＜t≤3时，如图：H(t，﹣3t＋9)，I(t，﹣t＋3)S=S△HIB= [(﹣3t＋9)﹣(﹣t＋3)]×(3﹣t)整理得：S=t2﹣6t＋9(2＜t≤3)综上所述：S=． 8.解：(1)∵两个函数是关于原点O的“伴随函数”，∴两个函数的点分别关于原点中心对称，设函数y＝x＋1上的任一点为(x，y)，则它的对称点为(﹣x，﹣y)，将(﹣x，﹣y)代入函数y＝x＋1得：﹣y＝﹣x＋1，∴y＝x﹣1．函数y＝x＋1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为y＝x﹣1；同理可得，函数y＝(x﹣2)2＋1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为y＝﹣(x＋2)2﹣1，故答案为：y＝x﹣1；y＝﹣(x＋2)2﹣1；(2)如图，当m＜x＜7时，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，∵“伴随函数”的开口方向向下，∴在对称轴的左侧y随自变量x的增大而增大，∴m＜7，同时“伴随函数”的对称轴应与直线x＝7重合或在直线x＝7的左侧，∴m≥，∴m≥4，综上，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，m的取值范围为4≤m＜7；(3)a的取值范围为a＝或a＝或a＞．理由：①当“伴随函数”的顶点在AB上时，如图，∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a(x﹣1)2﹣4a，∴二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为直线x＝1，∵点C(2，0)为对称中心，∴函数N的对称轴为直线x＝3，∴函数N的顶点坐标为(3，1)，∵(3，1)关于点C(2，0)对称的点为(1，﹣1)，∴将(1，﹣1)代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得：a﹣2a﹣3a＝﹣1，∴a＝；②当两个函数的交点在AB上时，如图，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴的交点为(﹣1，0)和(3，0)，∵点C(2，0)为对称中心，∴函数N与x轴的交点为(5，0)和(1，0)，∴函数N的解析式为y＝﹣ax2＋6ax﹣5a，当y＝1时，，解得：a＝；③当“伴随函数”经过点B时，如图，∵点B(4，1)，∴1＝﹣a×16＋6a×4﹣5a，解得：a＝．综上，图形W与线段AB恰有2个公共点，a的取值范围为a＝或a＝或a＞．