专题06 圆中的证明与计算问题-2023年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练（全国通用）

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一、热点题型归纳
【题型一】 圆中的角度和线段的计算问题
【题型二】 圆的弧长和面积问题
【题型三】 切线的判定
【题型四】 相交弦定理
【题型五】 切割线定理
【题型六】 弦切角定理
【题型七】 辅助圆的三种模型
【题型八】 圆与相似综合
【题型九】 圆与三角函数综合
二、最新模考题组练
【题型一】 圆中的角度和线段的计算问题
【典例分析】
1．如图，为的直径，弦于点，已知，，则的半径是多少？
2.如图，为的直径，是的切线，C为切点，交的延长线于D，且，求的度数．

【提分秘籍】
【变式演练】
1.如图，在以是直径的半中，C、D为半圆周上两点，且点C为的中点，过点C的切线交延长线交于点E．
(1)求证：；
(2)连接，若，求证：．
2.如图，四边形为的内接四边形，是的直径，，．求的度数．
3.如图，在半径为6的扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F，设所在的圆的圆心为，且．
(1)求的大小及的长；
(2)请在图中画出线段，用其长度表示劣弧上的点到弦的最大距离（不说理由），并求弦的长．

【题型二】 圆的弧长和面积问题
【典例分析】
1.如图，是外接圆，．设的直径为，求的长．
2.如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角， 求此圆锥高的长度.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.如图，已知圆锥底面半径为，母线长为，求一只蚂蚁从A处出发绕圆锥侧面一周（回到原来的位置A处）所爬行的最短距离．
2.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条夹角为，的长为，扇面部分的长为，求扇面部分的面积S．

3．已知，如图，的半径为，半径被弦垂直平分，交点为，点在圆上，且．
(1)求弦的长；
(2)求图中阴影部分面积（结果保留π）．

4．如图，是半圆的直径，是的切线，切点为，交于点，点是的中点，连接，．
(1)求的度数；
(2)若，，求图中阴影部分的面积（结果精确到，参考数据：，，取）
【题型三】 切线的判定
【典例分析】
1.如图，AB为⊙D的切线，BD是∠ABC的平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E．求证：BC是⊙D的切线；
2.如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME＝NE＝3．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AE＝4，求⊙O的直径AB的长度．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.如图已知AB是⊙O的直径，，点C，D在⊙O上，DC平分∠ACB，点E在⊙O外，．
(1)求证：AE是⊙O的切线；
(2)求AD的长．
2.如图，是的直径，延长至点，，，点是上一点，延长交于点，连结、，且．
（1）求证：是的切线．
（2）求的长度．（结果保留）

【题型四】 相交弦定理（中考不能直写结论）
【典例分析】
1.如图，⊙O1与⊙O2内切于点P，又⊙O1切⊙O2的直径BE于点C，连接PC并延长交⊙O2于点A，设⊙O1，⊙O2的半径分别为r、R，且R≥2r．求证：PC•AC是定值．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.如图，已知BC是⊙O的直径，AH⊥BC，垂足为D，点A为的中点，BF交AD于点E，且BE•EF=32，AD=6．
（1）求证：AE=BE；
（2）求DE的长；
（3）求BD的长．
【题型五】 切割线定理（中考不能直写结论）
【典例分析】
1.如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，O是AB边上一点，⊙O经过点B，D，与AB交于点E．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BC＝3，AC＝4，求AE的长．

【提分秘籍】
【变式演练】
1.如图，以△ABC的一边BC为直径的⊙O，交AB于点D，连接CD，OD，已知∠A+∠1＝90°．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠B＝30°，AD＝2，求⊙O的半径．
2.如图，AB是⊙M的直径，BC是⊙M的切线，切点为B，连接CM交⊙M于点G，过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E．
（1）求证：△ABE∽△BCD；
（2）若MB＝BE＝1，求GE的长．
【题型六】 弦切角定理（中考不能直写结论）
【典例分析】
1.已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线DC交BA的延长线于点D，连接BC．
（Ⅰ）如图①，连接AC，若∠B＝25°，求∠ACD的大小；
（Ⅱ）如图②，E为上一点，连接OE，CE，若四边形ODCE为平行四边形，求∠B的大小．

【提分秘籍】
【变式演练】
1.如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于E，AC⊥CD于C，BD⊥CD于D，交⊙O于F，连接AE、EF．
（1）求证：AE是∠BAC的平分线；
（2）若∠ABD＝60°，则AB与EF是否平行？请说明理由．

【题型七】 辅助圆的三种模型
【典例分析】
1.如图，AB＝AC＝AD，∠CBD＝2∠BDC，∠BAC＝40°，求∠CAD的度数．
2.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BE⊥AC，EG、EF分别平分∠AEB和∠CEB，求证：BG＝BF．
3.如图，在▱ABCD中，∠BAD为钝角，且AE⊥BC，AF⊥CD．
（1）求证：A、E、C、F四点共圆；
（2）设线段BD与（1）中的圆交于M、N．求证：BM＝ND．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥BC，BD＝BC，连接AD交BC于点F．E是CD的中点，连接AE交BC于G．
（1）若AB＝BD，求∠ADC的度数；
（2）若BC＝4BF，且AB＝4，求四边形ABDC的面积．
2.如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，AD⊥BC于D，BD＝2，CD＝3，求AD的长．
3.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°
（1）证明：△ABF∽△FCE；
（2）当DE取何值时，∠AED最大．

【题型八】 圆与相似综合
【典例分析】
1.四边形内接于，直径与弦交于点，直线与相切于点．
(1)如图1，若，且，求证：平分；
(2)如图2，连接，若，求证：．
【提分秘籍】
【变式演练】
1.如图，是的外接圆，与相切于点D，分别交，的延长线于点E和F，连接交于点N，的平分线交于点M．
(1)求证：平分；
(2)若，，求线段的长．
2.如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连接、、，且．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，求的值；
(3)在（2）的条件下，作的平分线交于P，交于E，连接、，若，求的值．

【题型九】 圆与三角函数综合
【典例分析】
1.如图，已知BC为⊙O的直径，点D为的中点，过点D作DG∥CE，交BC的延长线于点A，连接BD，交CE于点F．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若EF＝3，CF＝5，tan∠GDB＝2，求AC的长．

【提分秘籍】
【变式演练】
1.如图，是的外接圆，为的直径，点为上一点，交的延长线于点，与交于点，连接，若．
(1)求证：是的切线．
(2)若，，求的半径．

2.如图，在中，以AB为直径作交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作于点G，交BA的延长线于点H．
(1)求证：直线HG是的切线；
(2)若，求CG的长．
3.如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若DE＝5，cs∠ABD＝，求OE的长．

1．（2020·甘肃兰州·兰州市第四十九中学校考二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，CD＝CB，∠D＝∠A
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，求BD的长．
2．（2021·安徽安庆·统考一模）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD＝CB、连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并证明；
（2）若BE＝8，DE＝16，求⊙O的半径．
3．（2022·湖北武汉·校联考一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC，OC，BC．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）若，求⊙O的半径的长．
4．（2022·安徽·校联考一模）如图，AB为⊙O的一条弦．
(1)用尺规作图：过点O作OC⊥AB，垂足为点C，交于点D(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)若(1)中的CD的长为2，BD的长为，求⊙O的半径．
5．（2023·云南文山·统考一模）如图，，以为直径的，与交于点E，过点E作于点F，交的延长线于点G．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
6．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，是的直径，是的弦，且，垂足为M，连接，过点D作交于点E，过点A作的切线，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
7．（2021·广东中山·校联考模拟预测）如图，正方形内接于，点E为的中点，连接交于点F，延长交于点G，连接．
(1)求证：；
(2)若，求和的长．
8．（2023·甘肃兰州·统考一模）如图，在中，，的平分线交于点，点在上，且以为直径的经过点．
(1)求证，是的切线：
(2)当，且时，求的半径．
9．（2023·江苏淮安·统考一模）如图，在中，，，以为直径的与边交于点．
(1)判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求图中阴影部分的面积．

10．（2023·广东佛山·统考模拟预测）如图，是直径，点C为劣弧中点，弦相交于点E，点F在的延长线上，，，垂足为G．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)当时，求的值．
11．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，中，，为上的一点，以为直径的交于，连接交于，交于，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
12．（2023·云南临沧·统考一模）如图，在中，，点O在上，以为半径的分别与、相交于点D、F，与相切于点E，过点D作，垂足为G．
(1)求证：是的切线．
(2)若，求的长．
13．（2023·江苏无锡·统考一模）如图，以为直径的经过的顶点，是的中点，连接、分别交于点、．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积.
14．（2023·河南安阳·统考一模）如图，内接于，、是的直径，E是长线上一点，且．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求线段的长．
15．（2023·广东珠海·校考一模）如图，已知是上一点，是直径，的平分线交于点，的切线交的延长线于点，连接，．
(1)求证：．
(2)若，填空：
①当 时，四边形是正方形．
②作关于直线对称的，连接，．当四边形是菱形时，求四边形BCOF的面积．
16．（2023·广东珠海·校考一模）如图，已知为的直径，为上一点，为延长线上一点，连接，过点作于点．交于点．且满足．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求的长．
17．（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考二模）已知等腰，，且，连接交于点E，以为直径的上有一点F，使得，连接交于点G，若．
(1)判断与的关系，并说明理由；
(2)若，求的值．
18．（2023·浙江·模拟预测）如图，锐角三角形内接于，，点D平分，连接，，．
(1)求证：．
(2)过点D作，分别交于点E，F，交于点G．
①若，，求线段的长（用含a，b的代数式表示）．
②若，求证：．
圆的基础定理：垂径定理、圆周角定理、切线长定理的内容和常考题型要熟悉，也要结合几何图形各自的特征，综合应用起来解决相关问题。
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．
圆的常用公式汇总
圆的面积公式：，周长.
圆心角为、半径为R的弧长.
圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.
圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.
口诀：圆上有点，连半径证垂直；圆上没点，作垂直证半径。
注意：证的方法有很多中，最常用的有：①证平行；②证全等；③半径和直线的夹角为90°。
数学术语，经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。
几何语言:
若圆内任意弦AB、弦CD交于点P,则PA·PB=PC·PD
思路：证△PAC∽△PDB
切割线定理:是指从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
几何语言:∵PT切⊙O于点T，PDC是⊙O的割线
∴PT²=PD·PC(切割线定理)
推论:从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
几何语言:∵PT是⊙O切线，PBA、PDC是⊙O的割线
∴PD·PC=PA·PB(切割线定理推论)
弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半,等于它所夹的弧的圆周角度数。（以下是3种情况）
定点定长的隐圆
定弦定角的隐圆
对角互补的隐圆
点 A 为定点，点 B 为动点，且 AB 长度固定则点 B 的轨迹是以点 A 为圆心，AB 长为半径的圆。
若线段 AB 的长度及其所对的∠ACB 的大小不变，则点 C的运动轨迹是以AB 为弦的圆。
若四边形ABCD对角互补 则A、B、C、D 四点共圆。
对于圆与相似相结合的综合问题，解题时要注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形
解决几何图形的三角函数求值问题，关键在于，找到相关的直角三角形.若没有现成的直角三角形，则需根据所给的条件，合理构造直角三角形，或把角进行转化。
以下有几种思路：
①用圆周角的性质把角转化到直角三角形中；
②用直径与所对圆周角构造直角三角形；
③用切线与半径的关系构造直角三角形；
④转化条件中的垂直关系构造直角三角形。