浙江省台州市八校联盟2022-2023学年高二数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

2022学年第二学期台州八校联盟期中联考

高二年级数学试题

考生须知：

1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前，在答题指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.

3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.

4.考试结束后，只需上交答题纸.

选择题部分

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1. 曲线在点处的切线的倾斜角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由导数的几何意义求解即可.

【详解】因为，所以，，

设线在点处的切线的倾斜角为，

由导数的几何意义知，即.

所以曲线在点处的切线的倾斜角为.

故选：B.

2. （    ）

A. 22 B. 24 C. 66 D. 68

【答案】A

【解析】

【分析】由排列数公式和组合数公式计算可得答案.

【详解】.

故选：A.

3. 已知随机变量X的分布列如下表，若，则（    ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

【答案】C

【解析】

【分析】根据分布列的性质有且，结合已知即可求参数.

【详解】由且，故，

所以，即

故选：C

4. 一质点在单位圆上做匀速圆周运动，其位移满足的方程为，其中h表示位移（单位：m），t表示时间（单位：s），则质点在时的瞬时速度为（    ）

A. sin2 m/s B. cos2 m/s C. 2sin2 m/s D. 2cos2 m/s

【答案】D

【解析】

【分析】求出可求质点在时的瞬时速度，从而可得正确的选项.

【详解】因为，所以，

所以质点在时的瞬时速度为2cos2 m/s．

故选：D.

5. 某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（    ）

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

【答案】A

【解析】

【分析】首先将名志愿者分成组，再分配到个社区.

【详解】首先将名志愿者分成组，再分配到个社区，可分种情况，

第一类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，

第二类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，

第三类：名志愿者分成，共有（种）选派方案，

所以共（种）选派方案，

故选：A.

6. 已知随机变量服从正态分布，若，则（    ）

A.  B.  C. 1 D. 4

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，求解即可.

【详解】因为，

所以，

因为随机变量服从正态分布，

所以，解得：.

故选：D.

7. 设常数，展开式中的系数为，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用二项式定理，先得出其通项，再待定系数求参数即可.

【详解】设展开式的通项为：，

由题意可得：当时，.

故选：B

8. 已知函数是定义在上的可导函数，，且，则不等式的解集为

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题设条件构造函数，根据已知不等式分析的单调性，再根据特殊值判断需满足的不等式，即可求出解集.

【详解】由可得，

设，则，

，在上为减函数，又由，可得，.

故选A.

【点睛】常见的利用导数的不等关系构造函数的类型：

（1）若已知，可构造函数：分析问题；

（2）若已知，可构造函数：分析问题；

（3）若已知，可构造函数：分析问题；

（4）若已知，可构造函数：分析问题.

二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 在的展开式中，下列结论正确的有（    ）

A. 二项式系数之和为64 B. 所有项的系数之和为1

C. 常数项为160 D. 所有项系数的绝对值之和为729

【答案】ABD

【解析】

【分析】A：二项式系数之和为，直接代入即可.

B：所有项的系数之和只需代入，即可求得.

C：展开式中常数项可利用通项，令的指数为0可得.

D：所有项系数的绝对值之和，可利用通项计算每一项系数，再相加.

【详解】对于A：二项式系数之和为，所以A正确；

对于B：令，得，所以所有项的系数之和为1，故B正确；

对于C：通项为，由，得，所以，故C错误.

对于D：因，所以所有项系数的绝对值之和为，故D正确.

故选：ABD

10. 已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】构造函数，利用导函数判断函数的单调区间，再根据函数的单调性逐一判断即可．

【详解】令，

则，

所以在区间递增；在区间递减，

所以，即，即，故A错误；

所以，即，即，故B正确；

所以，即，即，故C错误；

所以，即，即，故D正确.

故选：BD.

11. 某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，记事件A：“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”，事件B：“学生丙最后一个出场”，则下列结论中正确的是（    ）

A. 事件A包含78个样本点 B.

C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】利用分步分类计数，结合组合排列数求事件A、事件B、事件的样本点数，再应用古典概率求法求、，最后由条件概率公式求.

【详解】问题等价于5个人安排到5个座位，

事件A：甲不在首位，乙不在末位，安排甲（除首位）到其中4个座位上，分两种情况：

若甲不在末位有种，再安排乙有种，其它同学作全排有，共有；

若甲在末位有1种，余下同学（含乙）作全排有，共有；

所以，事件A包含78个样本点；

事件B：除丙以外的其它同学作全排有；

事件：把丙安排在末位，再安排甲在中间3个位置有种，其它同学作全排有，共有；

而5位同学所有可能安排有.

所以，，而，

综上，A、B正确，C、D错误.

故选：AB

12. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数，则（    ）

A. 一定有两个极值点

B. 函数在R上单调递增

C. 过点可以作曲线的2条切线

D. 当时，

【答案】BCD

【解析】

【分析】对求导，得出，没有极值点，可判断A，B；由导数的几何意义求过点的切线方程条数可判断C；求出三次函数的对称中心，由于函数的对称中心为，可得，由倒序相加法求出所给的式子的值，可判断D.

【详解】由题意知，，恒成立，

所以在R上单调递增，没有极值点，A错误，B正确；

设切点为，则，

切线方程为，

代入点得，

即，解得或，

所以切线方程为或，C正确；

易知，令，则．

当时，，，所以点是的对称中心，

所以有，即．

令，

又，

所以，

所以，D正确．

故选：BCD.

非选择题部分

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 随机变量X服从二项分布，且，，则p的值为___________.

【答案】##0.25

【解析】

【分析】根据题意得到，再解方程组即可.

【详解】由题知：.

故答案为：

14. 函数的单调递减区间为___________.

【答案】

【解析】

【分析】通过求导，解导函数小于零的不等式解集即可.

【详解】由题意得：，令.

即函数的单调递减区间为.

故答案为：

15. 如果一个三位正整数如“”满足，且，则称这样的三位数为凹数（如201，325等），那么由数字0，1，2，3，4，5能组成___________个无重复数字的凹数.

【答案】40

【解析】

【分析】讨论首位分别为1、2、3、4、5，再依次安排中间位置上的数字，并求出对应凹数的个数，最后加总即可.

【详解】当首位为1，中间位置为0有4个凹数；

当首位为2，中间位置为0有4个凹数；中间位置为1有3个凹数；

当首位为3，中间位置为0有4个凹数；中间位置为1有3个凹数；中间位置为2有2个凹数；

当首位为4，中间位置为0有4个凹数；中间位置为1有3个凹数；中间位置为2有2个凹数；中间位置为3有1个凹数；

当首位为5，中间位置为0有4个凹数；中间位置为1有3个凹数；中间位置为2有2个凹数；中间位置为3有1个凹数；

综上，共有40个无重复数字的凹数.

故答案为：40

16. 已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

【分析】先证，当时，在上单调递增，可得恒成立；当时，可得，即可求解结果．

【详解】由题意可知，令，

当时，；当时，；

所以在上单调递减，在上单调递增，则恒成立；

由，

则当时，，即在上单调递增，则对恒成立，满足题意；

当时，由得或

又因为且函数为奇函数，

所以可得，解得，则，

综上，实数的取值范围为．

故答案为：

四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. （1）求方程中x的值（其中）：；

（2）已知，求的值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）由排列组合数公式列方程求解即可；

（2）赋值法求得、，即可求部分系数和.

【详解】（1）因且，所以，解得.

（2）令，则；令，得；

所以.

18. 已知函数在时取得极值，在点处的切线的斜率为.

（1）求的解析式；

（2）求在区间上的单调区间和最值.

【答案】（1）；   

（2）单调递减区间为，单调递增区间为；，.

【解析】

【分析】（1）求出函数的导数，根据给定条件建立方程组求解并验证作答.

（2）利用（1）中信息，利用导数求解函数的单调区间及最值作答.

【小问1详解】

对函数求导得：，

依题意，，解得：，

此时，，当时，，当时，，即在时取得极值，

所以的解析式是.

【小问2详解】

由（1）知，，，，

当时，，当时，，即在上递减，在上递增，

则，而，因此，

 所以在区间上的单调递减区间为，单调递增区间为，，.

19. 有4名男生、3名女生，全体排成一行，间下列情形各有多少种不同的排法：

（1）甲、乙两人必须排在两端；

（2）男女相间；

（3）甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定．

【答案】（1）240    （2）144   

（3）840

【解析】

【分析】（1）先排甲、乙，再排其余5人，根据分步计数原理即可求得答案；

（2）先排4名男，再利用插空法排女生，根据分步乘法计数原理即可得出答案；

（3）法一：首先求出7人排成一列的全排列，其中甲，乙，丙三人的排列顺序有，其中按照甲、乙、丙顺序的排法占全排列种数的，从而得出答案；法二：先排剩下的4人，从7个位置选出4个位置有种，再排甲、乙、丙即可．

【小问1详解】

先排甲、乙，再排其余5人，

根据分步计数原理，共有种排法．

【小问2详解】

先排4名男生有种方法，

再将3名女生插在男生形成的3个空上有种方法，

根据分步计数原理，共有种排法．

【小问3详解】

法一：7人共有种排法，其中甲、乙、丙三人有种排法，

因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法，故共有种排法．

法二：先排剩下的4人，从7个位置选出4个位置就有，再排甲、乙、丙有1种，则共有种排法．

20. 已知函数.

（1）若，求曲线在处的切线方程；

（2）若恰有两个零点，求a的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用导数的几何意义求曲线在处的切线方程；

（2）首先应用导数研究函数的单调性、值域，再由零点个数有求参数范围.

【小问1详解】

由的定义域为，

当时，则，

，则，又，即切点为，

∴所求切线方程为.

【小问2详解】

由且，，

令得：，则上，上，

在单调递减，在单调递增，

又有两个零点，趋向于0或时趋向，

只需，即，可得，

综上，a的取值范围是.

21. 某校从高三年级选拔一个班级代表学校参加“学习强国知识大赛”，经过层层选拔，甲、乙两个班级进入最后决赛，规定选手回答1道相关问题，根据最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛．每个班级有5名选手，现从每个班级的5名选手中随机抽取3人回答这道问题．已知甲班的5人中只有3人可以正确回答这道题目，乙班的5人能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两个班每个人对问题的回答都是相互独立的．

（1）求甲、乙两个班抽取的6人中至少有3人能正确回答这道题目的概率；

（2）设甲班被抽取的选手中能正确回答题目的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望，并利用所学的知识分析由哪个班级代表学校参加大赛更好．

【答案】（1）   

（2）分布列见解析，，选择甲班代表学校参加比赛更好

【解析】

【分析】（1）利用对立事件：甲、乙两个班抽取的6人中有1人或2人能正确回答，利用超几何分布和二项分布运算求解；（2）利用超几何分布和二项分布求分别求期望和方差，分析理解判断．

【小问1详解】

设甲、乙两个班抽取的6人中至少有3人能正确回答这道问题为事件A

由于甲班5人中有3人可以正确回答这道题目，故从甲班中抽取的3人中至少有1人能正确回答这道题目

故事件为甲、乙两个班抽取的6人中有1人或2人能正确回答，具体情况为甲班1人回答正确，其他5人回答错误或甲班2人回答正确，其他4人回答错误或甲、乙两班各1人回答正确，其他4人回答错误

因为

所以

【小问2详解】

X的所有可能取值为1，2，3

，，

所以X的分布列为

所以

因为乙班能正确回答题目的人数，

所以，即．

因为，

，，

所以甲、乙两个班级能正确回答题目的人数的期望相等，但甲班的方差小于乙班，

所以选择甲班代表学校参加比赛更好．

22. 已知函数．

（1）求函数的极值；

（2）若，且对任意恒成立，求的最大值．

【答案】（1）无极大值；极小值是；（2）3．

【解析】

【分析】(1)求出的定义域及导数，再利用导数正负讨论函数的极值即可得解；

(2)利用恒成立的不等式分离参数，构造函数并探讨其最小值即可作答.

【详解】（1）函数的的定义域为，，，，，，

即函数在单调递减，在单调递增，

所以的极小值是，无极大值；

（2）因为对任意恒成立，即对任意恒成立，

令，则，令，则，

于是得函数在上单调递增，而，，

方程在上存在唯一实根，并满足，

当时，，即，当时，，即，

从而得函数上单调递减，在上单调递增，

即有，

则，

所以整数的最大值是3．