2023届北京市朝阳区高三二模数学试卷及答案解析

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一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）B（2）C（3）C（4）B （5）D
（6）A （7）A（8）D（9）B （10）C
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12） （13） （答案不唯一）
（14） （15）①③④
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（本小题13分）
解：（Ⅰ）因为在中，，又，
所以．
所以． ………6分
（Ⅱ）由余弦定理，得．
又，所以．
由正弦定理，得
………13分
（17）（本小题13分）
解：（Ⅰ）设事件为“从样本未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”．
由题可知，未废弃的发酵液共瓶，其中品质高的有瓶，
则． ………4分
（Ⅱ）设事件为“从样本含A型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”，
事件为“从样本含B型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”，
事件为“从样本含C型酵母菌的未废弃的发酵液中随机抽取一瓶，其品质高”．
由题可知，，，．
则． …10分
（Ⅲ）． ………13分
（18）（本小题14分）
解：（Ⅰ）在矩形中，，
又平面，平面，
所以平面．
又因为平面，且平面平面，
所以．故．
又因为是的中点，所以是的中点． ………5分
（Ⅱ）选择条件①：三角形的面积为．
因为平面，所以．
又，且，所以平面．
又平面，所以．
因此．所以，即．
故.
因为平面，
所以，．
又在矩形中，，
所以两两垂直．
如图建立空间直角坐标系，
则．
所以．
平面的一个法向量为．
设直线与平面所成角为，
则．
故直线与平面所成角的正弦值为． ………14分
选择条件②：三棱锥的体积为．
因为为的中点，
所以，即，得．
下同选择条件①．
（19）（本小题15分）
解：（Ⅰ）由题意得解得
所以椭圆的方程为． ………5分
（Ⅱ）因为点是椭圆上的任意一点，所以．
①当时，点或．
当点为时，直线与直线相交于点．此时．
当点为时，直线与直线相交于点．此时．
②当时，直线的方程为．
由得所以点．
所以
．
所以．
综上，． ………15分
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ）（ⅰ）当时，，
所以，则．
又．
所以曲线在点处的切线方程为：，
即． ………4分
（ⅱ）设函数，定义域为，
当时，．
所以．
当时，，所以的单调递增区间为，
当时，，所以的单调递减区间为．
所以．
所以．
故． ………9分
（Ⅱ）① 当时，，
所以，与的极大值大于矛盾，不符合题意．
② 当时，，
令，得，或（舍）．
设，则．
当时，，所以的单调递增区间为，
当时，，所以的单调递减区间为．
所以为的极大值点，且，．
此时极大值，
因为，所以，．
所以，符合题意．
综上，的取值范围为． ………15分
（21）（本小题15分）
解：（Ⅰ）的所有可能值为． ………4分
（Ⅱ）因为，所以．
所以．
因为无穷数列中的项存在最大值，所以存在使得．
因为，
所以．
故存在使得．
所以为数列中的项． ………9分
（Ⅲ）不存在正实数，使得对任意的正整数，都有．理由如下．
因为，所以．
设集合．
（1）若，则．
对任意，取（其中表示不超过的最大整数），
则当时，
．
（2）若，且为有限集，
设，则．
对任意，取（其中表示不超过的最大整数），
则当时，
．
（3）若，且为无限集，
设，．
若，则，又，矛盾．
所以．
记．
当时，．
因为，所以．
当时，．
因为，所以．
所以．
因为，
所以．
所以，且．
对任意，
取（其中表示不超过的最大整数），则当时，
．
综上，不存在正实数，使得对任意的正整数，都有． ………15