2024高考数学一轮复习讲义（步步高版）第九章　必刷大题18　统计与统计分析

必刷大题18　统计与统计分析

1．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩(满分100分)，得到了样本的频率分布直方图(如图)．

一般学校认为成绩大于等于80分的学生为优秀．

(1)根据频率分布直方图，估计3 000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生数；

(2)依据样本的频率分布直方图，估计总体成绩的众数和平均数．

解　(1)由样本的频率分布直方图可知，

在该次数学考试中成绩优秀的频率是(0.020＋0.008)×10＝0.28，

则3 000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生数为3 000×0.28＝840.

(2)由样本的频率分布直方图可知，总体成绩的众数为＝75，

平均数为

0.002×10×35＋0.006×10×45＋0.012×10×55＋0.024×10×65＋0.028×10×75＋0.020×10×85＋0.008×10×95＝71.2.

所以总体成绩的众数为75，平均数为71.2.

2．为进一步增强疫情防控期间群众的防控意识，使广大群众充分了解疫情防护知识，提高预防能力，做到科学防护．某组织通过网络进行疫情防控科普知识问答．共有100人参加了这次问答，将他们的成绩(满分100分)分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]这六组，制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求图中a的值，并估计这100人问答成绩的中位数和平均数；(同一组数据用该组数据的中点值代替)

(2)用比例分配的分层随机抽样方法从问答成绩在[60,80)内的人中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这2人的问答成绩均在[70,80)内的概率．

解　(1)由图可知，10×(2×0.005＋a＋0.02＋0.025＋0.03)＝1，

解得a＝0.015.

设中位数为x，

则0.05＋0.15＋0.2＋0.03×(x－70)＝0.5，

所以x＝.

这100人问答成绩的平均数为

45×0.05＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝72.

(2)用比例分配的分层随机抽样方法从问答成绩在[60,80)内的人中抽取一个容量为5的样本，

则问答成绩在[60,70)内的有×5＝2(人)，分别记为A，B；

问答成绩在[70,80)内的有×5＝3(人)，分别记为a，b，c.

从中任意抽取2人，则试验的样本空间

Ω＝{(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)}，共有10个样本点．

设事件A为2人的问答成绩均在[70,80)内，

则A＝{(a，b)，(a，c)，(b，c)}，共有3个样本点，

所以这2人的问答成绩均在[70,80)内的概率P(A)＝.

3．为弘扬劳动精神，树立学生“劳动最美，劳动最光荣”的观念，某校持续开展“家庭劳动大比拼”活动．某班统计了本班同学1～7月份的人均月劳动时间(单位：小时)，并建立了人均月劳动时间y关于月份x的经验回归方程＝x＋4，y与x的原始数据如表所示：

由于某些原因导致部分数据丢失，但已知iyi＝452.

(1)求m，n的值；

(2)求该班6月份人均月劳动时间数据的残差值(残差即样本数据与预测值之差)．

参考公式：在经验回归方程＝x＋中，＝ ，＝－.

解　(1)由表知，＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，＝×(8＋9＋m＋12＋n＋19＋22)＝，

所以－72＝12＋22＋32＋42＋52＋62＋72－7×42＝28，

所以＝＝，

即m＋n＝43－7，①

因为经验回归直线恒过点(，)，

所以＝4＋4，

即m＋n＝28－42，②

由①②，得＝，m＋n＝26，③

因为iyi＝8＋18＋3m＋48＋5n＋114＋154＝452，

所以3m＋5n＝110，④

由③④，得m＝10，n＝16.

(2)由(1)知，经验回归方程为＝x＋4，

所以当x＝6时，预测值＝×6＋4＝，

此时残差为19－＝.

4．为推动更多人去阅读和写作，联合国教科文组织确定每年的4月23日为“世界读书日”，其设立目的是希望居住在世界各地的人，无论你是年老还是年轻，无论你是贫穷还是富裕，都能享受阅读的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们，都能保护知识产权．为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了200名居民，这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3∶1.将这200人按年龄(单位：岁)分组，统计得到通过电子阅读的居民的频率分布直方图如图所示．

(1)求a的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；

(2)把年龄在[15,45) 内的居民称为中青年，年龄在[45,65]内的居民称为中老年，若选出的200人中通过纸质阅读的中老年有30人，请完成下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.025的独立性检验，分析阅读方式是否与年龄有关．

附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.

解　(1)由频率分布直方图可得10×(0.01＋0.015＋a＋0.03＋0.01)＝1，

解得a＝0.035，

所以通过电子阅读的居民的平均年龄为

20×10×0.01＋30×10×0.015＋40×10×0.035＋50×10×0.03＋60×10×0.01＝41.5(岁)．

(2)这200人中通过电子阅读的人数为200×＝150，

通过纸质阅读的人数为200－150＝50.

因为(0.01＋0.015＋0.035)∶(0.03＋0.01)＝3∶2，

所以通过电子阅读的中青年的人数为150×＝90，

中老年的人数为150－90＝60.

2×2列联表为

零假设为H0：阅读方式与年龄无关．

由表中数据，得χ2＝≈6.061>5.024＝x0.025，

所以依据小概率值α＝0.025的独立性检验，推断H0不成立，即认为阅读方式与年龄有关．

5．2017年9月国家发改委制定了煤改气、煤改电价格扶植新政策，从而使得煤改气、煤改电用户大幅度增加．图1所示的条形图反映了某省某年1～7月份煤改气、煤改电的用户数量．

图1

图2

(1)在图2给定坐标系中作出煤改气、煤改电用户数量y随月份t变化的散点图，并用散点图和样本相关系数说明y与t之间具有线性相关性；

(2)建立y关于t的经验回归方程(系数精确到0.01)，预测该年11月份该省煤改气、煤改电的用户数量．

参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归方程＝u＋的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝＝，＝－.

参考数据：i＝9.24，iyi＝39.75，≈0.53，≈2.646.

样本相关系数r＝.

解　(1)作出散点图如图所示．

由条形图数据和参考数据得，

＝4，(ti－)2＝28，≈0.53，

(ti－)(yi－)＝iyi－i＝39.75－4×9.24＝2.79，

所以r≈≈0.99.

y与t的样本相关系数近似为0.99，说明y与t的线性相关性相当高，

从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系．

(2)由＝＝1.32，

又由(1)得＝＝≈0.10，

＝－≈1.32－0.10×4＝0.92，

所以y关于t的经验回归方程为＝0.92＋0.10t.

将t＝11代入经验回归方程得＝0.92＋0.10×11＝2.02.

所以预测该年11月份该省煤改气、煤改电的用户数量达到2.02万户．

6．在国家大力发展新能源汽车产业的政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长．已知某地区2015年年底到2022年年底新能源汽车保有量的数据统计表如下：

(1)根据统计表中的数据画出散点图(如图)，请判断y＝bx＋a与y＝ecx＋d哪一个更适合作为y关于x的经验回归模型(给出判断即可，不必说明理由)，并根据你的判断结果建立y关于x的经验回归方程；

(2)假设每年新能源汽车保有量按(1)中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同．若2022年年底该地区传统能源汽车保有量为500千辆，预计到2027年年底传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．

参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其经验回归方程＝u＋的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝＝，＝－.

参考数据：＝12.1，＝2.1，＝204，iyi＝613.7，iti＝92.4，其中ti＝ln yi，lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，lg e≈0.43.

解　(1)根据散点图显示的该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是y＝ecx＋d，因为t＝ln y，则＝x＋，

因为＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8)＝4.5，＝204，iti＝92.4，＝2.1，

所以＝＝＝＝0.4，

＝－＝2.1－0.4×4.5＝0.3，

所以＝0.4x＋0.3，

即＝e0.4x＋0.3.

(2)设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r，依题意得，500(1－r)5＝500(1－10%)，解得1－r＝，

设从2022年底起经过x年后的传统能源汽车保有量为y千辆，

则有y＝500(1－r)x＝，

设从2022年底起经过x年后新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车保有量，

则有e0.4(x＋8)＋0.3>，

所以(0.4x＋3.5)lg e>3－lg 2＋0.2x(2lg 3－1)，

解得x>≈6.64，

故从2022年年底起经过7年后，即2029年年底新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车保有量．