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    浙江省台州市八校联盟2022-2023学年高二数学下学期期中联考试题(Word版附解析)
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    浙江省台州市八校联盟2022-2023学年高二数学下学期期中联考试题(Word版附解析)

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    这是一份浙江省台州市八校联盟2022-2023学年高二数学下学期期中联考试题(Word版附解析),共16页。试卷主要包含了考试结束后,只需上交答题纸, 设常数,展开式中的系数为,则等内容,欢迎下载使用。

    2022学年第二学期台州八校联盟期中联考

    高二年级数学试题

    考生须知:

    1.本卷共4页满分150分,考试时间120分钟.

    2.答题前,在答题指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.

    3.所有答案必须写在答题纸上,写在试卷上无效.

    4.考试结束后,只需上交答题纸.

    选择题部分

    一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)

    1. 曲线在点处的切线的倾斜角为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】由导数的几何意义求解即可.

    【详解】因为,所以

    设线在点处的切线的倾斜角为

    由导数的几何意义知,即.

    所以曲线在点处的切线的倾斜角为.

    故选:B.

    2.    

    A. 22 B. 24 C. 66 D. 68

    【答案】A

    【解析】

    【分析】由排列数公式和组合数公式计算可得答案.

    【详解】.

    故选:A.

    3. 已知随机变量X的分布列如下表,若,则   

    X

    3

    a

    P

    b

     

    A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

    【答案】C

    【解析】

    【分析】根据分布列的性质有,结合已知即可求参数.

    【详解】,故

    所以,即

    故选:C

    4. 一质点在单位圆上做匀速圆周运动,其位移满足的方程为,其中h表示位移(单位:m),t表示时间(单位:s),则质点在时的瞬时速度为(   

    A. sin2 m/s B. cos2 m/s C. 2sin2 m/s D. 2cos2 m/s

    【答案】D

    【解析】

    【分析】求出可求质点在时的瞬时速度,从而可得正确的选项.

    【详解】因为,所以

    所以质点在时的瞬时速度为2cos2 m/s

    故选:D.

    5. 某市新冠疫情封闭管理期间,为了更好的保障社区居民的日常生活,选派名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务,每人只能去一个地方,每地至少派一人,则不同的选派方案共有(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】A

    【解析】

    【分析】首先将名志愿者分成组,再分配到个社区.

    【详解】首先将名志愿者分成组,再分配到个社区,可分种情况,

    第一类:名志愿者分成,共有(种)选派方案,

    第二类:名志愿者分成,共有(种)选派方案,

    第三类:名志愿者分成,共有(种)选派方案,

    所以共(种)选派方案

    故选:A.

    6. 已知随机变量服从正态分布,若,则   

    A.  B.  C. 1 D. 4

    【答案】D

    【解析】

    【分析】根据已知条件,结合正态分布的对称性,求解即可.

    【详解】因为

    所以

    因为随机变量服从正态分布

    所以,解得:.

    故选:D.

    7. 设常数展开式中的系数为,则   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】利用二项式定理,先得出其通项,再待定系数求参数即可.

    【详解】展开式的通项为:

    由题意可得:当时,.

    故选:B

    8. 已知函数是定义在上的可导函数,,且,则不等式的解集为

    A.  B.  C.  D.

    【答案】A

    【解析】

    【分析】根据题设条件构造函数,根据已知不等式分析的单调性,再根据特殊值判断需满足的不等式,即可求出解集.

    【详解】可得

    ,则

    上为减函数,又由,可得.

    故选A.

    【点睛】常见的利用导数的不等关系构造函数的类型:

    1)若已知,可构造函数:分析问题;

    2)若已知,可构造函数:分析问题;

    3)若已知,可构造函数:分析问题;

    4)若已知,可构造函数:分析问题.

    二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)

    9. 的展开式中,下列结论正确的有(   

    A. 二项式系数之和为64 B. 所有项的系数之和为1

    C. 常数项为160 D. 所有项系数的绝对值之和为729

    【答案】ABD

    【解析】

    【分析】A:二项式系数之和为,直接代入即可.

    B:所有项的系数之和只需代入,即可求得.

    C:展开式中常数项可利用通项,令的指数为0可得.

    D:所有项系数的绝对值之和,可利用通项计算每一项系数,再相加.

    【详解】对于A:二项式系数之和为,所以A正确;

    对于B:令,得,所以所有项的系数之和为1,故B正确;

    对于C:通项为,由,得,所以,故C错误.

    对于D:因,所以所有项系数的绝对值之和为,故D正确.

    故选:ABD

    10. 已知e是自然对数的底数,则下列不等关系中正确的是(   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】BD

    【解析】

    【分析】构造函数,利用导函数判断函数的单调区间,再根据函数的单调性逐一判断即可.

    【详解】

    所以在区间递增;在区间递减,

    所以,即,即,故A错误;

    所以,即,即,故B正确;

    所以,即,即,故C错误;

    所以,即,即,故D正确.

    故选:BD.

    11. 某班组织由甲、乙、丙等5名同学参加的演讲比赛,现采用抽签法决定演讲顺序,记事件A学生甲不是第一个出场,学生乙不是最后一个出场,事件B学生丙最后一个出场,则下列结论中正确的是(   

    A. 事件A包含78个样本点 B.

    C.  D.

    【答案】AB

    【解析】

    【分析】利用分步分类计数,结合组合排列数求事件A、事件B、事件的样本点数,再应用古典概率求法求,最后由条件概率公式求.

    【详解】问题等价于5个人安排到5个座位,

    事件A:甲不在首位,乙不在末位,安排甲(除首位)到其中4个座位上,分两种情况:

    若甲不在末位有种,再安排乙有种,其它同学作全排有,共有

    若甲在末位有1种,余下同学(含乙)作全排有,共有

    所以,事件A包含78个样本点;

    事件B:除丙以外的其它同学作全排有

    事件:把丙安排在末位,再安排甲在中间3个位置有种,其它同学作全排有,共有

    5位同学所有可能安排有.

    所以,而

    综上,AB正确,CD错误.

    故选:AB

    12. 对于三次函数,给出定义:设是函数的导数,是函数的导数,若方程有实数解,则称为函数拐点.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有拐点;任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心.若函数,则(   

    A. 一定有两个极值点

    B. 函数R上单调递增

    C. 过点可以作曲线2条切线

    D. 时,

    【答案】BCD

    【解析】

    【分析】求导,得出,没有极值点,可判断AB;由导数的几何意义求过点的切线方程条数可判断C;求出三次函数的对称中心,由于函数的对称中心为,可得,由倒序相加法求出所给的式子的值,可判断D.

    【详解】由题意知恒成立,

    所以R上单调递增,没有极值点,A错误,B正确;

    设切点为,则

    切线方程为

    代入点

    ,解得

    所以切线方程为C正确;

    易知,令,则

    时,,所以点的对称中心,

    所以有,即

    所以

    所以D正确.

    故选:BCD.

    非选择题部分

    三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)

    13. 随机变量X服从二项分布,且,则p的值为___________.

    【答案】##0.25

    【解析】

    【分析】根据题意得到,再解方程组即可.

    【详解】由题知:.

    故答案为:

    14. 函数的单调递减区间为___________.

    【答案】

    【解析】

    【分析】通过求导,解导函数小于零的不等式解集即可.

    【详解】由题意得:,令.

    即函数的单调递减区间为.

    故答案为:

    15. 如果一个三位正整数如满足,且,则称这样的三位数为凹数(如201325等),那么由数字012345能组成___________个无重复数字的凹数.

    【答案】40

    【解析】

    【分析】讨论首位分别为12345,再依次安排中间位置上的数字,并求出对应凹数的个数,最后加总即可.

    【详解】当首位为1,中间位置为04个凹数;

    当首位为2,中间位置为04个凹数;中间位置为13个凹数;

    当首位为3,中间位置为04个凹数;中间位置为13个凹数;中间位置为22个凹数;

    当首位为4,中间位置为04个凹数;中间位置为13个凹数;中间位置为22个凹数;中间位置为31个凹数;

    当首位为5,中间位置为04个凹数;中间位置为13个凹数;中间位置为22个凹数;中间位置为31个凹数;

    综上,共有40个无重复数字的凹数.

    故答案为:40

    16. 已知函数,若恒成立,则实数的取值范围为___________.

    【答案】

    【解析】

    【分析】先证,当时,上单调递增,可得恒成立;当时,可得,即可求解结果.

    【详解】由题意可知,令

    时,;当时,

    所以上单调递减,在上单调递增,则恒成立;

    则当时,,即上单调递增,则恒成立,满足题意;

    时,由

    又因为且函数为奇函数,

    所以可得,解得,则

    综上,实数的取值范围为

    故答案为:

    四、解答题(本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

    17. 1)求方程中x的值(其中):

    2)已知,求的值.

    【答案】1;(2

    【解析】

    【分析】1)由排列组合数公式列方程求解即可;

    2)赋值法求得,即可求部分系数和.

    【详解】1)因,所以,解得.

    2)令,则;令,得

    所以.

    18. 已知函数时取得极值,在点处的切线的斜率为.

    1的解析式;

    2在区间上的单调区间和最值.

    【答案】1   

    2单调递减区间为,单调递增区间为.

    【解析】

    【分析】(1)求出函数的导数,根据给定条件建立方程组求解并验证作答.

    2)利用(1)中信息,利用导数求解函数的单调区间及最值作答.

    【小问1详解】

    对函数求导得:

    依题意,,解得:

    此时,,当时,,当时,,即时取得极值,

    所以的解析式是.

    【小问2详解】

    由(1)知,

    时,,当时,,即上递减,在上递增,

    ,而,因此

     所以在区间上的单调递减区间为,单调递增区间为.

    19. 4名男生、3名女生,全体排成一行,间下列情形各有多少种不同的排法:

    1甲、乙两人必须排在两端;

    2男女相间;

    3甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定.

    【答案】1240    2144   

    3840

    【解析】

    【分析】1)先排甲、乙,再排其余5人,根据分步计数原理即可求得答案;

    2)先排4名男,再利用插空法排女生,根据分步乘法计数原理即可得出答案;

    3)法一:首先求出7人排成一列的全排列,其中甲,乙,丙三人的排列顺序有,其中按照甲、乙、丙顺序的排法占全排列种数的,从而得出答案;法二:先排剩下的4人,从7个位置选出4个位置有种,再排甲、乙、丙即可.

    【小问1详解】

    先排甲、乙,再排其余5人,

    根据分步计数原理,共有种排法.

    【小问2详解】

    先排4名男生有种方法,

    再将3名女生插在男生形成的3个空上有种方法,

    根据分步计数原理,共有种排法.

    【小问3详解】

    法一:7人共有种排法,其中甲、乙、丙三人有种排法,

    因而在种排法中每种对应一种符合条件的排法,故共有种排法.

    法二:先排剩下的4人,从7个位置选出4个位置就有,再排甲、乙、丙有1种,则共有种排法.

    20. 已知函数.

    1,求曲线在处的切线方程;

    2恰有两个零点,求a的取值范围.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)利用导数的几何意义求曲线在处的切线方程;

    2)首先应用导数研究函数的单调性、值域,再由零点个数有求参数范围.

    【小问1详解】

    的定义域为

    ,则

    ,则,又,即切点为

    所求切线方程为.

    【小问2详解】

    得:,则

    单调递减,在单调递增,

    有两个零点,趋向于0趋向

    只需,即,可得

    综上,a的取值范围是.

    21. 某校从高三年级选拔一个班级代表学校参加学习强国知识大赛,经过层层选拔,甲、乙两个班级进入最后决赛,规定选手回答1道相关问题,根据最后的评判选择由哪个班级代表学校参加大赛.每个班级有5名选手,现从每个班级的5名选手中随机抽取3人回答这道问题.已知甲班的5人中只有3人可以正确回答这道题目,乙班的5人能正确回答这道题目的概率均为,甲、乙两个班每个人对问题的回答都是相互独立的.

    1求甲、乙两个班抽取的6人中至少有3人能正确回答这道题目的概率;

    2设甲班被抽取的选手中能正确回答题目的人数为X,求随机变量X的分布列与数学期望,并利用所学的知识分析由哪个班级代表学校参加大赛更好.

    【答案】1   

    2分布列见解析,,选择甲班代表学校参加比赛更好

    【解析】

    【分析】1)利用对立事件:甲、乙两个班抽取的6人中有1人或2人能正确回答,利用超几何分布和二项分布运算求解;(2)利用超几何分布和二项分布求分别求期望和方差,分析理解判断.

    【小问1详解】

    设甲、乙两个班抽取的6人中至少有3人能正确回答这道问题为事件A

    由于甲班5人中有3人可以正确回答这道题目,故从甲班中抽取的3人中至少有1人能正确回答这道题目

    故事件为甲、乙两个班抽取的6人中有1人或2人能正确回答,具体情况为甲班1人回答正确,其他5人回答错误或甲班2人回答正确,其他4人回答错误或甲、乙两班各1人回答正确,其他4人回答错误

    因为

    所以

    【小问2详解】

    X的所有可能取值为123

    所以X的分布列为

    X

    1

    2

    3

    P

    所以

    因为乙班能正确回答题目的人数

    所以,即

    因为

    所以甲、乙两个班级能正确回答题目的人数的期望相等,但甲班的方差小于乙班,

    所以选择甲班代表学校参加比赛更好.

    22. 已知函数

    1)求函数的极值;

    2)若,且对任意恒成立,求的最大值.

    【答案】1)无极大值;极小值是;(23

    【解析】

    【分析】(1)求出的定义域及导数,再利用导数正负讨论函数的极值即可得解;

    (2)利用恒成立的不等式分离参数,构造函数并探讨其最小值即可作答.

    【详解】1)函数的的定义域为

    即函数单调递减,在单调递增,

    所以的极小值是,无极大值;

    2)因为对任意恒成立,即对任意恒成立,

    ,则,令,则

    于是得函数上单调递增,而

    方程上存在唯一实根,并满足

    时,,即,当时,,即

    从而得函数上单调递减,在上单调递增,

    即有

    所以整数的最大值是3

     


     

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