必刷卷01——【高考三轮冲刺】2023年高考数学考前20天冲刺必刷卷（上海专用）（原卷版+解析版）

绝密★启用前

2023年高考数学考前信息必刷卷01

上海专用

上海地区考试题型按往年惯例为12（填空题）+4（单选题）+5（解答题），导数和统计学中的随机变量分布、成对数据的统计分析是新教材新增加的内容。

原来的考查学生的思维模式、能力方式改变不会太大；如压轴题（选填题+解答题）的函数、数列等方面的抽象思维能力；解答题中数学在实际生活中的运用能力，或者说是学生阅读提炼信息的能力。

     新增加的导数内容很大可能作为学生多一项数学技能或者解题方法来运用到原来的主要考查能力方面的内容中。

1.导数应用在解答题中实际应用题和相关选填题，既体现了新高考的“新”，又不会使整个试卷的模式发生很大变化。

2.新增加的统计学内容很大概率出现在选填中，解答题的实际应用也有可能（概率较小）。

3.压轴题依然是考查学生的思维抽象能力，综合应用能力等，主要有抽象函数、数列；新定义函数、数列；还有类似的圆锥曲线、平面向量、基本不等式等。

2023年高考数学考前信息必刷卷01

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

一、填空题

1．已知集合，若，则的最大值为________.

【答案】

【分析】根据已知集合运算结果得出的取值范围，即可得出答案.

【解析】因为，

所以，即的最大值为1.

故答案为：1.

2．对数函数的图象经过点，则的解析式为______.

【答案】

【分析】设对数函数，根据图象过点即可求解.

【解析】设对数函数，

因为对数函数的图象经过点，

所以，则，解得：，因为，所以.

所以函数解析式为：，

故答案为：.

3．已知向量，，若，则__．

【答案】##0.25

【分析】根据两向量的平行关系得出方程，即可求出的值.

【解析】由题意，

，，，

则，

∴.

故答案为：或0.25.

4．随机变量的分布列如下列表格所示，其中为的数学期望，则__________.

【答案】0

【分析】根据离散型随机变量的分布列的数学期望公式求解即可.

【解析】根据概率的性质可得解得，

所以，

所以.

故答案为:0.

5．已知函数是奇函数，则____.

【答案】##

【分析】由辅助角公式得，再根据余弦函数的性质求解即可.

【解析】解：，

因为函数是奇函数，

所以，解得，

因为，

所以，

故答案为：

6．已知，则，的值域为__________.

【答案】

【分析】解集合D中的不等式，得x的取值范围，求函数的值域.

【解析】因为，所以且，所以，，

又因为在上单调递增，故值域为.

故答案为：.

7．2022年11月30日，神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组首次实现“太空会师”．若执行下次任务的3名航天员有一人已经确定，现需要在另外2名女性航天员和2名男性航天员中随机选出2名，则选出的2名航天员中既有男性又有女性的概率为__________．

【答案】

【分析】利用古典概型的概率公式计算即可求解.

【解析】由题意可得：在2名女性相航天员和2名男性航天员中选择2名航天员，共有种选法；

则选出的2名航天员中既有男性航天员又有女性航天员的选法为种，

所以概率，

故答案为：.

8．如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，若，则球的表面积为__________.

【答案】

【分析】正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，则棱锥的高等于球的半径，由此可由棱锥体积求得球的半径，从而得球的表面积．

【解析】设球的半径为，

∵正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，

∴球心是正方形对角线交点，是棱锥的高，设球半径为，则，，，，

所以球的表面积为.

故答案为：．

9．记为数列的前项和，为数列的前项积，已知，则的通项公式为______.

【答案】

【分析】由题意可得，利用及等差数列的定义求出的通项公式，进而可得，再利用当时求解即可.

【解析】由已知可得，且，，

当时，由得,

由于为数列的前项积，所以，，

所以，

又因为，所以，即，其中，

所以数列是以为首项，以为公差等差数列，

所以，，

当时，，

当时，，

显然对于不成立，

所以，

故答案为：

10．已知点，点是双曲线的右焦点，点是双曲线右支上一动点，则当的周长取得最小时的面积为__________;

【答案】

【分析】先求得左焦点的坐标，根据双曲线的定义求得的周长，根据直线的方程和双曲线方程，求得点的纵坐标，进而求得的面积.

【解析】双曲线，，

右焦点，设其左焦点为，

则，

当且仅当三点共线时等号成立，此时在第一象限，

此时直线的方程为，

由，以及点在第一象限，可得点P的纵坐标，

所以.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：求解双曲线上的点到焦点和定点的距离的和差的最值，可以通过双曲线的定义进行转化，转化为三点共线等情况来求解最值.求三角形的面积，可利用三角形的面积公式直接求解，也可以利用割补法来进行求解.

11．若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】采用分离参数法，可得，再令，对函数求导，利用函数单调性，可知在上单调递减，在上单调递增，根据最小值和单调区间，作出函数的图象，利用数形结合，即可求出结果.

【解析】解：令

则，

令，

则由知，

在上单调递减，在上单调递增

且，，.

，，

，

作出函数的图像，如下图所示：

所以函数在上有两个零点，则实数的取值范围为.

故答案为：.

12．在上非严格递增，满足，若存在符合上述要求的函数及实数，满足，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】根据题意整理可得：对，则，分类讨论的取值范围，分析运算.

【解析】∵，即

对，则

，

故对，则，

∵，则有：

1.当时，则，

可得，不成立；

2.当时，则，

可得，则，

若，解得，符合题意；

特别的：例如，取，则，解得；

例如，取，则，解得；

故；

3.当时，则，

可得，不成立；

4.当时，则，

可得，则，

若，解得，符合题意；

特别的：例如，取，则；

例如，取，则；

故；

5.当时，则，

可得，不成立；

综上所述：的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：

（1）对，结合累加法求得；

（2）对于分段函数，一般根据题意分类讨论，本题重点讨论与的大小关系；

（3）对特殊函数的处理，本题可取和.

二、单选题

13．若是关于的实系数方程的一个复数根，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】把代入方程，整理后由复数相等的定义列方程组求解.

【解析】由题意1i是关于的实系数方程

∴，即

∴，解得.

故选：D．

14．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且，点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是（    ）

A． B．平面平面ABN

C．直线GB与AM是异面直线 D．直线GB与平面AMD无公共点

【答案】D

【分析】根据给定条件，证明判断A；利用线面、面面平行的判定推理判断B；取DM中点O，证得四边形是梯形判断CD作答.

【解析】因为平面ABCD，平面ABCD，则，

取的中点，连接，如图，点G为MC的中点，

则，且，于是四边形是平行四边形，

，在正方形中，，则，

因此四边形为平行四边形，，而，点G为MC的中点，

有，所以，A正确；

因为，平面，平面，则平面，

又，平面，平面，则平面，

而平面，所以平面平面ABN，B正确；

取DM中点O，连接，则有，即四边形为梯形，

因此直线必相交，而平面AMD，于是直线GB与平面AMD有公共点，D错误；

显然点平面，点平面，直线平面，点直线，所以直线GB与AM是异面直线，C正确.

故选：D

【点睛】结论点睛：经过平面内一点和外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线.

15．若在曲线上，若存在过的直线交曲线于点，交直线于点，满足或，则称点为“点”，那么下列结论中正确的是（     ）

A．曲线上所有点都是点

B．曲线上仅有有限多个点是点

C．曲线上所有点都不是点

D．曲线上有无穷多个点（但不是全部）是点

【答案】D

【分析】设出 , 利用相似三角形求得和的关系, 设出的方程与椭圆方程联立求得的表达式, 利用判别式大于0求得和的不等式关系, 最后联立①②③求得的范围, 进而通过时, , 故此时不存在点, 进而求得点的横坐标取值范围, 判断出题设的选项.

【解析】解：由题意，、的位置关系对称，

于是不妨设此时.

由相似三角形，即: ①

设，与椭圆联立方程组， 消得 解得②

，③

联立①②③，得，而，

即，即1，

而当时，，故此时不存在点又因为的位置可以和互换 （互换后即，所以点的横坐标取值为.

故选:D.

【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系问题. 解题的关键是求得 点的横坐标取值范围.属于较难题.

16．已知直线上有两点，,且，已知若，且,满足，则这样的点 A个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】设和的夹角为，由已知条件可得出 或，由正弦定理可得外接圆的半径为，由此可以求出圆心到直线的距离为 ，进而推出外接圆圆心所在直线的方程，由圆心到原点的距离也是半径，可以求出圆心的个数，一个圆心对应一个点，从而可以求出点的个数.

【解析】因为直线上有两点，，且，

设和的夹角为，则，，，

，,

所以即转化为，

因为，

所以，解得：，

因为，所以或，

若，由正弦定理可得外接圆的半径为，

设外接圆的圆心为，则到直线的距离为 ，

所以圆心在与直线平行且距离为的两条平行直线，上，且到原点的距离为，

原点到直线的距离为 ，

所以直线上面不存在这样的点，

原点到直线的距离为 ，

所以直线上存在两个这样的点到原点的距离为，

一个点对应一个点，所以这样的点有2个，

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题的关键是即转化为，利用数量积的定义求出和的夹角或，

弦长为定值，所对角为定值，所以有确定的外接圆，每一个外接圆对应一个点，利用弦心距、弦长的一半、半径满足勾股定理，求出圆心到直线的距离为，可以判断圆心在与直线平行且距离为的两条平行直线，利用圆心到两条平行线的距离与比较即可确定点的个数，进而得点的个数，属于难题.

三、解答题

17．已知四棱锥的底面为菱形，且，，与相交于点．

(1)求证：底面；

(2)求直线PB与平面PCD所成角的大小的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）欲证明一条直线垂直于一个平面，只需证明该直线垂直于平面内两条相交的直线即可；

（2）建立空间直角坐标系，用空间向量的数量积计算.

【解析】（1） ， 是等腰三角形，O是BD的中点， ，

同理 ，又 平面ABCD， 平面ABCD，

平面ABCD；

（2） 四边形ABCD是菱形， ，以O为原点，直线BD为x轴，AC为y轴，PO为z轴，建立空间直角坐标系如下图：

则有： ， ，

， ，

设平面PCD的一个法向量为 ，则有 ，即 ，

令 ，则 ， ，

设直线PB与平面PCD的夹角为 ，则 ；

综上，直线PB与平面PCD的夹角的正弦值为 .

18．已知，将的图象向右平移个单位后，得到的图象，且的图象关于对称．

(1)求；

(2)若的角所对的边依次为，外接圆半径为，且，若点为边靠近的三等分点，试求的长度．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据三角恒等变换可得，由正弦型函数的图象变换可得，根据正弦型函数的对称性即可求解；

（2）由可得，根据正弦定理可求，从而可求，在中利用余弦定理可求与，在中利用余弦定理即可求.

【解析】（1），，

因为的图象关于对称，所以，

所以.

又，所以；

（2），因为，

所以或，

所以或.

因为，所以，

在中，由正弦定理得，

因为点为边靠近的三等分点，所以，

由余弦定理得，即，解得，

所以，

在中，由余弦定理得

，所以．

19．疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在万元至万元（包括万元和万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款（万元）随企业原纳税额（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额（万元）的．经测算政府决定采用函数模型（其中为参数）作为补助款发放方案．

（1）判断使用参数是否满足条件，并说明理由；

（2）求同时满足条件①、②的参数的取值范围．

【答案】（1）当时不满足条件②，见解析（2）

【分析】（1）因为当时，，所以不满足条件② ；

（2）求导得：，当时，满足条件①；当时，在上单调递增，所以.由条件②可知，，即，等价于在上恒成立，问题得解.

【解析】（1）因为当时，，所以当时不满足条件② .

（2）由条件①可知，在上单调递增，

所以当时，满足条件；

当时，由可得

当时，单调递增，

，解得，

所以

由条件②可知，，即不等式在上恒成立，

等价于

当时，取最小值

综上，参数的取值范围是．

【点睛】本题考查了导数求函数单调性以及恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题.

20．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，、分别为左、右焦点，椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且.

(1)求椭圆方程；

(2)对于轴上的某一点，过作不与坐标轴平行的直线交椭圆于、两点，若存在轴上的点，使得对符合条件的恒有成立，我们称为的一个配对点，求证：点是左焦点的配对点；

(3)根据（2）中配对点的定义，若点有配对点，试问：点和点的横坐标应满足什么关系，点的横坐标的取值范围是什么？并说明理由.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)，的取值范围是

【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆方程.

（2）设，设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，通过计算来证得结论成立.

（3）根据求得的取值范围，设出直线的方程并与椭圆方程联立，化简写出根与系数关系，由求得与的关系.

【解析】（1）由于椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，且，

所以，解得，

所以椭圆方程为.

（2）由（1）得，由于在椭圆内，

所以，过且与坐标轴不平行的直线与椭圆必有两个交点，

设此时直线的方程为，

由消去并化简得，

设，则，

设，

所以

，

所以，所以，

所以点是左焦点的配对点.

（3）依题意，点有配对点，

设直线的方程为，由于，

所以必须在之间，而在椭圆上，结合椭圆的对称性以及直线与坐标轴不平行，

可知的取值范围是.

此时在椭圆的内部，直线必与椭圆有两个交点，

由消去并化简得，

设，则，

由于，所以，

即

，

所以.

【点睛】在圆锥曲线中，求解角度相等的题（），可转化为斜率问题来进行求解，联立直线的方程和圆锥曲线的方程，化简写出根与系数关系后的解题关键点一个是运算要准确，另一个是利用方程的思想来进行求解.

21．设是定义在上的函数，若对任何实数以及、恒有成立，则称为定义在上的下凸函数．

(1)试判断函数，是否为各自定义域上的下凸函数，并说明理由；

(2)若是下凸函数，求实数的取值范围；

(3)已知是上的下凸函数，是给定的正整数，设，，记，对于满足条件的任意函数，试求的最大值．

【答案】(1)是下凸函数，不是下凸函数，理由见解析

(2)

(3)

【分析】（1）利用下凸函数的定义结合作差法判断可得出结论；

（2）利用下凸函数的定义结合作差法可得出，由此可求得实数的取值范围；

（3）对任意，，取，，，利用下凸函数的定义可得出，取可使得成立，即可求得的最大值.

【解析】（1）解：是下凸函数，证明如下：

对任意实数、及，

有

．

即，所以是下凸函数．

不是下凸函数，理由如下：

取，，，

则．

即．

所以不是下凸函数．

（2）解：是下凸函数，则对任意实数、及，

有

．

即当时，；

当时，，当且仅当时，等号成立，不合乎题意.

所以当时，是下凸函数．

（3）解：当且，对任意，，取，，．

因为是上的下凸函数，令，且，，

所以．

那么．

由（1）可知是下凸函数，且使得都成立，

此时；

当时，，合乎题意.

综上所述，的最大值为．

【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义“下凸函数”，本题第3问求的最大值时，除了利用下凸函数的定义推导出，还应找出相应的下凸函数使得，才能使得的最大值能取到.