2023届北京市朝阳区高三二模数学试题含解析

2023届北京市朝阳区高三二模数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解一元二次不等式求集合B，利用集合交运算求.

【详解】由题设，或，

所以.

故选：B

2．若复数为纯虚数，则的值为（    ）

A． B．0 C．1 D．2

【答案】C

【分析】由复数乘法化为代数形式，然后由复数的分类求解．

【详解】∵为纯虚数，∴，∴．

故选：C．

【点睛】本题考查复数的乘法运算，考查复数的分类，掌握复数概念是解题关键．

3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则（    ）

A． B． C． D．3

【答案】C

【分析】根据双曲线的方程写出渐近线方程，对照条件可求答案.

【详解】因为双曲线为，所以它的一条渐近线方程为；

因为渐近线方程为，所以.

故选：C.

4．已知数列的前n项和是，则（    ）

A．9 B．16 C．31 D．33

【答案】B

【分析】设数列的前n项和为，根据即可求解.

【详解】设数列的前n项和为，则，

则.

故选:B.

5．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用中间值可以比较三者的大小关系.

【详解】因为，，，

所以.

故选：D.

6．已知，则“”是“函数在区间上单调递增”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】讨论、对应在上的单调性，结合充分必要性的定义可得答案.

【详解】当时，，显然在上单调递增，充分性成立；

而在区间上单调递增，此时，必要性不成立；

所以“”是“函数在区间上单调递增”的充分而不必要条件.

故选：A

7．在中，M，N分别是AB，AC的中点，若，则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【分析】将分别用表示，根据平面向量基本定理即可求解.

【详解】,,

故

，

故，解得.

所以.

故选:A.

8．设函数，若对任意的恒成立，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先用辅助角公式化简的解析式，利用已知条件求出辅助角，再利用诱导公式，奇偶性，判断选项的正误.

【详解】由

得;

所以，其中，，

因为，

所以，

所以，即，

，

化简得，

因为，

，

所以，且，

所以既不是奇函数，也不是偶函数，所以选项A，B都不正确；

对于C，D，,

;

因为，

所以，而不能恒成立；

所以选项C不正确，选项D正确.

故选：D

9．如图，在棱长为2的正方体中，P为线段的中点，Q为线段上的动点，则下列结论正确的是（    ）

A．存在点Q，使得 B．存在点Q，使得平面

C．三棱锥的体积是定值 D．存在点Q，使得PQ与AD所成的角为

【答案】B

【分析】A由、即可判断；B若为中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断；C只需求证与面是否平行；D利用空间向量求直线夹角的范围即可判断.

【详解】A：正方体中，而P为线段的中点，即为的中点，

所以，故不可能平行，错；

B：若为中点，则，而，故，

又面，面，则，故，

，面，则面，

所以存在Q使得平面，对；

C：由正方体性质知：，而面，故与面不平行，

所以Q在线段上运动时，到面的距离不一定相等，

故三棱锥的体积不是定值，错；

D：构建如下图示空间直角坐标系，则，，且，

所以，，若它们夹角为，

则，

令，则，

当，则，；

当则；

当，则，；

所以不在上述范围内，错.

故选：B

10．已知函数是上的奇函数，当时，.若关于x的方程有且仅有两个不相等的实数解则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用奇函数性质求分段函数解析式，根据指数函数性质画出函数图象，数形结合判断不同值域范围的函数值对应自变量的个数，再由有两个解，对应的解的个数确定范围，进而求m的范围.

【详解】由题设，若，则，

所以，值域为R，函数图象如下：

当时，只有一个与之对应；

当时，有两个对应自变量，

记为，则；

当时，有三个对应自变量且；

当时，有两个对应自变量，

记为，则；

当时，有一个与之对应；

令，则，要使有且仅有两个不相等的实数解，

若有三个解，则，此时有5个解，不满足；

若有两个解且，此时和各有一个解，

结合图象知，不存在这样的，故不存在对应的m；

若有一个解，则有两个解，此时，

所以对应的，

综上，.

故选：C.

二、填空题

11．函数的定义域为________.

【答案】

【分析】解不等式即可得函数的定义域.

【详解】令，可得，解得.

故函数的定义域为.

故答案为:.

三、双空题

12．已知的展开式中所有项的二项式系数的和为64，则________，展开式中的系数为________.

【答案】         

【分析】由二项式系数和求n，再应用二项式定理写出含的项，即可得结果.

【详解】由题意，则，故原二项式为，

所以其展开式通项为，

当，则，故所求系数为.

故答案为：，

四、填空题

13．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若在区间上有且仅有一个零点，则实数m的一个取值为________.

【答案】（答案不唯一）

【分析】由图象平移写出解析式，再由，根据正弦函数图象及零点个数求参数范围，即得结果.

【详解】由题设，

在，则，要使在区间上有且仅有一个零点，

所以，即，故满足要求.

故答案为：（答案不唯一）

五、双空题

14．已知圆A：，抛物线C：，则圆心A到抛物线C的准线的距离为________；过圆心A的直线与圆A相交于P，Q两点，与抛物线C相交于M，N两点，若，则________.

【答案】         

【分析】由题设有且半径，抛物线准线为，即可得A到抛物线C准线的距离，根据对称性令和在两侧，易知为中点，设直线联立抛物线，应用韦达定理、弦长公式求.

【详解】由题设且半径，抛物线准线为，则A到抛物线C准线的距离为，

又，故A在抛物线内部，若抛物线上任意点，

则其到A的距离，

所以圆A在抛物线内部，如上图示：由对称性，不妨令和在两侧，由易知：为中点，

若直线为，联立抛物线得，

所以，则，，

而，即，

经检验，此时，故，

所以.

故答案为：4，

六、填空题

15．斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都有应用，斐波那契数列满足，.给出下列四个结论：

①存在，使得成等差数列；

②存在，使得成等比数列；

③存在常数t，使得对任意，都有成等差数列；

④存在正整数，且，使得.

其中所有正确结论的序号是________.

【答案】①③④

【分析】由成等差数列判断①；由数列任意连续三项为{奇数,奇数,偶数}或{奇数,偶数,奇数}，结合是否能成立判断②；利用递推式可得，即判断③；写出前16项判断是否存在使判断④.

【详解】由题设，，显然成等差数列，①正确；

由题设知：在上，依次为{奇数,奇数,偶数}或{奇数,偶数,奇数}或{偶数,奇数,奇数}，

所以不可能有，故不存在使成等比数列，②错误；

由，，，

所以，故，则成等差数列，

故存在使得对任意，都有成等差数列，③正确；

由，，，…，，，

所以，则，

由题设，数列前16项分别为，

其中，

所以存在正整数，且，使得，④正确.

故答案为：①③④

【点睛】关键点点睛：利用等差、等比数列的定义性质判断①②，应用递推式得到判断③，列举出前16项，直接判断是否存在使对应各项和为.

七、解答题

16．在中，，，.

(1)求的面积；

(2)求c及的值.

【答案】(1)

(2)，

【分析】（1）利用平方关系求得，应用三角形面积公式求的面积；

（2）余弦公式求c，再应用正弦定理求.

【详解】（1）由且，则，

所以.

（2）由，则，

而，则.

17．果酒由水果本身的糖分被酵母菌发酵面成.研究表明，果酒中的芳香气味主要来自于酯类化合物.某学习小组在实验中使用了3种不同的酵母菌（A型，B型，C型）分别对三组（每组10瓶）相同的水果原液进行发酵，一段时间后测定发酵液中某种酯类化合物的含量实验过程中部分发酵液因被污染面废弃，最终得到数据如下（“X”表示该瓶发酵液因废弃造成空缺）：

根据发酵液中该酯类化合物的含量t（μg/L）是否超过某一值来评定其品质，其标准如下：

假设用频率估计概率

(1)从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，求其品质高的概率；

(2)设事件D为“从样本含A型，B型,C型酵母菌的未废弃的发酵液中各随机抽取一瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”，求事件D发生的概率；

(3)设事件E为“从样本未废弃的发酵液中不放回地随机抽取三瓶，这三瓶中至少有一瓶品质高”试比较事件E发生的概率与（2）中事件D发生的概率的大小.（结论不要求证明）

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）先求未废弃的发酵液总数，再求品质高的瓶数，结合古典概率求解可得答案；

（2）设出事件，利用对立事件求解概率可得答案；

（3）先求事件E的概率，比较大小可得答案.

【详解】（1）设事件“从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”，

由题可知，未废弃的发酵液共有6+4+5=15瓶，其品质高的有9瓶，

所以.

（2）事件“从样本含A型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”，

事件“从样本含B型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”，

事件“从样本含C型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”，

由题意得;

.

（3）由题意，所以.

18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面ABCD，且，E是PC的中点，平面ABE与线段PD交于点F.

(1)证明：F为PD的中点；

(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线BE与平面PAD所成角的正弦值.

条件①：三角形BCF的面积为；

条件②：三棱锥的体积为1.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由线面平行的判定证面，再由线面平行的性质可证，进而有△中为中位线，即可证结论；

（2）由线面垂直的性质、判定证两两垂直，且面，构建空间直角坐标系，根据所选条件求得，进而求直线方向向量和面的法向量，利用线面角夹角的向量求法求其正弦值.

【详解】（1）由底面ABCD是矩形，则，而面，面，

所以面，

又E是PC的中点，面ABE与线段PD交于点F，即面面，

而面，则，故，

△中为中位线，故F为PD的中点；

（2）由底面ABCD，面，则，又，

由，面，则面，

由面，故，即△为直角三角形，且；

由面，则面面，同理有面面；

又面，故，又，

所以两两垂直，可构建如下空间直角坐标系，

选①，则，故，而，

选②，由，而，所以；

此时，，，则，

又是面的一个法向量，若直线BE与平面PAD所成角为，

所以.

19．已知点在椭圆E：上，且E的离心率为.

(1)求E的方程；

(2)设F为椭圆E的右焦点，点是E上的任意一点，直线PF与直线相交于点Q，求的值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）由题意得求出即可得椭圆方程；

（2）由题意可得，当时，求出的值；当时，联立直线PF与直线的方程求出点的坐标，根据求解即可.

【详解】（1）由题意得 解得

所以椭圆E的方程为.

（2）因为点是E上的任意一点，所以.

①当时，点或.

当点时，直线PF与直线相交于点，此时.

当点时，直线PF与直线相交于点，此时.

②当时，直线的方程为，

由，可得，所以.

所以

，

所以.

综上所述，.

【点睛】总结点睛：

(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．

(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．

20．已知函数.

(1)当时，

（i）求曲线在点处的切线方程；

（ii）证明：；

(2)若函数的极大值大于0，求a的取值范围.

【答案】(1)（i） ；（ii）证明见解析；

(2).

【分析】(1)（i）求导，根据点斜式直线方程求解；（ii）构造函数，求的最大值即可；

(2) 函数，求出的最大值，并对最大值做讨论即可.

【详解】（1）， ，，

（i）在处的切线方向为；

（ii）令 ，则 ，当时 单调递减，

当时单调递增，在处取得最大值 ，

；

（2）由题可知 ，则 ，

   ，

，令 ，

当 时是减函数，当 时是增函数，

处取得极大值，也是最大值， ，

令 ，显然是增函数，欲使得 ，

，即 ，解得 ，

所以a的取值范围是 .

21．已知无穷数列满足，其中表示x，y中最大的数，表示x，y中最小的数.

(1)当，时，写出的所有可能值；

(2)若数列中的项存在最大值，证明：0为数列中的项；

(3)若，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有？如果存在，写出一个满足条件的M；如果不存在，说明理由.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)不存在，理由见解析

【分析】（1）根据定义知，讨论、及大小求所有可能值；

（2）由，假设存在使，进而有，可得，即可证结论；

（3）由题设，令，讨论、求证即可判断存在性.

【详解】（1）由，，

若，则，即，此时，

当，则，即；

当，则，即；

若，则，即，此时，

当，则，即；

当，则，即（舍）；

综上，的所有可能值为.

（2）由（1）知：，则，

数列中的项存在最大值，故存在使，，

由，

所以，故存在使，

所以0为数列中的项；

（3）不存在，理由如下：由，则，

设，

若，则，，

对任意，取（表示不超过的最大整数），

当时，

；

若，则为有限集，

设，，

对任意，取（表示不超过的最大整数），

当时，

；

综上，不存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有.

【点睛】关键点点睛：第三问，首选确定，并构造集合，讨论、研究存在性.