江苏省苏锡常镇四市2023届高三数学下学期5月教学情况调研（二）（二模）（Word版附答案）

2022~2023学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）

数学2023.05

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答字写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1.若复数满足，则在复平面内表示的点所在的象限为

A.第一象限   B.第二象限   C.第三象限   D.第四象限

2.已知A，B为非空数集，，，则符合条件的B的个数为

A.1   B.2   C.3   D.4

3.已经连续抛掷一枚质地均匀的硬币2次，都出现了正面向上的结果，第3次随机地抛掷这枚硬币，则其正面向上的概率为

A.    B.    C.    D.1

4.已知向量，的夹角为60°，且，则

A.    B.

C.   D.

5.埃及胡夫金字塔是世界古代建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，其侧面与底面所成角的余弦值为，则侧面三角形的顶角的正切值为

A.2   B.3   C.    D.

6.已知，则

A.-1   B.0   C.1   D.2

7.设，，，则

A.    B.    C.    D.

8.已知等比数列的前项和为，，则使得不等式成立的正整数的最大值为

A.9   B.10   C.11   D.12

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.在平面直角坐标系中，已知直线：，椭圆：，则下列说法正确的有

A. 恒过点

B.若过的焦点，则

C.对任意实数，与总有两个互异公共点，则

D.若，则一定存在实数，使得与有且只有一个公共点

10.已知函数，则

A. 是偶函数，也是周期函数  B. 的最大值为

C. 的图象关于直线对称  D. 在上单调递增

11.在正四棱柱中，已知，，则下列说法正确的有

A.异而直线与的距离为

B.直线与平面所成的角的余弦值为

C.若该正四棱柱的各顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为

D.以A为球心，半径为2的球面与该正四棱柱表面的交线的总长度为

12.已知函数的图象是连续不间断的，函数的图象关于点对称，在区间上单调递增.若对任意恒成立，则下列选项中的可能取值有

A.    B.    C.    D.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某校1000名学生参加数学文化知识竞赛，每名学生的成绩，成绩不低于90分为优秀，依此估计优秀的学生人数为____________（结果填整数）.

附：若，则，.

14.在平面直角坐标系中，已知点，将线段OA绕原点顺时针旋转得到线段OB，则点B的横坐标为____________.

15.某校数学兴趣小组在研究函数最值的过程中，获得如下研究思路：求函数的最大值时，可以在平面直角坐标系中把看成的图象与直线在相同横坐标处的“高度差”，借助“高度差”探究其最值.借鉴该小组的研究思路，记在上的最大值为M，当M取最小值时，____________，____________.

16.已知抛物线C：的焦点为F，过动点P的两条直线，均与C相切，设，的斜率分别为，，若，则的最小值为____________.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）

已知等差数列的各项均为正数，，.

（1）求的前项和；

（2）若数列满足，，求的通项公式.

18.（12分）

某地区的疾控机构为了考察药物A对某疾病的预防效果，在该地区随机抽取96人，调查得到的统计数据如下表所示.

（1）试判断：是否有99%以上的把握认为药物A对预防该疾病有效果?

（2）已知治愈一位服用药物A的该疾病患者需要2个疗程，治愈一位未服用药物A的该疾病患者需要3个疗程.从该地区随机抽取1人，调查其是否服用药物A、是否患该疾病，若未患病，则无需治疗，若患病，则对其进行治疗并治愈.求所需疗程数的数学期望.

附：（其中），.

19.（12分）

在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求A；

（2）若点D在边BC上，，，，求的面积.

20.（12分）

如图，在三棱台中，，平面平面，二面角的大小为45°，，.

（1）求证：平面ABC；

（2）求异而直线与所成角的余弦值.

21.（12分）

已知双曲线：的渐近线为，右焦点F到渐近线的距离为.设是双曲线：上的动点，过M的两条直线，分别平行于的两条渐近线，与分别交于P，Q两点.

（1）求的标准方程：

（2）证明：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标.

22.（12分）

已知函数，.

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若有且只有2个不同的零点，求的取值范围.

2022~2023学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题。每小题5分，共40分.

1.B  2.D  3.C  4.C  5.A  6.D  7.A  8.C

二、选择题：本题共4小题。每小题5分。共20分.

9.ACD  10.BD  11.ACD  12.BC

三、填空题：本题共4小题。每小题5分，共20分.

13.22，23（填其一）  14.   15.0，  16.

四、解答题：本题共6小题，共70分.

17.解：（1）等差数列中，因为，所以，

又因为等差数列的各项均为正数。所以，

又因为，所以.

所以.

（2）由（1）得，因为，且，所以，

所以.

所以.

所以.

当时也符合.

所以的通项公式为.

18.略

19.略

20.解：（1）因为，平面平面ABC，

平面平面，平面ABC，

所以平面，

又因为，平面.

所以，，所以是二面角的平面角，

因为二面角的大小为45°，

所以.

取AB中点O，连结，在梯形中，

，，

所以四边形是平行四边形，

所以，，

从而在三角形中，，，

所以，

所以，即，所以.

又因为，平面，，

所以平面.

（2）以О为坐标原点，OB为x轴，平面ABC内过О平行于BC的直线为y轴，为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

所以，，

所以异面直线与所成角的余弦值为.

21.解：（1）因为渐近线方程为，所以，所以.

又右焦点到渐近线的距离为，所以，得.

又因为，所以，所以.

所以双曲线的标准方程为.

（2）设，过点M作与平行的直线分别与双曲线交于点P，

由得，

整理得，所以，

由于，故，

则，故，

所以.

同理可得.

所以直线：恒过定点.

22.解：（1）解：，，

，恒成立，

所以在递增.

所以当，；，

所以函数的单调减区间是，单调增区间是.

（2），

①当时，由（1）知有且只有一个零点.

②当时，，则在区间上单调递减，

所以至多有一个零点.

③当时，，，

又因为的图象在区间上连续不间断，

所以，使得，即.

令，，

所以在区间上单调递增，

所以当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增.

所以，

所以无零点.

④令，当时，，所以在区间上单调递减，所以，有，所以，则.

当时，，，

又因为的图象在区间上连续不间断，

所以，使得，即.

令，，

所以在区间上单调递增，

所以当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增.

所以.

令.

，

又因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且的图象连续不间断，，，

所以有且只有2个零点.综上，若函数有且只有2个零点，则实数的取值范围是.