2023届江西省新余市分宜县中学高三下学期4月第一次模拟数学（文）试题含答案

分宜县中学2023届高三下学期4月第一次模拟

数学（文）试题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．已知集合，集合，则（       ）

A． B．

C． D．

2．设是虚数单位，是复数z的共轭复数，若，则的虚部为（    ）

A． B． C． D．

3．等差数列{an}的前三项分别是a－1，a＋1，2a＋3，则该数列的通项公式为（    ）

A．an＝2n－1 B．an＝2n－3

C．an＝a＋2n－3 D．an＝a＋2n－1

4．函数的部分图像大致是（    ）

A． B．

C． D．

5．从分别写有1，3，5，7，9的五张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第二张卡片上的数字小于第一张卡片上的数字的概率为（    ）

A． B． C． D．

6．已知点，，，点是线段的中点，则（    ）

A． B． C． D．

7．已知实数x，y满足不等式组,则z＝2x＋y的最大值为(　　)

A．7 B．3 C．2 D．－1

8．随机变量X的分布列如表所示，若，则（    ）

A．9 B．7 C．5 D．3

9．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽.如果把这五个音阶全用上，排成一个5个音阶的音序，从所有的这些音序中随机抽出一个音序，则这个音序中宫、羽不相邻的概率为（    ）

A． B． C． D．

10．已知函数相邻两零点之间的距离为1，且图象经过点，若函数在区间有4个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

11．如图，此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…．设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（    ）．

A． B．

C． D．

12．已知函数y=f（x），若给定非零实数a，对于任意实数x∈M，总存在非零常数T，使得af（x）=f（x+T）恒成立，则称函数y=f（x）是M上的a级T类周期函数，若函数y=f（x）是[0，+∞）上的2级2类周期函数，且当x∈[0，2）时，f（x）=，又函数g（x）=﹣2lnx+x2+x+m．若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，则实数m的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，] B．（﹣∞，] C．[） D．[）

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。)

13．对实数定义新运算“*”如下：，如，，若的两根为，则________．

14．在的二项展开式中，第二项的系数为_______.

15．已知，，P是圆O：上的一个动点，则的最大值为_________.

16．已知椭圆，过椭圆的右焦点作直线交椭圆于两点，交轴于点，且点在线段上，则______________.

三、解答题(本大题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程。)

17．已知函数满足，且的最小值为．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若，，求的值．

18．某市举办徒步（健步）示范队评选活动，其宗旨是，激发大众健身热气，展现徒步（健步）队伍风采.某小区计划按年龄组队，现从参与活动的居民中随机抽取人，将他们的年龄分为段：得到如图所示的频率分布直方图.

（1）试求这人年龄的平均数和分位数的估计值（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）已知该小区年龄在内的总人数为，试估计该小区年龄不超过岁的成年人（周岁以上（含周岁）为成年人）的人数.

19．如图，在矩形ABCD中，，E为边CD上的点，，以BE为折痕把折起，使点C到达点P的位置，且使二面角为直二面角，三棱锥的体积为．

(1)求证：平面平面PAE；

(2)求二面角的余弦值．

20．已知点是圆上一动点，作轴，垂足为，且.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点斜率为的直线交曲线于，两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值.

21．已知函数.

（1）时，求函数的单调区间；

（2）若在上恒成立，求整数的最大值.

请从下面所给的 22、23 两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.

22．选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线的极坐标方程；

（2）设曲线的极坐标方程是，曲线的极坐标方程是，与的一个交点为点异于点，与的交点为，求．

23．选修4-5： 不等式选讲

设函数．

（1）当时，求函数的最小值；

（2）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围．

1．A

2．A

3．B

4．C

5．C

6．A

7．A

8．C

9．C

10．B

11．C

12．B

13．

14．－5

15．

16．

17．（1）；（2）.

【分析】（1）化简，再利用条件求得的值，进而求出函数的单调区间；

（2）求出，再进行配角得，利用两角差的正弦公式，即可得答案；

【详解】（1）

因为，且的最小值为，所以，

因此

由得

即递增区间为

（2），

.

【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的单调区间、已知三角函数值求值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意角的配凑.

18．（1）平均数约为，分位数约为；（2）1840.

【分析】（1）以每个小长方形的中点乘以对应的面积即频率为平均数，再利用分位数的定义计算即可得解；

（2）以频率当作概率的近似值，利用频数等于总数乘以频率即可得解.

【详解】（1）平均数

年龄在岁以下的居民所占比例为

，

年龄在岁以下的居民所占比例为，

因此分位数一定位于内，

所以

故可估计，这人的年龄的平均数约为分位数约为.

（2）样品中，年龄在岁以上的居民所占频率为.

故可估计，该小区年龄不超过岁的成年人人数约为

【点睛】关键点点睛：本题考查频率分布直方图的应用，利用频率分布直方图估计平均数和中位数，做题时要认真审题，准确把握题意，属于一般题.

19．(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取BE中点，则，由三棱锥的体积得，可得，由平面ABCD得，故平面PBE，得，又，可得平面，进而得证；

（2）以D为原点，为x，y轴正向，过作轴垂直于平面ABCD，建立空间直角坐标系，分别求出平面BPA和平面DPA的法向量，由向量的夹角公式求解即可．

【详解】（1）设，由题意为等腰直角三角形，折叠后为等腰直角三角形，

取BE中点，连接PF，则，

由于二面角为直二面角，故平面ABCD，且，

则，

得，即．

则，故，

又平面ABCD，故，又PF与BE相交，

故平面PBE，故，

又，且PE与AE相交，故平面，

又面PAB，故平面平面.

（2）以D为原点，为x，y轴正向，过作轴垂直于平面ABCD，建立空间直角坐标系，

则，，

设平面BPA的法向量为，则，

取，可得，

设平面DPA的法向量为，则，

取，可得，

则，

由于二面角为钝角，故其余弦值为．

20．（1）（2）见解析

【详解】分析：(1)设点P的坐标为，点M的坐标为，则点D的坐标为，利用题中的条件，求得向量的坐标之间的关系，从而得到，代入圆的方程求得结果；

(2)设出直线的方程，与第一问中所求的椭圆方程联立，消元，利用其有两个交点以及韦达定理，得到相应的不等式和方程，化简代入，求出定值，证得结果.

详解：（1）设，，易知，

，，

∵，即，

∴，，即，，

又在上，∴，

∴，

即，

∴动点的轨迹方程为：.

（2）设，，的方程为，

联立消并整理得：，

∴，

∵，，，

∴

，

∴为定值.

点睛：该题考查的是有关直线与圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有利用相关点法求轨迹方程，直线与椭圆相交的问题，两点斜率坐标公式，韦达定理等，在解题的过程中，需要细心运算，思路清晰.

21．（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）.

【分析】（1）求得函数的定义域为，求得，分别解不等式、可得出函数的单调递减区间和递增区间；

（2）分析可知不等式在时恒成立，利用导数求出函数在时的最小值，即可得出整数的最大值.

【详解】（1）当时，，该函数的定义域为，.

由，可得；由，可得.

所以，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；

（2），可得，

因为，可得，所以，不等式在时恒成立，

令，其中，所以，，

令，其中，则，

所以，函数在上单调递增，且，，

所以，存在使得.

且当时，，即，此时函数单调递减，

当时，，即，此时函数单调地增，

所以，当时，，

因为，因此，整数的最大值为.

【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：

（1），；

（2），；

（3），；

（4），.

22．（1）； （2）3.

【解析】（1）根据曲线C的参数方程，先转化为直角坐标方程，再将直角坐标方程转化为极坐标即可.

（2）根据曲线、曲线与曲线C的极坐标方程，可分别求得曲线与曲线的极径，结合极坐标的几何意义即可求得.

【详解】1曲线C的参数方程是为参数，

转换为直角坐标方程为，

转换为极坐标方程为．

2曲线的极坐标方程是，

曲线的极坐标方程是，

与C的一个交点为点M异于点，则，解得，

与的交点为N，则解得，

所以．

【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，直角坐标方程与极坐标的转化，极坐标几何意义的应用，属于中档题.

23．（1）4（2）

【详解】试题分析：（1）当时，利用绝对值不等式的性质即可求得最小值；（2）将不等式恒成立中求解参数的范围的问题转化为求函数的最值问题，其中求解函数最值时可结合绝对值不等式的性质得以实现.

（1）时，，

所以函数的最小值为4．

（2）恒成立，即恒成立，

当时，显然成立；

当时，．

综上，的取值范围是．