2023年中考数学二轮复习专题训练——反比例函数与三角形(含答案)

这是一份2023年中考数学二轮复习专题训练——反比例函数与三角形(含答案)，共38页。试卷主要包含了定义等内容，欢迎下载使用。
2023年中考数学二轮复习——反比例函数与三角形
1．已知反比例函数y＝ (m为常数)的图像在第一、三象限．
(1)求m的取值范围．
(2)如图，若该反比例函数的图像经过▱ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为(0，3)，(－2，0)．
①求出该反比例函数的表达式；
②设P是该反比例函数图像上的一点，若OD＝OP，则点P的坐标为________________；若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P有________个．

2．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A，B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．
（1）求k的值；
（2）设直线PA，PB与x轴分别交于点M，N，求证：△PMN是等腰三角形；
（3）设点Q是反比例函数图象上位于P，B之间的动点（与点P，B不重合），连接AQ，BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．

3．如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC，∠ABC=90°，顶点A在第一象限，B，C在x轴的正半轴上（C在B的右侧），BC=2，AB=2，△ADC与△ABC关于AC所在的直线对称．
（1）当OB=2时，求点D的坐标；
（2）若点A和点D在同一个反比例函数的图象上，求OB的长；
（3）如图2，将第（2）题中的四边形ABCD向右平移，记平移后的四边形为A1B1C1D1，过点D1的反比例函数y=（k≠0）的图象与BA的延长线交于点P．问：在平移过程中，是否存在这样的k，使得以点P，A1，D为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的k的值；若不存在，请说明理由．

4．定义：点P是△ABC内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA中，若至少有一个三角形与△ABC相似，则称点P是△ABC的自相似点．
例如：如图1，点P在△ABC的内部，∠PBC=∠A，∠PCB=∠ABC，则△BCP∽△ABC，故点P为△ABC的自相似点．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
在平面直角坐标系中，点M是曲线C：上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点．
（1） 如图2，点P是OM上一点，∠ONP=∠M，试说明点P是△MON的自相似点； 当点M的坐标是，点N的坐标是时，求点P的坐标；
（2） 如图3，当点M的坐标是，点N的坐标是时，求△MON的自相似点的坐标；
（3） 是否存在点M和点N，使△MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由．

5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=的图象交于点A（﹣1，n）．

（1）求反比例函数y=的解析式；
（2）若P是x轴上一点，且△AOP是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）结合图象直接写出不等式+2x＞0的解集为 ．
6．在一次数学活动课上，两个同学利用计算机软件探索函数问题，下面是他们交流片断：
图1：小韩：若直线x=m（m＞0）分别交x轴，直线y=x和y=2x于点P、M、N时，有=1．
图2：小苏：若直线x=m（m＞0）分别交x轴，双曲线 y=（x＞0）和y=（x＞0）于点P、M、N时，有=…
问题解决

（1）填空：图2中，小苏发现的= ；
（2）若记图1，图2中MN为d1，d2，分别求出d1，d2与m之间的函数关系式．并指出函数的增减性；
（3）如图3，直线x=m（m＞0）分别交x轴，抛物线y=x2-4x和y=x2-3x于点P，M，N，设A，B为抛物线y=x2-4x，y=x2-3x与x轴的非原点交点．当m为何值时，线段OP，PM，PN，MN中有三条能围成等边三角形？并直接写出此时点A，B，M，N围成的图形的面积．
7．如图，双曲线y=经过点A（1，2），过点A作y轴的垂线，垂足为B，交双曲线y=﹣于点C，直线y=m（m≠0）分别交双曲线y=﹣、y=于点P、Q．

（1）求k的值；
（2）若△OAP为直角三角形，求点P的坐标；
（3）△OCQ的面积记为S△OCQ，△OAP的面积记为S△OAP，试比较S△OCQ与S△OAP的大小（直接写出结论）．
8．已知反比例函数和一次函数y=2x﹣1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+2，b+k）两点．
（1）求：反比例函数的解析式．
（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两函数的图象上．求点A的坐标．

（3）利用（2）的结果，问在x轴上是否存在点P，使得△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标直接写出来；若不存在，说明理由．
9．如图，P1是反比例函数在第一象限图象上的一点，已知△P1O A1为等边三角形，点A1的坐标为(2，0)．

（1）直接写出点P1的坐标；
（2）求此反比例函数的解析式；
（3）若△P2A1A2为等边三角形，求点A2的坐标．
10．如图，将边长为4的等边三角形AOB放置于平面直角坐标系xoy中，F是AB边上的动点（不与端点A、B重合），过点F的反比例函数（k＞0，x＞0）与OA边交于点E，过点F作FC⊥x轴于点C，连结EF、OF．

（1）若S△OCF=，求反比例函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，试判断以点E为圆心，EA长为半径的圆与y轴的位置关系，并说明理由；
（3）AB边上是否存在点F，使得EF⊥AE？若存在，请求出BF：FA的值；若不存在，请说明理由．
11．如图，已知反比例函数图象过第二象限内的点，轴于，面积为3，若直线经过点，并且经过反比例函数的图象上另一点，

(1)反比例函数的解析式为　　，　　，　　；
(2)求直线的解析式；
(3)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，说明理由
12．已知：一次函数的图象与反比例函数（）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．
（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；
（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交于另一点C，连接BC交y轴于点D．若，求△ABC的面积．

13．如图，已知反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A（m，﹣2）．
（1）求正比例函数的解析式及两函数图象另一个交点B的坐标；
（2）试根据图象写出不等式≥kx的解集；
（3）在反比例函数图象上是否存在点C，使△OAC为等边三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

14．如图，一次函数与反比例函数的图象交于A（2，1），B（-1，）两点．

（1）求m、k、b的值；
（2）连接OA、OB，计算三角形OAB的面积；
（3）结合图象直接写出不等式的解集．
15．如图①，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sin∠AOB=，反比例函数y=（k＞0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，

（1）若OA=10，求反比例函数解析式；
（2）若点F为BC的中点，且△AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；
（3）在（2）中的条件下，过点F作EF∥OB，交OA于点E（如图②），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO，是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，与正比例函数的图象相交于点C、D（点C在点D的左侧），⊙O是以CD长为半径的圆．CE∥x轴，DE∥y轴，CE、DE相交于点E．
（1）△CDE是 ▲ 三角形；点C的坐标为 ▲ ，点D的坐标为 ▲ （用含有b的代数式表示）；
（2）b为何值时，点E在⊙O上？
（3）随着b取值逐渐增大，直线与⊙O有哪些位置关系？求出相应b的取值范围．
17．如图，在平面直角坐标系中，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，点在第二象限，点在轴负半轴上，点是的中点且反比例函数的图象经过点．
​
(1)求反比例函数的解析式．
(2)若点D是反比例函数的图象与的交点，求点D的坐标．
(3)在（2）的条件下，直接写出的面积．
18．如图，双曲线：与直线在第一象限交于点．

(1)求双曲线与直线的解析式；
(2)曲线 是反比例函数在第四象限的分支，点B是上的一点，且是等腰直角三角形，，求的解析式；
(3)是否在x轴上存在一点P，使的值最大，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

参考答案：
1．（1）m＜；（1）①反比例函数的表达式为y＝.②(3，2)或(－2，－3)或(－3，－2)
【解析】解：(1)由题意知1－2m＞0，解得m＜.
(2)①在▱ABOD中，AD∥BO，AD＝BO.
因为A(0，3)，B(－2，0)，
所以点D的坐标是(2，3)，
所以＝3，
因此1－2m＝6，
所以反比例函数的表达式为y＝.
②∵反比例y＝的图象关于原点中心对称，
∴当点P与点D关于原点对称,则OD=OP,此时P点坐标为(−2,−3)，
∵反比例函数y＝的图象关于直线y=x对称，
∴点P与点D(2,3)关于直线y=x对称时满足OP=OD，
此时P点坐标为(3,2)，
点(3,2)关于原点的对称点也满足OP=OD，
此时P点坐标为(−3,−2)，
综上所述,P点的坐标为(−2,−3),(3,2),(−3,−2)；
由于以D. O、P为顶点的三角形是等腰三角形,则以D点为圆心,DO为半径画弧交反比例函数图象于点P1,P2,则点P1,P2满足条件;以O点为圆心,OD为半径画弧交反比例函数图象于点P3,P4,则点P3,P4也满足条件，如图，作线段OD的垂直平分线，与反比例函数的图象无交点。

【点评】本题考核知识点：反比例函数综合题目.解题关键点：熟记反比例函数性质，数形结合思想的运用.
2．（1）k=4；（2）△PMN是等腰三角形；（3）∠PAQ=∠PBQ，理由见解析.
【解析】分析：
（1）由题意将点B的横坐标代入一次函数中解得对应的y的值可得点B的坐标，把所得点B的坐标代入中即可解得k的值；
（2）如图2，过点P作PH⊥x轴于H，由k的值得到反比例函数的解析式，由所得反比例函数的解析式和一次函数的解析式可求得点A、B的坐标，这样设点P的坐标为，由此解得直线PA、PB的解析式，即可求得用含m的代数式表达的点M和N的坐标，从而可求得用m的代数式表达的MH和NH的长度，得到MH=NH，即可得到PH是线段MN的垂直平分线，从而可得PM=PN，由此即可得到△PMN是等腰三角形；
（3）如图3，设QA和x轴相交于点C，QB和x轴相交于点D，则和（2）同理可得QC=QD，由此可得∠QCD=∠QDC，由（2）中所得的PM=PN可得∠PMN=∠PNM，这样结合对顶角相等和三角形外角的性质即可证得∠PAQ=∠PBQ.
解析：
（1）把x=4代入，可得y=1，
∴到点B的坐标为（4，1），
把点B（4，1）代入，得k=4；
（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．
由（1）可知反比例函数解析式为：，
由 解得： ， ，
∴点A的坐标为（-4，-1），点B的坐标为（4，1），
∵点P在的图象上，
设P的坐标为：，直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q，
把点A、B、P的坐标代入所设解析式可得： 和 ，
由此解得：直线PA的解析式为，直线PB的解析式为，
由此可得：M的坐标为（m-4，0），N的坐标为（m+4，0），
∴H（m，0），
∴MH=m-（m-4）=4，NH=m+4-m=4，
∴MH=NH，
∴PH垂直平分MN，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形；

（3）∠PAQ=∠PBQ．理由如下：
如图3，设QA和x轴相交于点C，QB和x轴相交于点D，则和（2）同理可得QC=QD，
∴∠QCD=∠QDC，
又∵∠QCD=∠MCA，
∴∠MCA=∠QDC，
∵由（2）可知PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM，
又∵∠PMN=∠PAQ+∠MCA，∠PNM=∠QDC+∠DBN，
∴∠PAQ+∠MCA=∠QDC+∠DBN，
又∵∠DBN=∠PBQ，
∴∠PAQ+∠MCA=∠QDC+∠PBQ，
∴∠PAQ=∠PBQ.

点评：这是一道一次函数和反比例函数与几何图形综合的题目，第2、3小题有一定的难度，能作出如图2的辅助线和图3，设出点P、Q的坐标，并由此求得对应的直线PA、PB、QA、QB的解析式，进而求得点M、N、C、D的坐标是解答本题的关键.
3．（1）点D坐标为（5，）；（2）OB=3；（3）k=12．
【解析】分析：（1）如图1中，作DE⊥x轴于E，解直角三角形清楚DE，CE即可解决问题；
（2）设OB=a，则点A的坐标（a，2），由题意CE=1．DE=，可得D（3+a，），点A、D在同一反比例函数图象上，可得2a=（3+a），求出a的值即可；
（3）分两种情形：①如图2中，当∠PA1D=90°时．②如图3中，当∠PDA1=90°时．分别构建方程解决问题即可；
解析：（1）如图1中，作DE⊥x轴于E．

∵∠ABC=90°，
∴tan∠ACB=，
∴∠ACB=60°，
根据对称性可知：DC=BC=2，∠ACD=∠ACB=60°，
∴∠DCE=60°，
∴∠CDE=90°-60°=30°，
∴CE=1，DE=，
∴OE=OB+BC+CE=5，
∴点D坐标为（5，）．
（2）设OB=a，则点A的坐标（a，2），
由题意CE=1．DE=，可得D（3+a，），
∵点A、D在同一反比例函数图象上，
∴2a=（3+a），
∴a=3，
∴OB=3．
（3）存在．理由如下：
①如图2中，当∠PA1D=90°时．

∵AD∥PA1，
∴∠ADA1=180°-∠PA1D=90°，
在Rt△ADA1中，∵∠DAA1=30°，AD=2，
∴AA1==4，
在Rt△APA1中，∵∠APA1=60°，
∴PA=，
∴PB=，
设P（m，），则D1（m+7，），
∵P、A1在同一反比例函数图象上，
∴m=（m+7），
解得m=3，
∴P（3，），
∴k=10．
②如图3中，当∠PDA1=90°时．

∵∠PAK=∠KDA1=90°，∠AKP=∠DKA1，
∴△AKP∽△DKA1，
∴．
∴，
∵∠AKD=∠PKA1，
∴△KAD∽△KPA1，
∴∠KPA1=∠KAD=30°，∠ADK=∠KA1P=30°，
∴∠APD=∠ADP=30°，
∴AP=AD=2，AA1=6，
设P（m，4），则D1（m+9，），
∵P、A1在同一反比例函数图象上，
∴4m=（m+9），
解得m=3，
∴P（3，4），
∴k=12．
点评：本题考查反比例函数综合题、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、解直角三角形、待定系数法等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会了可以参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
4．（1）；（2）或；（3）存在，
【分析】（1）易证点P是△MON的自相似点，过点P作PD⊥x轴于D点根据M、N坐标易知∠MNO=90°，再利用三角函数可求出P点坐标；
（2）根据坐标发现ON=MN=2，要找自相似点只能在∠ONM中做∠ONP=∠OMN或∠MNP=∠MON，分别画出图形，根据图形性质，结合相似可求出自相似点的坐标；
（3）根据前两问可发现，要想有自相似点，其实质就是在大角里面做小角，当三个角都相等时，即△OMN为等边三角形时，不存在自相似点，因此可得到直线OM的解析式y=x，与的交点就是M，从而可以求得N的坐标．
【解析】解：(1)在△ONP和△OMN中，
∵∠ONP=∠OMN，∠NOP=∠MON，
∴△ONP∽△OMN，
∴点P是△MON的自相似点.
过点P作PD⊥x轴于D点．

，
∴，
∵△NOP∽△MON，M的坐标是，点N的坐标是，
∴,
∴，
在Rt△OPN中，，，
∴，
∴；
（2）①如图3，过点M作MH⊥x轴于H点，

∵
∴，
∴直线OM的表达式为，，
∵是△MON的自相似点，
∴△∽△NOM，
过点作⊥x轴于Q点，
∴，
∴的横坐标为1，
∴，
∴；
如图4，

△∽△NOM，
∴，
∴．
∵的纵坐标为，
∴，
∴，
∴．
综上所述，或．
（3）存在点M和点N，使△MON无自相似点，．理由如下：
，

∴△MON是等边三角形，
∵点P在△MON的内部，
∴∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON，
∴存在点M和点N，使△MON无自相似点．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质与判定、解直角三角形及反比例函数，熟练掌握相似三角形的性质与判定、解直角三角形及反比例函数是解题的关键．
5．（1）y=﹣．（2）见解析；（3）﹣1＜x＜0或x＞1．
【解析】试题分析：（1）利用待定系数法即可解决．
（2）分三种情形讨论①A为顶点，②O为顶点，③P为顶点，分别求解即可．
（3）先求出两个函数图象的交点坐标，然后根据图象，反比例函数图象在上面即可解决问题．
解：（1）∵点A（﹣1，n）在一次函数y=﹣2x上，
∴n=2，
∴点A坐标（﹣1，2）
把点A（﹣1，2）代入y=得k=﹣2，
∴反比例函数的解析式为y=﹣．
（2）①当A为等腰三角形顶点时，AO=AP，此时点P坐标为（﹣2，0）．
②当点O为等腰三角形顶点时，OA=0P=，此时点P坐标为（﹣，0）或（，0）
③当点P为等腰三角形顶点时，OA的垂直平分线为：y=x+，y=0时，x=﹣，此时点P坐标（﹣，0）．
（3）不等式+2x＞0，即＞﹣2x，
∵一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=的图象交于点A（﹣1，2），B（1.2）
∴由图象可知﹣1＜x＜0或x＞1．
故答案为﹣1＜x＜0或x＞1．

6．（1）；（2）d1=m，d2=，函数d2为m为减函数；（3）当m=2时，S=3；当m=5时，S=7.5．
【解析】试题分析：（1）把当x=m分别代入反比例函数的解析式，求出M点的纵坐标和N点的纵坐标，进而求出MN的长，则值可求出；
（2）当x=m时，则M点的纵坐标为m，N点的纵坐标为2m，进而求出MN的长，d1可求，同理可求出d2，利用反比例函数的增减性即可做出判断；
（3）由函数的解析式分别求出PM，PN，MN的长，根据等边三角形的性质：三边相等即可求出m的值，利用梯形的性质即可求出其面积．
试题解析：（1）当x=m时，
则M点的纵坐标为，N点的纵坐标为，
所以MN=-=，
∴=；
（2）当x=m时，则M点的纵坐标为m，N点的纵坐标为2m，
∴MN=2m-m=m，
即d1=m，
当x=m时，则M点的纵坐标为，N点的纵坐标为，
∴MN=-=，
∴d2=，
∵m＞0，
∴函数d2为m为减函数；
（3）∵OP=m，PM=|4m-m2|=m|4-m|，PN=|3m-m2|=m|3-m|，MN=|m|，
由题意，得m|4-m|=m或m|3-m|=m，
解得m=5，或m=3（不合题意），或m=4（不合题意），或m=2，
当m=2时，S=3；当m=5时，S=7.5．
考点：反比例函数综合题．
7．（1）2；（2）见解析；（3）见解析
【解析】试题分析：（1）直接把点A（1，2）代入双曲线y=，求出k的值即可；
（2）设P（﹣，m），再分∠AOP=90°，∠OAP=90°及∠APO=90°三种情况进行讨论；
（3）根据A（1，2）可得出C（﹣9，2），设P（﹣，m），则Q（，m），分别过点A、Q、P、C作x轴的垂线，垂足分别为M、N、K、H，再由反比例函数图象上点的坐标特点得出△AOM，△QON，△COH与△POK的面积，根据S△OCQ=S梯形CHNQ﹣S△COH﹣S△POK，S△OAP=S梯形AMKP﹣S△AOM﹣S△POK即可得出结论．
解：（1）∵双曲线y=经过点A（1，2），
∴k=1×2=2；
（2）设P（﹣，m），
∵A（1，2），
∴OA2=12+22=5，AP2=（1+）2+（2﹣m）2，OP2=（）2+m2，
当∠AOP=90°时，
∵OA2+OP2=AP2，即5+（）2+m2=（1+）2+（2﹣m）2，解得m=±3，
∴P1（﹣6，3），P2（6，﹣3）；
当∠OAP=90°时，
∵OA2+AP2=OP2，即5+（1+）2+（2﹣m）2=（）2+m2，解得m=，
∴P3（，），P4（，）；
当∠APO=90°时，此种情况不存在；
（3）∵A（1，2），
∴C（﹣9，2）．
设P（﹣，m），则Q（，m），
分别过点A、Q、P、C作x轴的垂线，垂足分别为M、N、K、H，
∵点A、Q在反比例函数y=的图象上，
∴S△AOM=S△QON=1．
∵点C、P在反比例函数y=﹣的图象上，
∴S△COH=S△POK=9．
S△OCQ=S梯形CHNQ﹣S△COH﹣S△POK，S△OAP=S梯形AMKP﹣S△AOM﹣S△POK，
∴S△OCQ﹣S△OAP=S梯形CHNQ﹣S梯形AMKP，
∵梯形CHNQ与梯形AMKP的上底与下底相同，
∴只要比较HN与KM的大小即可，
∵HN﹣KM=（9+）﹣（1+）=8﹣，
∴当m=±2时，HN=KM，即S△OCQ=S△OAP；
当m＞2或m＜﹣2时，8﹣＞0，即S△OCQ＞S△OAP；
当﹣2＜m＜2时，8﹣＜0，即S△OCQ＜S△OAP．

考点：反比例函数综合题．
8．（1）y=；（2）（1，1）；（3）存在，满足条件的点P坐标为（ 1，0）、（2，0）、（，0）、（﹣，0）．
【解析】试题分析：（1）先把（a，b）、（a+2，b+k）代入y=2x﹣1得到，然后结果代数式变形可解得k=4，则可确定反比例函数解析式；
（2）把一次函数与反比例函数解析式组成方程组，再解方程组可确定A点坐标；
（3）先利用勾股计算出OA=，过A点作AP1⊥x轴，则△OAP1为等腰三角形；作点O关于AP1的对称点P2，则△OAP2为等腰三角形；以O点为圆心，OA为半径画弧交x轴与P3，P4，则△OAP3、△OAP4为等腰三角形；然后利用线段长分别确定各点坐标．
解：（1）把（a，b）、（a+2，b+k）代入y=2x﹣1得，解得k=4，
所以反比例函数解析式为y=；
（2）解方程组得或，
∵A点在第一象限，
∴点A的坐标为（1，1）；
（3）存在．
OA==，
满足条件的点P坐标为（ 1，0）、（2，0）、（，0）、（﹣，0）．

考点：反比例函数综合题．
9．（1）P1(1，)；（2）；（3）（,0）.
【解析】试题分析：（1）由于△P1OA1为等边三角形，作P1C⊥OA1，垂足为C，由等边三角形的性质及勾股定理可求出点P1的坐标；
（2）根据点P1是反比例函数y=（k＞0）图象上的一点，利用待定系数法求出此反比例函数的解析式；
（3）作P2D⊥A1A2，垂足为D．设A1D=a，由于△P2A1A2为等边三角形，由等边三角形的性质及勾股定理，可用含a的代数式分别表示点P2的横、纵坐标，再代入反比例函数的解析式中，求出a的值，进而得出A2点的坐标．
试题解析：（1）P1(1，)；
（2）∵P1在反比例函数（＞0）图象上，∴,
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（3）设等边三角形P2 A1 A2的边长为a(a＞0)，则A2（2+a,0）.
如图，过P2作P2H⊥x轴，垂足为点H.

∴A1H=a，P2H= P2 A1sin∠P2A1H=a·sin600=,
∴P2(2+a,).
∵ P2在反比例函数图象上，∴=，
即，解得：，（舍去）
∴2+a=,∴A2（,0）
考点: 反比例函数综合题.
10．（1）反比例函数解析式为（x＞0）；（2）以E为圆心，EA垂为半径的圆与y轴相离，理由见解析；（3）存在，BF：AF=1：4．
【分析】（1）设F（x，y），得到OC=x与CF=y，表示出三角形OCF的面积，求出xy的值，即为k的值，进而确定出反比例解析式．
（2）过E作EH垂直于x轴，EG垂直于y轴，设OH为m，利用等边三角形的性质及锐角三角函数定义表示出EH与OE，进而表示出E的坐标，代入反比例解析式中求出m的值，确定出EG，OE，EH的长，根据EA与EG的大小关系即可对于圆E与y轴的位置关系作出判断．
（3）过E作EH垂直于x轴，设FB=x，利用等边三角形的性质及锐角三角函数定义表示出FC与BC，进而表示出AF与OC，表示出AE与OE的长，得出OE与EH的长，表示出E与F坐标，根据E与F都在反比例图象上，得到横纵坐标乘积相等列出方程，求出方程的解得到x的值，即可求出BF与FA的比值．
【解析】解：设F（x，y），（x＞0，y＞0），则OC=x，CF=y，
∴S△OCF=xy=，即xy=2．
∴k=2．
∴反比例函数解析式为（x＞0）．
解：该圆与y轴相离，理由如下：
过点E作EH⊥x轴，垂足为H，过点E作EG⊥y轴，垂足为G，

在△AOB中，OA=AB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°，
设OH=m，则，
∴EH=m，OE=2m．
∴E坐标为（m，m），
∵E在反比例图象上，
∴．
∴m1=，m2=-（舍去）．
∴OE=2，EA=4﹣2，EG=OH=．
∵4﹣2＜，
∴EA＜EG．
∴以E为圆心，EA垂为半径的圆与y轴相离．
（3）存在．
假设存在点F，使AE⊥FE，
过E点作EH⊥OB于点H，设BF=x．

∵△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=4，∠AOB=∠ABO=∠A=60°．
∴BC=FB•cos∠FBC=x，FC=FB•sin∠FBC=x，
∴AF=4﹣x，OC=OB﹣BC=4﹣x．
∵AE⊥FE，
∴AE=AF•cosA=2﹣x．
∴OE=OA﹣AE=x+2．
∴OH=OE•cos∠AOB=x+1，EH=OE•sin∠AOB=x+．
∴E（x+1，x+），F（4﹣x，x）．
∵E、F都在反比例函数的图象上，
∴（x+1）（x+）=（4﹣x）•x．解得：x1=4，x2=．
当BF=4时，AF=0，BF：AF不存在，舍去．
当BF=时，AF=，BF：AF=1：4．
【点评】本题是一道综合性很强的压轴题，考查了反比例函数的图象和性质，圆的相关性质，解直角三角形的应用等，解题的关键是要数形结合，熟练掌握相关性质并灵活运用．
11．(1)，3，4
(2)
(3)；；；

【分析】（1）根据的几何意义得到，解得或，再根据反比例函数图象的位置得到，则反比例函数的解析式为，然后分别把、代入可计算出、的值；
（2）由和，利用待定系数法可确定一次函数的解析式；
（3）以为圆心，为半径，交坐标轴于四点，这四点均符合点的要求．以为圆心，为半径，交坐标轴于两点，作的垂直平分线，交坐标轴于两点，因此共有8个符合要求的点．再找到在轴上的点即可．
【解析】（1）面积为3，
，解得或，
而，
，即反比例函数的解析式为，
把代入得，解得，
把代入得，解得；
故答案为，3，4；
（2）把和代入得，解得，
所以一次函数的解析式为；
（3），
，
当时，可得；；
当时，；
当时，可得；
答：存在点使为等腰三角形；点坐标分别为：
；；；．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了观察函数图象的能力以及用待定系数法确定一次函数的解析式．
12．（1），B（1，8）；（2）（﹣4，﹣2）、（﹣16，）；（3）10．
【解析】试题分析：（1）把点A的坐标代入，就可求出反比例函数的解析式；解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点B的坐标；
（2）△PAB是以AB为直角边的直角三角形，分两种情况讨论：①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，求得OE=5，OH=4，AH=2，HE=1．证明△AHM∽△EHA，再根据相似三角形的性质可求出MH，从而得到点M的坐标，然后用待定系数法求出直线AP的解析式，再解直线AP与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点P的坐标；②若∠ABP=90°，同理即可得到点P的坐标；
（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，易证△CTD∽△BSD，根据相似三角形的性质可得．由A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），可得C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，即可得到．由A、B都在反比例函数的图象上可得a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），把代入即可求出a的值，从而得到点A、B、C的坐标，运用待定系数法求出直线BC的解析式，从而得到点D的坐标及OD的值，然后运用割补法可求出S△COB，再由OA=OC可得S△ABC=2S△COB．
试题解析：（1）把A（4，2）代入，得k=4×2=8，∴反比例函数的解析式为，解方程组，得：或，∴点B的坐标为（1，8）；
（2）①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y=﹣2x+10，当y=0时，﹣2x+10=0，解得x=5，∴点E（5，0），OE=5．∵A（4，2），∴OH=4，AH=2，∴HE=5﹣4=1．∵AH⊥OE，∴∠AHM=∠AHE=90°．又∵∠BAP=90°，∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，∴∠MAH=∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴，∴，∴MH=4，∴M（0，0），可设直线AP的解析式为，则有，解得m=，∴直线AP的解析式为，解方程组，得：或，∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）．
②若∠ABP=90°，同理可得：点P的坐标为（﹣16，）．
综上所述：符合条件的点P的坐标为（﹣4，﹣2）、（﹣16，）；
（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，则有BS∥CT，∴△CTD∽△BSD，∴．∵，∴．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10），∴C（﹣a，2a﹣10），CT=a，BS=b，∴=，即．∵A（a，﹣2a+10），B（b，﹣2b+10）都在反比例函数的图象上，∴a（﹣2a+10）=b（﹣2b+10），∴a（﹣2a+10）=（﹣2×+10）．∵a≠0，∴﹣2a+10=（﹣2×+10），解得：a=3．∴A（3，4），B（2，6），C（﹣3，﹣4）．
设直线BC的解析式为，则有，解得：，∴直线BC的解析式为．当x=0时，y=2，则点D（0，2），OD=2，∴S△COB=S△ODC+S△ODB=OD·CT+OD·BS=×2×3+×2×2=5．∵OA=OC，∴S△AOB=S△COB，∴S△ABC=2S△COB=10．

考点：1．反比例函数综合题；2．待定系数法求一次函数解析式；3．反比例函数与一次函数的交点问题；4．相似三角形的判定与性质；5．压轴题．

13．（1）y=2x；B（1，2）
（2）①当x＞0时，2x2≤2，解得0＜x≤1，
②当x＜0时，2x2≥2，解得x≤﹣1；
（3）不存在，见解析
【解析】试题解析：（1）把A（m，﹣2）代入y=，得﹣2=，解得m=﹣1，
∴A（﹣1，﹣2）代入y=kx，
∴﹣2=k×（﹣1），解得，k=2，
∴y=2x，
又由2x=，得x=1或x=﹣1（舍去），
∴B（1，2），
（2）∵k=2，
∴≥kx即为≥kx
①当x＞0时，2x2≤2，解得0＜x≤1，
②当x＜0时，2x2≥2，解得x≤﹣1；
（3）①当点C在第一象限时，△OAC不可能为等边三角形，
②如图，当C在第三象限时，要使△OAC为等边三角形，则|OA|=|OC|，设C（t，）（t＜0），

∵A（﹣1，﹣2）
∴OA=
∴t2+=5，则t4﹣5t2+4=0，
∴t2=1，t=﹣1，此时C与A重合，舍去，
t2=4，t=﹣2，C（﹣2，﹣1），而此时|AC|=，|AC|≠|AO|，
∴不存在符合条件的点C．
考点：1、反比例函数；2、一次函数的交点问题；3、不等式；4、等边三角形
14．（1）m=2，k=1，b=-1；（2）；（3）－1＜x＜0或x＞2．
【解析】试题分析：（1）先由反比例函数上的点A（2，1）求出m，再由点B（﹣1，n）求出n，则由直线经过点A、B，得二元一次方程组，求得m、k、b；
（2）△AOB的面积=△BOC的面积+△AOC的面积；
（3）由图象直接写出不等式的解集．
试题解析：（1）由题意得：，m=2，当x=-1时，，∴B（-1，-2），∴，解得，综上可得，m=2，k=1，b=-1；
（2）如图，设一次函数与y轴交于C点，当x=0时，y=－1，∴C（0，-1），∴；

（3）由图可知，－1＜x＜0或x＞2．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
15．（1）y=（x＞0）
（2）OA=；C（5，）
（3）P1（ ，），P2（﹣，），P3（，），P4（﹣，）．
【解析】（1）过点A作AH⊥OB于H，
∵sin∠AOB=，OA=10，
∴AH=8，OH=6，
∴A点坐标为（6，8），根据题意得：
8=，可得：k=48，
∴反比例函数解析式：y=（x＞0）；
（2）设OA=a（a＞0），过点F作FM⊥x轴于M，
∵sin∠AOB=，
∴AH=a，OH=a，
∴S△AOH=•aa=a2，
∵S△AOF=12，
∴S平行四边形AOBC=24，
∵F为BC的中点，
∴S△OBF=6，
∵BF=a，∠FBM=∠AOB，
∴FM=a，BM=a，
∴S△BMF=BM•FM=a•a=a2，
∴S△FOM=S△OBF+S△BMF=6+a2，
∵点A，F都在y=的图象上，
∴S△AOH=k，
∴a2=6+a2，
∴a=，
∴OA=，
∴AH=，OH=2，
∵S平行四边形AOBC=OB•AH=24，
∴OB=AC=3，
∴C（5，）；
（3）存在三种情况：
当∠APO=90°时，在OA的两侧各有一点P，分别为：P1（ ，），P2（﹣，）
当∠PAO=90°时， P3（，）
当∠POA=90°时，P4（﹣，）．


16．（1）等腰直角；；．（2）时，点E在⊙O上（3）见解析
【分析】（1）∵直线与x轴、y轴相交于点A（－b，0），B（0，b），CE∥x轴，DE∥y轴，
∴△DCE是等腰直角三角形．
解得，或．
∵点C在点D的左侧，∴点C的坐标为，点D的坐标为．
（2）连接OE，过点C作CH⊥x轴于点H．由整个图形是轴对称图形，可求得OE=AC=BD=CD．由△AFC∽△AOB可求得，代入CF、BO关于b的关系式求解即得所求．
（3）讨论直线与⊙O相切时，b的取值即可得到直线与⊙O的位置关系．
当⊙O与直线相切于点G时，连接OG，过点C作CH⊥x轴于点H．由整个图形是轴对称图形，可求得AC=CG=GD=DB，即AC=AB．由△AHC∽△AOB可求得，代入CH、BO关于b的关系式求解即得⊙O与直线相切时相应b的值．从而得到直线与⊙O相离和相交时相应b的取值范围．
【解析】解：（1）等腰直角；；．
（2）当点E在⊙O上时，如图，连接OE．则OE=CD．

∵直线与x轴、y轴相交于点A（－b，0），B（0，b），CE∥x轴，DE∥y轴，
∴△DCE、△BDO是等腰直角三角形．
∵整个图形是轴对称图形，
∴OE平分∠AOB，∠AOE=∠BOE=450．
∵CE∥x轴，DE∥y轴，
∴四边形CAOE、OEDB是等腰梯形．
∴OE=AC=BD．
∵OE=CD，∴OE=AC=BD=CD．
过点C作CF⊥x轴，垂足为点F．
则△AFC∽△AOB．∴．∴．
∴，解得．
∵，∴．
∴当时，点E在⊙O上．
（3）当⊙O与直线相切于点G时，
如图 ，连接OG．

∵整个图形是轴对称图形，
∴点O、E、G在对称轴上．
∴GC=GD=CD=OG=AG．∴AC=CG=GD=DB．∴AC=AB．
过点C作CH⊥x轴，垂足为点H． 则△AHC∽△AOB．
∴．∴．
∴，解得．
∵，∴．
∴当时，直线与⊙O相切；
当时，直线与⊙O相离；
当时，直线与⊙O相交．
17．(1)
(2)
(3)6

【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据题意求得，把代入反比例函数的解析式即可求得点的坐标；
（3）根据反比例函数系数的几何意义求得，然后利用求得即可．
【解析】（1）解：反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为；
（2）点为斜边的中点，，
点坐标为，
把代入得，，
点的坐标为；
（3）连接，
点坐标为，
，
，
，
，
．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，求得的坐标是解题的关键．
18．(1)，
(2)
(3)存在，

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点，点分别作轴，轴，可证，进而求得点，再利用待定系数法求解即可；
（3）作关于轴的对称点，连接，，可得，，则，当，，在同一直线上时取等号，即此时取最大值，亦即此时点为直线与的交点，利用待定系数法求得直线解析式为：，令，求得得，可得．
【解析】（1）解：将点代入，可得，即：，
∴直线的解析式为：，
将点代入，可得，即：，
∴双曲线的解析式为：，
（2）过点，点分别作轴，轴，则，

∵，
∴，，
∵，则
∴，
又∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，，
则，
将点代入，可得，即：，
∴的解析式为；
（3）作关于轴的对称点，连接，，，可得，

则，当，，在同一直线上时取等号，即此时取最大值，亦即此时点为直线与的交点，
设直线解析式为：，将，代入，
可得：，解得：，
∴直线解析式为：，
当时，，得，
∴．
【点评】本题考查待定系数法求解函数解析式，全等三角形的判定即性质，三角形的三边关系的应用，作出图形，利用数形结合是解决问题的关键．