四川省泸州市泸县第一中学2023届高三二模数学（文）试题（Word版附解析）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号． 回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3． 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 考试结束后，请将答题卡交回．
第I卷 选择题
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解绝对值不等式、一元二次不等式分别求集合A、B，再由集合并运算求.
【详解】由题设，，
所以.
故选：A
2. 若复数为纯虚数（为虚数单位），则实数的值为（ ）
A. 1B. 0C. 1D. 1或1
【答案】C
【解析】
【分析】根据纯虚数的定义列出方程(组)求解.
【详解】由已知得，解得,
故选：C
3. 某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A.
B. 估计这批产品该项质量指标的众数为45
C. 估计这批产品该项质量指标的中位数为60
D. 从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5
【答案】C
【解析】
【分析】利用各组的频率之和为1，求得的值，判定A；根据众数和中位数的概念判定BC；根据频率估计概率值，从而判定D.
【详解】，解得，故A正确；
频率最大的一组为第二组，中间值为，所以众数为45，故B正确；
质量指标大于等于60有两组，频率之和为，所以60不是中位数，故C错误；
由于质量指标在[50,70)之间的频率之和为，可以近似认为从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.5，故D正确.
故选:
4. 非零向量，满足向量+与向量-的夹角为，下列结论中一定成立的是（ ）
A. =B. ⊥C. ||=||D. //
【答案】C
【解析】
【分析】由平面向量数量积定义及计算公式即可得解.
【详解】依题意有(+)·(-)=|+|·|-|cs=0，即，
所以C选项正确.
故选：C
5. 已知函数，则（ ）
A. 在上单调递增B. 的图象关于点对称
C. 为奇函数D. 的图象关于直线对称
【答案】D
【解析】
【分析】把化简成，进而得到是由先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到的，然后根据的图象画出的图象，即可判断选项
【详解】
化简得，
的可以看作是函数先向左平移一个单位，再向下平移一个单位得到，
先画出的图象，再进行平移画出的图象，
明显可见，对于原函数，为奇函数，关于点对称，且在和上为单调减函数，
所以，经过平移后变成的在上单调递减，关于对称，非奇函数也非偶函数，图象关于直线对称，所以，D正确；A、B、C错误.
故选：D
6. 已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列命题中错误的是（ ）
A. AE⊥平面PAB
B. 直线PD与平面ABC所成角为45°
C. 平面PBC与平面PEF的交线与直线AD不平行
D. 直线CD与PB所成的角的余弦值为
【答案】C
【解析】
【分析】由线面垂直的判定定理可判断A正确；从图中可找到线面角为∠PDA进而可判断B正确；由线面平行的判定定理和性质定理可判断C错误；找到直线CD与PB所成的角并通过计算可判断D正确.
【详解】对于A：∵PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，∴AE⊥PA，
∵六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，∴AE⊥AB，
∵PA∩AB=A，PA，AB⊂平面PAB，∴PE⊥平面PAB.故A正确；
对于B：∵六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，
∴ PA⊥AD，PA=AD，∴∠PDA=45°是直线PD与平面ABC所成角.故B正确；
对于C：∵BCEF，平面，平面，所以平面.
设平面PBC与平面PEF的交线为，则，又，所以，故C错误；
对于D：设AB=1，则PA=2，，
∵CDBE，∴∠PBE是是直线CD与PB所成的角(或所成角的补角)，
∴直线CD与PB所成的角的余弦值为.故D正确.
故选：C.
【点睛】思路点睛：平移线段法是求两异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出两异面直线所成的角；
②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角（或补角）；
③计算：求该角的值，常利用解三角形；
④取舍：由于两异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两异面直线所成的角．
7. 把函数的图象向右平移个单位长度得到函数，若在上是增函数，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由三角函数的平移变换规律求出的解析式，再求出的单调增区间，然后使区间是其中一个增区间的子集求出的范围，从而可求出的最大值
【详解】解：因为，
所以，
由，得，
所以在上单调递增，
因为在上是增函数，
所以，
所以的最大值为，
故选：D
8. 已知点是曲线C：y＝+1上的点，曲线C在点P处的切线平行于直线6x﹣3y﹣7＝0，则实数a的值为（ ）
A. ﹣1B. 2C. ﹣1或2D. 1或﹣2
【答案】A
【解析】
分析】求出导函数并把代入令其值等于2可求得可得答案.
【详解】∵y＝+1，
∴，
∵曲线C在点P处的切线平行于直线6x﹣3y﹣7＝0，
结合题意得：，
解得：a＝2或，
当时，，
切点坐标为，代入，所以不合题意，舍去，
当时，，
切点坐标为，代入，
故选：A．
9. 牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：（为时间，单位分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设一杯开水温度℃，环境温度℃，常数，大约经过多少分钟水温降为40℃？（结果保留整数，参考数据：）（ ）
A. 9B. 8C. 7D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据题设的温度冷却模型有，应用对数的运算性质即可求值.
【详解】由题意知：分钟，
故选：C.
10. 已知三棱锥，是直角三角形，其斜边，平面,,则三棱锥的外接球的表面积为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】
如图所示，直角三角形的外接圆的圆心为的中点，过作面的垂线，球心在该垂线上，过作球的弦的垂线，垂足为，则为的中点，球半径，，棱锥的外接球的表面积为，故选A.
【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球表面积的求法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：①若三条棱两垂直则用（为三棱的长）；②若面（），则（为外接圆半径）；③可以转化为长方体的外接球；④特殊几何体可以直接找出球心和半径.
11. 已知不等式组 ，表示的平面区域为D，点 ，若点M是D上的动点，则 的最小值是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】作图，分析所求表达式几何意义，即可求解.
【详解】依题意作下图，图中阴影部分即为D，
设点M的坐标为，则，
根据约束条件画出可行域可知，故
，
而的几何意义为可行域的点与原点所确定直线的斜率，
联立方程 ，解得 ，即 ，
数形结合可知的最大值为M点与F点重合时，此时= ，
则的最小值为 ；
故选：C.
12. 已知双曲线的右焦点为，点，在双曲线的同一条渐近线上，为坐标原点．若直线平行于双曲线的另一条渐近线，且，，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意设直线为，从而可求出，则可表示出，再由可得，从而由，可求得，进而可求出双曲线的渐近线方程
【详解】解： ，由题意设直线为，
由得，所以点，
所以，
因为，所以，
因为，
所以，得，即，
所以双曲线的渐近线方程为，
故选：B
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的渐近线的求法，解题的关键是由题意设直线为，从而可求出，可求出，再由可得，从而由，可求得，进而可求得答案，属于中档题
第II卷 非选择题
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．
13. 计算的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据指数的运算公式、对数的换底公式、对数的减法运用公式进行求解即可.
【详解】，
故答案为：
14. 已知等差数列满足，则_________．
【答案】10
【解析】
【分析】根据等差中项的性质求得，因此，，得出结果.
【详解】由等差中项的性质可得，可得，因此，．
故答案为：10．
15. 函数满足：①定义域为R，②，③.请写出满足上述条件的一个函数，___________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】由题可得函数为定义在R上的奇函数，且为增函数，即得.
【详解】∵函数定义域为R，关于原点对称，又，即，
∴函数为奇函数，又，
∴函数为增函数，又函数是定义在R上的奇函数，且为增函数，
故函数可为.
故答案为：（答案不唯一）.
16. 如图，在长方体中，底面为正方形，E，F分别为，CD的中点，点G是棱上靠近的三等分点，直线BE与平面所成角为.给出以下4个结论：
①平面； ②；
③平面平面； ④B，E，F，G四点共面.
其中，所有正确结论的序号为______.
【答案】①②③
【解析】
【分析】设，由题可得，然后根据线面平行的判定定理可判断①，根据长方体的性质结合条件可得，进而可判断②，根据线面角的概念可得，进而可得，然后根据线面垂直及面面垂直的判定定理可判断③，根据条件可作出过的平面，进而可判断④.
【详解】设，连接，则，
又，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面，故①正确；
连接，因为底面为正方形，
所以，
所以，又，，
所以，故②正确；
由题可知平面，
所以为直线BE与平面所成角，即，
则，，
所以，又平面，平面，
所以，又平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，故③正确；
延长交的延长线于，连接交于，连接，则B，E，F确定平面，
由，可得，又点是棱上靠近的三等分点，
所以平面，故④错误，
所以所有正确结论的序号为①②③.
故答案为：①②③.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必做题：共60分．
17. 已知数列的前项和是，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项的和的最大值.
【答案】（1）；（2）110.
【解析】
【分析】（1）由求得，由得的递推关系，，然后说明数列是等比数列，可得通项公式；
（2）由（1）可得，则可得，由得和最大时的值，从而得和的最大值.
【详解】（1）对于数列，当时，由得.
当时，由，可得两式相减得，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）知：， ，
所以是公差为-2的等差数列，
由，解得.
所以当或11时，数列的前n项和取得最大值，其最大值为．
【点睛】本题主要考查等比数列和等差数列的定义、通项公式、前n项和公式等基础知识；考查运算求解能力及应用意识；考查分类与整合、化归与转化等思想方法，属中档题.
18. 如图所示，是等边三角形，，，面面，．
（1）求证：；
（2）求四面体的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）1．
【解析】
【分析】(1)由余弦定理可得，根据勾股定理逆定理得，结合即可得出结果.
(2)由面面垂直的性质定理得平面，且，根据线线平行得出平面平面，进而得到与到底面的距离相等，结合棱锥体积公式即可.
【详解】（1）证明：，，
又是等边三角形，
，
又，
在中，由余弦定理可得，
，
，故，
又，；
（2）解：取的中点，连接，
由，得，
又平面平面，
且平面平面，
平面，
且求得．
由，平面平面，
可得平面，
则与到底面的距离相等，
则四面体的体积．
【点睛】(1)证明线线垂直的方法主要有：线面垂直的性质定理、勾股定理的逆定理或者采用空间向量法；
(2) 求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．
19. 某医疗机构承担了某城镇的新冠疫苗接种任务.现统计了前8天每天(用，2，…，8表示)的接种人数(单位：百)相关数据，并制作成如图所示的散点图：
（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的回归方程(系数精确到0.01)；
（2）根据该模型，求第10天接种人数的预报值；并预测哪一天的接种人数会首次突破2500人.
参考数据：，，.参考公式：对于一组数据，，…，，回归方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
【答案】（1）；（2）第10天接种人数预报值2145人，预计从第13天开始，接种人数会突破2500人.
【解析】
【分析】（1）利用公式，代入样本中心，求得，即可求得关于的回归方程；
（2）由（1）中的回归方程，分别代入和，求得预报值，即可求解.
【详解】（1）由题意，得，
，
，
所以关于的回归方程为.
（2）第10天接种人数的预报值，
第10天接种人数的预报值为2145人.
当时，的预报值；
当时，的预报值，
故预计从第13天开始，接种人数会突破2500人.
20. 已知椭圆的焦点为，且过点．
（1）求的方程；
（2）设为椭圆的右顶点，直线与椭圆交于两点，且均不是的左､右顶点，为的中点．若，试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）直线过定点
【解析】
【分析】(1)由题意可得，，即可求方程；
(2) 由题意可得，即有，分直线的斜率存在和直线的斜率不存在两种情况求解即可.
【小问1详解】
解：设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，
因为，
所以，即．
又因为，
所以，
又椭圆的焦点在轴上，且中心在坐标原点，
所以的方程为．
【小问2详解】
因为，则，又因为为的中点，
所以，易知点，
设．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由,得，
所以，
由韦达定理可得，
，
则
，
化简可得，即．
若，则直线的方程为，此时直线过顶点，不符合题意；
若，易知满足，此时直线的方程为，直线过定点；
当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，则，
所以，
则，
，
因为，解得，直线过点．
综上，直线过定点．
21. 已知函数
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．
【答案】（1）递增区间，递减区间是；
（2）或.
【解析】
【分析】(1)把代入，求出函数的导数，解小于0或大于0 的不等式作答.
(2)利用函数零点的意义分离参数，构造函数，转化成直线与函数有一个公共点求解作答.
【小问1详解】
当时，的定义域为，求导得，
当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的递增区间是，递减区间是.
【小问2详解】
函数的定义域为，则，
令，，求导得：，由得 ，
当时，，当时，，因此，在上单调递增，在上单调递减，
则当时，，且，恒成立，函数的图象如图，
函数有一个零点，当且仅当直线与函数的图象只有一个公共点，
观察图象知，当或时，直线与函数的图象只有一个公共点，
所以实数的取值范围是：或.
【点睛】思路点睛：研究函数零点的情况，可以通过转化，利用导数研究函数的单调性、最值等，
借助数形结合思想分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.
（二）选做题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）已知曲线的极坐标方程为，点A是曲线与的交点，点B是曲线与的交点，且A、B均异于原点O，，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用消参求得普通方程，再利用公式即可转化为极坐标方程；
（2）利用点满足的极坐标方程，根据弦长，求解三角方程，即可求得结果.
【详解】（1）由，消去参数可得普通方程为.
∴，故曲线的极坐标方程为.
（2）由题意设，，则
故.
∴，∴，，
∵，∴.
【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程和普通方程之间的转化，涉及利用极坐标方程求角度，属基础题.
选修4-5：不等式选讲
23. 已知函数的定义域为.
（1）求实数的范围；
（2）若的最大值为，当正数满足时，求的最小值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用绝对值不等式的性质即可得出；
（2）利用柯西不等式的性质即可得出.
【小问1详解】
解：函数的定义域为，
恒成立，
，
，
.
【小问2详解】
解：由（1）知，由柯西不等式知，
，
当且仅当时取等号，
的最小值为.