浙江省台州市八校联盟2022-2023学年高一数学下学期期中联考试题（Word版附答案）

2022学年第二学期台州八校联盟期中联考

高一数学试题

选择题部分

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题给出的四个备选项中只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．

1．已知复数是纯虚数，则实数（    ）．

A．0    B．2    C．－1     D．1

2．如图，在中，，若，，则（    ）．

A．   B．   C．    D．

3．已知空间中点A，B，直线l，平面α，若，，，，则下列结论正确的是（    ）．

A．   B．l与ɑ相交   C．    D．以上都有可能

4．在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，，，则（    ）．

A．    B．2    C．     D．1

5．如图，已知一个直四棱柱的侧棱长为6，底面是对角线长分别是9和13的菱形，则这个四棱柱的侧面积是（    ）．

A．   B．   C．    D．

6．在中，M为边BC上的任意一点，点N在线段AM上，且满足，若，，则的值为（    ）．

A．    B．    C．1     D．4

7．如图，在圆C中，，点A，B在圆上，，则的值为（    ）．

A．25    B．8    C．10     D．16

8．已知四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，平面过PB，BC，PD的中点，则下列关于平面截四棱锥所得的截面正确的为（    ）．

A．所得截面是正五边形     B．截面过棱PA的三等分点

C．所得截面面积为     D．截面不经过CD中点

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错或不选的得0分．

9．已知复数，，下列结论正确的有（    ）．

A．       B．若，则的最大值为

C．       D．在复平面内对应的点在第二象限

10．在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，，则使此三角形有两解的a的值可以是（    ）．

A．5    B．   C．8     D．

11．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其外接圆半径为R，下列结论正确的有（    ）．

A．若，，则   B．若，则可能是直角三角形

C．若，则     D．若，则是直角三角形

12．如图，圆锥底面的直径为3，，E为PB的中点，则下列说法正确的有（    ）．

A．圆锥的体积为

B．圆锥内切球的半径为

C．过P截圆锥所得截面面积最大为

D．A点沿圆锥表面到E的最短路经长为

非选择题部分

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知向量，，，若，则______．

14．已知复数z满足，则的取值范围为______．

15．已知圆柱体的底面半径为，高为，一只蜗牛从圆柱体底部开始爬行，绕圆柱体4圈到达顶部，则蜗牛爬行的最短路径长为______．

16．在中，，，，对任意，有恒成立，点P是直线BA上，则的最小值是______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）已知i为虚数单位，复数

（1）当实数m取何值时，z是纯虚数；

（2）若，求的值．

18．（本小题满分14分）已知在中，角A，B，C，所对的边为a，b，c，若．

（1）求角C的大小；

（2）若，求面积的最大值．

19．（小题满分14分）台州黄岩被誉为“模具之乡”，为市场对球形冰淇淋的需求，特地制作了一款中空的正三棱柱模具，其内壁恰好是球体的表面，且内壁与棱柱的每一个面都相切（内壁厚度忽略不计），店家可以将不同口味的冰淇淋放入该模具中，再通过按压的方式得到球形冰淇淋。已知该模具底部边长为3cm．

（1）求内壁的面积；

（2）求制作该模具所需材料的体积；

（3）求模具顶点到内壁的最短距离．

20．（本小题满分15分）已知在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且满足．

（1）判断角B与角C的关系，并说明理由；

（2）若，求的范围．

21．（本小题满分15分）如图，梯形ABCD，，，E为BC的中点，F是AD上的任意一点，设．

（1）当F是AD的三等分点时，试用向量，表示向量；

（2）若，求证：的最小值与t无关．

2022学年第二学期台州八校联盟期中联考

高一年级数学学科  参考答案

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每个小题给出的四个备选项中只有一项是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错或不选的得0分．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．  14．  15．  16．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．答案

（1）0  （2）

解析

（1）因为z是纯虚数，则解得所以．

（2）当时，则

．

18．答案（1）  （2）

解析

（1）由正弦定理及得

由余弦定理得

又因为，所以．

（2）由（1）得，又，得

又因为可得

所以，

当时取得等号所以的面积最大值为．

19．答案（1）  （2）  （3）

解析

（1）由题意得：内壁的面积就等于内切球的表面积

如图过侧棱的中点作正三棱柱的截面，则球心为的中心

因为，所以内切圆的半径

即内切球的半径，所以内切球的表面积，

（2）由题意得：模型的体积就等于棱柱的体积减去内切球的体积

由（1）得正三棱柱的高

因为，

所以

（3）

由（3）得

所以

所以A到球面上的点的距离最小值为

20．答案：（1）  （2）

解析：（1）证：∵

∴

∵

∴

∴或

∵  ∴

（2）由（1知：，∴

∵，∴，

21．答案（1）或

（2），

解析：

（1）方法一：连接FC，FD，如图

因为，所以

因为FE是的中位线，

所以

当时，．