2023届江西省新余市分宜县中学高三下学期4月第一次模拟数学（文）试题含解析

分宜县中学2023届高三下学期4月第一次模拟

数学（文）试题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．已知集合，集合，则（       ）

A． B．

C． D．

2．设是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

3．等差数列{an}的前三项分别是a－1，a＋1，2a＋3，则该数列的通项公式为（    ）

A．an＝2n－1 B．an＝2n－3

C．an＝a＋2n－3 D．an＝a＋2n－1

4．函数的部分图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

5．从分别写有1，3，5，7，9的五张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第二张卡片上的数字小于第一张卡片上的数字的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．已知点，，，点是线段的中点，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知实数x，y满足不等式组,则z＝2x＋y的最大值为(　　)

A．7 B．3 C．2 D．－1

8．随机变量X的分布列如表所示，若，则（    ）

A．9 B．7 C．5 D．3

9．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.如果把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，从所有的这些音序中随机抽出一个音序，则这个音序中宫、羽不相邻的概率为（    ）

A． B． C． D．

10．已知函数相邻两零点之间的距离为1，且图象经过点，若函数在区间有4个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…．设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（    ）．

A． B．

C． D．

12．已知函数y=f（x），若给定非零实数a，对于任意实数x∈M，总存在非零常数T，使得af（x）=f（x+T）恒成立，则称函数y=f（x）是M上的a级T类周期函数，若函数y=f（x）是[0，+∞）上的2级2类周期函数，且当x∈[0，2）时，f（x）=，又函数g（x）=﹣2lnx+x2+x+m．若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．[） D．[）

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。)

13．对实数定义新运算“*”如下：，如，，若的两根为，则________．

14．在的二项展开式中，第二项的系数为_______.

15．已知，，P是圆O：上的一个动点，则的最大值为_________.

16．已知椭圆，过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，且点在线段上，则______________.

三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程。)

17．已知函数满足，且的最小值为．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若，，求的值．

18．某市举办徒步（健步）示范队评选活动，其宗旨是，激发大众健身热气，展现徒步（健步）队伍风采.某小区计划按年龄组队，现从参与活动的居民中随机抽取人，将他们的年龄分为段：得到如图所示的频率分布直方图.

（1）试求这人年龄的平均数和分位数的估计值（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）已知该小区年龄在内的总人数为，试估计该小区年龄不超过岁的成年人（周岁以上（含周岁）为成年人）的人数.

19．如图，在矩形ABCD中，，E为边CD上的点，，以BE为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且使二面角为直二面角，三棱锥的体积为．

(1)求证：平面平面PAE；

(2)求二面角的余弦值．

20．已知点是圆上一动点，作轴，垂足为，且.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点斜率为的直线交曲线于，两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值.

21．已知函数.

（1）时，求函数的单调区间；

（2）若在上恒成立，求整数的最大值.

请从下面所给的 22、23 两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.

22．选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）设曲线的极坐标方程是，曲线的极坐标方程是，与的一个交点为点异于点，与的交点为，求．

23．选修4-5： 不等式选讲

设函数．

（1）当时，求函数的最小值；

（2）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围．

1．A

【分析】化简集合，根据交集与并集的运算计算即可．

【详解】解：因为集合，

集合，

所以；

．

故选：．

【点睛】本题主要考查了解不等式、集合的运算、对数的定义域等知识，也考查运算求解能力、化归与转化的思想．

2．A

【分析】根据复数代数形式的乘方与除法运算化简复数，即可得到其共轭复数，即可判断；

【详解】解：因为

所以，则的虚部为；

故选：A

3．B

【解析】由条件可得，解得，故可得等差数列的前三项，由此求得数列的通项公式．

【详解】解：已知等差数列的前三项依次为，，，故有，

解得，故等差数列的前三项依次为，，，故数列是以为首项，以2为公差的等差数列，

故通项公式，

故选：B.

4．C

【分析】根据函数基本性质及函数图像特征分别判断即可.

【详解】因为,.

所以为奇函数,故选项错;,故选项错;

故选:.

5．C

【分析】首先根据题意得到全部基本事件个数，列出符合的基本事件，再根据古典概型即可得到答案.

【详解】两次抽取共有结果，

抽得的第张卡片上的数字小于第一张卡片上的数字的有

，，，，，，，，

，，共有种，所以概率为.

故选：C

【点睛】本题主要考查古典概型，利用列举法列出基本事件为解题的关键，属于简单题.

6．A

【分析】由中点坐标公式求得坐标，根据平面向量的坐标运算即可求得结果.

【详解】由中点坐标公式可得：，，，

.

故选：.

【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，解题关键是能够利用坐标准确表示出所需向量，属于基础题.

7．A

【详解】根据题意画出不等式组表示的平面区域如图，当过点C(2,3)时，z取最大值zmax＝2×2＋3＝7.

点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.

8．C

【解析】由，利用随机变量的分布列列出方程组，求出，，由此能求出，再由，能求出结果．

【详解】，

由随机变量的分布列得：

，解得，，

．

．

故选：．

【点睛】本题考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是常考题．

9．C

【分析】把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，基本事件总数，其中宫、羽不相邻的基本事件有，由此可求出所求概率.

【详解】解：中国古乐中的五声音阶依次为：官、商、角、微、羽，把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，基本事件总数，

其中宫、羽不相邻的基本事件有，

则从所有的这些音序中随机抽出一个音序，这个音序中宫、羽不相邻的概率为

，

故选：C

【点睛】此题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等知识，考查运算求解能力，属于基础题.

10．B

【分析】首先由已知条件求出函数的解析式，再根据定义域内含有4个零点，确定端点的取值范围，得到实数的取值范围.

【详解】由条件可知函数的周期为2，,

当时，，即

，

，

，，

若函数在区间有4个零点，

则，

解得：.

故选：B

【点睛】本题考查三角函数的解析式，图象和性质，属于中档题型，本题的关键是理解函数的分析方法，一般由定义域，先求的范围，再根据的图象分析函数的性质.

11．C

【分析】根据的值可得，由递推公式即可判断B；利用累加法可得，再计算前4项的和即可判断A；由即可判断C；利用裂项相消求和法即可判断D.

【详解】因为，

，

，

……，

，

以上个式子累加可得：，

所以，故选项A错误；

由递推关系可知：，所以B错误；

由，可得，C正确；

因为，

所以，

D错误；

故选：C.

12．B

【分析】根据题意，由函数f（x）在[0，2）上的解析式，分析可得函数f（x）在[0，2）上的最值，结合a级类周期函数的含义，分析可得f（x）在[6，8]上的最大值，对于函数g（x），对其求导分析可得g（x）在区间（0，+∞）上的最小值，将原问题转化为

的问题求解．

【详解】根据题意，对于函数f（x），当x∈[0，2）时，，

可得：当0≤x≤1时，f（x）=1-x2，有最大值f（0）=1，最小值f（1）=0，

当1＜x＜2时，f（x）=f（2-x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有0＜f（x）＜1，

又由函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2；

则在x∈[6，8）上，f（x）=23•f（x-6），则有0≤f（x）≤4，

则f（8）=2f（6）=4f（4）=8f（2）=16f（0）=8，

则函数f（x）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为0；

对于函数，

有 ，

得在（0，1）上，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，

在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，

则函数g（x）在（0，+∞）上，由最小值

若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）-f（x1）≤0成立，

必有g（x）min≤f（x）max，即

解可得 ，即m的取值范围为

故选B．

【点睛】本题考查函数的最值问题，考查数学转化思想方法，训练了利用导数求最值，是中档题．

13．

【详解】试题分析：因为方程的根为，又因为，所以．

考点：1、一元二次方程的解法；2、新定义．

【方法点睛】所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型．“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．

14．－5

【解析】由二项展开式通项公式直接计算．

【详解】展开式中的第二项为，所以系数为.

故答案为：．

【点睛】本题考查二项式定理，考查二项展开通项公式，属于基础题．

15．

【分析】设外接圆半径为R，由正弦定理可得，当外接圆半径最小，即外接圆与圆O相内切时，最大.

【详解】设外接圆半径为R，由正弦定理，，当外接圆半径最小，即外接圆与圆O相内切时，最大.

设外接圆圆心为M，由题可得其在AB中垂线上，可设其坐标为：.

则，，又圆M与圆O相内切，则圆心距等于半径之差，则，

等式两边平方并化简后可得：.

即外接圆半径为R的最小值为.

则此时最大，最大值为.

故答案为：

16．

【分析】设，，可用的横坐标坐标表示，联立直线的方程和椭圆的方程后消去，利用韦达定理化简可得所求的值.

【详解】设，，

则，

由可得，

所以，

故填.

【点睛】直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.

17．（1）；（2）.

【分析】（1）化简，再利用条件求得的值，进而求出函数的单调区间；

（2）求出，再进行配角得，利用两角差的正弦公式，即可得答案；

【详解】（1）

因为，且的最小值为，所以，

因此

由得

即递增区间为

（2），

.

【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的单调区间、已知三角函数值求值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意角的配凑.

18．（1）平均数约为，分位数约为；（2）1840.

【分析】（1）以每个小长方形的中点乘以对应的面积即频率为平均数，再利用分位数的定义计算即可得解；

（2）以频率当作概率的近似值，利用频数等于总数乘以频率即可得解.

【详解】（1）平均数

年龄在岁以下的居民所占比例为

，

年龄在岁以下的居民所占比例为，

因此分位数一定位于内，

所以

故可估计，这人的年龄的平均数约为分位数约为.

（2）样品中，年龄在岁以上的居民所占频率为.

故可估计，该小区年龄不超过岁的成年人人数约为

【点睛】关键点点睛：本题考查频率分布直方图的应用，利用频率分布直方图估计平均数和中位数，做题时要认真审题，准确把握题意，属于一般题.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取BE中点，则，由三棱锥的体积得，可得，由平面ABCD得，故平面PBE，得，又，可得平面，进而得证；

（2）以D为原点，为x，y轴正向，过作轴垂直于平面ABCD，建立空间直角坐标系，分别求出平面BPA和平面DPA的法向量，由向量的夹角公式求解即可．

【详解】（1）设，由题意为等腰直角三角形，折叠后为等腰直角三角形，

取BE中点，连接PF，则，

由于二面角为直二面角，故平面ABCD，且，

则，

得，即．

则，故，

又平面ABCD，故，又PF与BE相交，

故平面PBE，故，

又，且PE与AE相交，故平面，

又面PAB，故平面平面.

（2）以D为原点，为x，y轴正向，过作轴垂直于平面ABCD，建立空间直角坐标系，

则，，

设平面BPA的法向量为，则，

取，可得，

设平面DPA的法向量为，则，

取，可得，

则，

由于二面角为钝角，故其余弦值为．

20．（1）（2）见解析

【详解】分析：(1)设点P的坐标为，点M的坐标为，则点D的坐标为，利用题中的条件，求得向量的坐标之间的关系，从而得到，代入圆的方程求得结果；

(2)设出直线的方程，与第一问中所求的椭圆方程联立，消元，利用其有两个交点以及韦达定理，得到相应的不等式和方程，化简代入，求出定值，证得结果.

详解：（1）设，，易知，

，，

∵，即，

∴，，即，，

又在上，∴，

∴，

即，

∴动点的轨迹方程为：.

（2）设，，的方程为，

联立消并整理得：，

∴，

∵，，，

∴

，

∴为定值.

点睛：该题考查的是有关直线与圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有利用相关点法求轨迹方程，直线与椭圆相交的问题，两点斜率坐标公式，韦达定理等，在解题的过程中，需要细心运算，思路清晰.

21．（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.

【分析】（1）求得函数的定义域为，求得，分别解不等式、可得出函数的单调递减区间和递增区间；

（2）分析可知不等式在时恒成立，利用导数求出函数在时的最小值，即可得出整数的最大值.

【详解】（1）当时，，该函数的定义域为，.

由，可得；由，可得.

所以，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

（2），可得，

因为，可得，所以，不等式在时恒成立，

令，其中，所以，，

令，其中，则，

所以，函数在上单调递增，且，，

所以，存在使得.

且当时，，即，此时函数单调递减，

当时，，即，此时函数单调地增，

所以，当时，，

因为，因此，整数的最大值为.

【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.

22．（1）； （2）3.

【解析】（1）根据曲线C的参数方程，先转化为直角坐标方程，再将直角坐标方程转化为极坐标即可.

（2）根据曲线、曲线与曲线C的极坐标方程，可分别求得曲线与曲线的极径，结合极坐标的几何意义即可求得.

【详解】1曲线C的参数方程是为参数，

转换为直角坐标方程为，

转换为极坐标方程为．

2曲线的极坐标方程是，

曲线的极坐标方程是，

与C的一个交点为点M异于点，则，解得，

与的交点为N，则解得，

所以．

【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，直角坐标方程与极坐标的转化，极坐标几何意义的应用，属于中档题.

23．（1）4（2）

【详解】试题分析：（1）当时，利用绝对值不等式的性质即可求得最小值；（2）将不等式恒成立中求解参数的范围的问题转化为求函数的最值问题，其中求解函数最值时可结合绝对值不等式的性质得以实现.

（1）时，，

所以函数的最小值为4．

（2）恒成立，即恒成立，

当时，显然成立；

当时，．

综上，的取值范围是．