2023年辽宁省本溪市一模数学试题

这是一份2023年辽宁省本溪市一模数学试题，共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年辽宁省本溪市一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
4．如图是由5个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小立方块的个数，则这个几何体的左视图是（    ）

A． B． C． D．
5．学校举办跳绳比赛，九年（2）班参加比赛的6名同学每分钟跳绳次数分别是172，169，180，182，175，176，这6个数据的中位数是（    ）
A．181 B．175 C．176 D．175.5
6．下列调查中，最适合采用全面调查的是（    ）
A．了解全国中学生的睡眠时间 B．了解某河流的水质情况
C．调查全班同学的视力情况 D．对某池塘中现有鱼的数量的调查
7．在一次函数中，y的值随x值的增大而增大，且，则点在（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．下列命题中，是真命题的有（    ）
①对角线相等且互相平分的四边形是矩形
②对角线互相垂直的四边形是菱形
③对角线互相平分的四边形是平行四边形
④对角线相等的菱形是正方形
A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④
9．如图，已知点B，D，C在同一直线的水平，在点C处测得建筑物的顶端A的仰角为，在点D处测得建筑物的顶端A的仰角为，则建筑物的高度为（    ）

A． B． C． D．
10．如图，在中，，，点D是边上的一点，交于点E，将沿翻折得到，设的长为x，与四边形重叠部分的面积为S，则S与x之间的函数关系的图象大致是（    ）

A． B． C． D．

二、填空题
11．据国家统计局发布的数据显示：截至年末全国人口总数为人，比上年末减少万人，将数据用科学记数法可表示为________．
12．若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是_______．
13．将一副直角三角板如图放置，已知，则的度数是________．

14．由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C，D都在格点上，，则的值为________．

15．一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是________．

16．反比例函数的图象与一次函数的图象交于点A、B，其中点A、B的坐标为、，则的面积________．
17．如图，是矩形的对角线，且，点E为边上一动点（点E不与点A重合），将沿折叠得到，若的一边恰好与对角线平行，则的度数为________．

18．如图，菱形的边长为2，，点E在线段的延长线上，将射线绕点A逆时针旋转交的延长线于点F，设，则y与x之间的函数关系式的为________．


三、解答题
19．先化简，再求值：请在，2，3中选择一个适当的数作为的值．
20．为丰富学生课余活动，某中学组建了：A声乐类、B舞蹈类、C书法类、D摄影类四类学生活动社团，要求每人必须参加且只参加一类活动，学校随机抽取部分学生进行调查，以了解学生参团情况，根据调查结果给制了两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息，解决下列问题：

(1)本次调查的学生共有 人；扇形统计图中，区域A所对应的扇形圆心角的度数是 ；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)该中学共有学生2400人，请估算该校参与声乐类和书法类社团的学生总人数；
(4)校园艺术节到了，学校将从符合条件的4名社团学生（男女各2名）中随机选择两名学生担任开幕式主持人．请用列表或画树状图的方法，求恰好选中1名男生和1名女生的概率．
21．在学校开展“劳动创造美好生活”主题系列活动中，九年级（1）班计划购买绿萝和吊兰两种花卉进行养护，同学们约定每人养护一盆绿植，若购买绿萝2盆和吊兰3盆，需36元；若购买绿萝1盆和吊兰2盆，需21元．
(1)求购买1盆绿萝和1盆吊兰各需多少元？
(2)若九年级（1）班共有48人参加绿植养护活动，且计划购买绿植费用不超过378元．那么该班级最多有多少人养护绿萝？
22．小明和小华利用阳光下的影子来测量风车叶片的长，如图是风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布（），水平地面上的点M在旋转中心O的正下方，且米．在某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片，此时太阳光线与地面夹角为（即）．风车叶片的影子在点M右侧成线段，测得米，其中M、Q、P在同一直线上，图中所有点都在同一平面内，求风车叶片的长．（结果精确到0.1米；参考数据：）

23．某超市销售成本为每千克10元的某种水果，在销售过程中发现，每天销售量y千克与每千克售价x元之间满足一次函数关系（其中，且x为整数）．当每千克的售价是12元时，每天销售量为90千克；当每千克的售价是14元时，每天销售量为80千克．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该超市若想获得320元的利润，应将售价定为每千克多少元？
(3)当每千克的售价定为多少元时，超市销售该水果每天销售利润最大，最大利润是多少元？
24．如图，是⊙O的直径，是弦，，与交于点F，点E是的延长线上，且．

(1)判断与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若，求阴影部分的面积．
25．如图，是等边三角形，点D是射线上的一动点（不与点A，B重合），连接，在的右侧以为斜边作，且，交于点F．

(1)如图1，当点D是边的中点时，线段与线段的数量关系是 ；
(2)如图2，当点D是边上任意一点时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)若，当，请直接写出的长．
26．如图，抛物线经过点，，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，若点E是直线上方抛物线上的点，轴于点G，交于点F，当时，求点E的坐标；
(3)如图②，点在线段上，点Q线段上，且．以为边作矩形，使点M在y轴上，直接写出当m为何值时，恰好有矩形的顶点落在抛物线上．

参考答案：
1．C
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，根据相反数的定义即可得到答案．
【详解】解：的相反数是．
故选：C
【点睛】此题考查了相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2．C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B错误；
C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C正确；
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
3．A
【分析】根据零次幂定义，合并同类项法则，同底数幂除法及幂的乘方法则分别计算判断．
【详解】解：A、，原计算正确，故符合题意；
B、，原计算错误，故不符合题意；
C、，原计算错误，故不符合题意；
D、，原计算错误，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查了整式的计算，正确掌握零次幂定义，合并同类项法则，同底数幂除法及幂的乘方法则是解题的关键．
4．D
【分析】先从俯视图和上面的数字来还原几何体，再从还原的几何体中得出左视图.
【详解】解：从俯视图及上面的数字可以得出：
从左边看，能看到该几何体有2列，左列有2层，右列有1层，

故选：D.
【点睛】本题考查了三视图，掌握三视图的概念和观察方法是解题的关键，易错点是不注意左右顺序导致错误.
5．D
【分析】先将这6个数从小到大进行排序，找出排在中间的两个数，求出这两个数的平均数，即为这组数据的中位数．
【详解】解：将172，169，180，182，175，176从小到大进行排序为：169，172，175，176，180，182，排在中间的两个数为175，176，
∴这6个数据的中位数为，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了求一组数据的中位数，解题的关键是将这组数据从小到大进行排序，找出排在中间的一个数或两个数，注意偶数个时是求中间两个数的平均数．
6．C
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【详解】解：．了解全国中学生的睡眠时间，适合进行抽样调查，故本选项不合题意；
．了解某河流的水质情况，适合进行抽样调查，故本选项不合题意；
．调查全班同学的视力情况，适合进行全面调查，故本选项符合题意；
．对某池塘中现有鱼的数量的调查，适合进行抽样调查，故本选项不合题意；
故选：．
【点睛】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
7．D
【分析】根据一次函数的性质求出a的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断P点所处的象限即可．
【详解】解：∵在一次函数中，y的值随x值的增大而增大，
∴，
又∵，
∴，
∴点在第四象限，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．
8．B
【分析】直接利用矩形、菱形、平行四边形、以及正方形的判定方法分别分析进而得出答案即可．
【详解】解：①对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故①正确；
②对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故②错误；
③对角线互相平分的四边形是平行四边形，故③正确；
④对角线相等的菱形是正方形，故④正确，
综上所述正确的有①③④，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理，正确掌握特殊四边形的判定方法是解答本题的关键．
9．A
【分析】设，利用正切值表示出和的长，从而列出等式，解得即可．
【详解】解：设，
在中，，
∴，
∴
在中，，
解得，
故选：A．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用——仰角和俯角，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
10．A
【分析】设的长为a，当时，在外，表示出，当时，点在内部包括在边上，表示出，根据解析式判定图象的位置即可得解．
【详解】解：设的长为a，在中，，
如图①，当时，在外，
∵，
∴，
由翻折性质可知,，
∴，
∴，
∴，
由翻折性质可知,，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴




如图②当时，点在内部包括在边上，此时和重合部分是完整的，由翻折性质知
∵
∴
∴
∴
∴

∴
故图象先增后减，只有A符合
故选A．
【点睛】本题考查了折叠问题、平行线分线段成比例、等腰三角形的判定与性质和锐角三角函数的定义、二次函数的图象与性质，难度较大，熟练掌握相关知识是解答的关键．
11．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．据此可得出结果．
【详解】解： ．
故答案为．
【点睛】此题主要考查科学记数法的表示方法．正确确定的值以及的值是本题的关键．
12．1
【分析】一元二次方程有两个相等的实数根，则判别式△=0，且二次项系数不为零即可求得m的值．
【详解】解：依题意，有：△=4-4m=0且m≠0，
解得m=1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
13．/75度
【分析】根据平行线的性质可得，根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，
，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
14．/
【分析】根据菱形的性质证明都是等边三角形，求得，利用等边对等角求得，据此即可求解．
【详解】解：∵四边形都是菱形，，

∴都是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定、锐角三角函数，熟练掌握相关理论是解答关键．
15．/0.25
【分析】先求出黑色地板在整个地板中所占的比值，再根据其比值得到所求概率．
【详解】由图可知，黑色地板有：，共块地板，
∴黑色地板在整个地板中所占的比值为：，
∴小球停留在黑色区域的概率为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查几何概率，解题的关键是掌握：几何概率等于相应面积与总面积之比．
16．
【分析】将点A的坐标代入可确定反比例函数关系式，进而确定点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数关系式；求出直线与y轴交点D的坐标，确定的长，再根据三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为，
∴、，
把代入得，
∴，
∴直线的解析式为，
直线与y轴的交点，
∴，
∴．
故答案为：．
．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的交点，把点的坐标代入函数关系式是解决问题常用的方法．
17．或
【分析】分和两种情况，根据翻折和平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，如图，






由折叠得，，
；
当时，如图，

∴，
由折叠得，；
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行线的性质以及图形的翻折，进行正确分类是解答本题的关键．
18．
【分析】连接，证明，得出，即可得出，求出结果即可．
【详解】解：连接，如图所示：

∵四边形为菱形，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
根据旋转可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质，三角形相似的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是作出辅助线，构造相似三角形，证明．
19．，时，原式
【分析】利用分式的混合运算，化简原式，再把的值代入化简后的式子，计算即可．
【详解】解：



．
∵且，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值：先把各分式的分子或分母因式分解，再进行约分，接着进行分式的加减运算，得到最简分式或整式（若有括号，先把括号内通分，除法运算转化为乘法运算）；然后把满足条件的字母的值代入进行计算得到对应分式的值．熟练掌握分式的化简求值方法是本题的关键．
20．(1)50，
(2)见解析
(3)该校参与声乐类和书法类社团的学生总人数约有1440人
(4)

【分析】（1）利用C类人数除以所占百分比可得调查的学生人数；用乘以A类所占的百分比，可得区域A所对应的扇形圆心角的度数；
（2）根据总数计算出B类的人数，然后再补图；
（3）利用样本估计总体的方法计算即可；
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出恰好选中1名男生和1名女生的结果数，然后利用概率公式求解．
【详解】（1）解：本次调查的学生总数：（人），
区域A所对应的扇形圆心角的度数：，
故答案为：50，；
（2）解：（人），
补全条形统计图如图：

（3）解：（人），
答：该校参与声乐类和书法类社团的学生总人数约有1440人；
（4）解：用，表示男同学，，表示女同学，列表得：







（，）
（，）
（，）

（，）

（，）
（，）

（，）
（，）

（，）

（，）
（，）
（，）

共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中选中1名男生和1名女生担任开幕式主持人的有8种，所以选中1名男生和1名女生担任开幕式主持人的概率是：．
【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用，列表法与画树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法与画树状图法求概率的方法：先利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
21．(1)绿萝单价为9元，吊兰单价为6元
(2)该班级最多有30人养护绿萝

【分析】（1）设购买绿萝单价为x元，吊兰单价为y元，根据购买绿萝2盆和吊兰3盆，需36元；若购买绿萝1盆和吊兰2盆，需21元列出方程组，解方程组即可；
（2）设九年级（1）班有m人养护绿萝，则有人养护吊兰，根据购买绿植费用不超过378元列出不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设购买绿萝单价为x元，吊兰单价为y元，根据题意得：
，
解得：，
答：绿萝单价为9元，吊兰单价为6元．
（2）解：设九年级（1）班有m人养护绿萝，则有人养护吊兰，根据题意得：
，
，
答：该班级最多有30人养护绿萝．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系列出方程和不等式．
22．风车叶片的长约为
【分析】为构造一个直角三角形，可以过点Q作，同时得到，解和就可以求出的长．
【详解】解：过点Q作于点H，得矩形，

∴
在中，，
∵
∴．
∵
∴，
在中，，
∴
∴，
∵
∴
答：风车叶片的长约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，恰当构造直角三角形并正确解直角三角形是解题的关键．
23．(1)y与x之间的函数关系式为
(2)将售价定为每千克14元
(3)当每千克的售价定为15元时，超市销售该水果每天销售利润最大，最大利润是375元

【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法求解析式即可；
（2）根据销售数量乘以每千克的利润等于总利润列方程求解即可；
（3）设每天的销售利润为w元，列函数关系式，根据二次函数的性质解答．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，根据题意，得：
∴，
解得，
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）∵
∴
∴
∴

∴只取
答：将售价定为每千克14元．
（3）设每天的销售利润为w元，则有：



∵，
∴开口向下，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，且x为整数．
∴当时，w有最大值，最大值为375元．
答：当每千克的售价定为15元时，超市销售该水果每天销售利润最大，最大利润是375元．
【点睛】此题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．
24．(1)为⊙O的切线，证明见解析
(2)阴影部分的面积为

【分析】（1）连接，根据圆心角的性质得出，再利用三角形内角和和等腰三角形的性质得出即可；
（2）利用勾股定理求出圆的半径，再用扇形面积减去三角形面积即可．
【详解】（1）解：为⊙O的切线
证明：连接．
∵
∴
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴为⊙O的切线

（2）解：∵，
∴，
设⊙O的半径为r，则．
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
，
∵，
∴，
答：阴影部分的面积为，
【点睛】本题考查了切线的证明和扇形面积，解题关键是熟练运用切线的判定定理和等腰三角形的性质以及扇形面积公式进行证明和计算．
25．(1)
(2)成立，证明见解析
(3)或

【分析】（1）由已知、根据等腰三角形'三线合一得： ，，从而可得：、再根据直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半进而可得出结果；
（2）在边上截取，连接，先证明是等边三角形，再证明 ，即可得出结论；
（3）分类讨论：当点D 是边上一点时，当点D是延长线上一点时，分别画出图形，求出的长即可．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，，
∴，，，
在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：成立；理由如下：
在边上截取，连接，如图所示：

∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴；
（3）解：当点D 是边上一点时，过点D作于点H，如图所示：

则，
根据解析（2）可知，，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
解：，
∴；
当点D是延长线上一点时，过点D作于点H，作，交于点G，如图所示：

则，
根据（2）中结论可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴





，
∴．
综上所述：或．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，直角三角形的性质，相似三角形的性质和判定，分类讨论的思想方法，熟练运用分类讨论的思想方法是本题的关键．
26．(1)
(2)
(3)

【分析】(1)把点，代入解析式，解方程组即可．
（2）过点C作于点N，确定直线的解析式，利用正切函数表示点，后代入解析式计算即可．
（3）运用分类思想，平移思想，结合函数的解析式计算即可．
【详解】（1）∵点，，
∴，
∴
∴．
（2）过点C作于点N，
∵，，
设的解析式为，
∴，
解得，
∴的解析式为，

设


在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴（舍），，
∴，
∴．
（3）当点P与原点重合时，点Q与点B重合，点M与点C重合，构造矩形如下，此时符合题意，

故；
当点P与点B重合时，点Q与点C重合，构造矩形如下，此时符合题意，
∵，

故；
当点N在抛物线上，构造矩形如下，此时符合题意，
过点Q作于点D，
∵，，
∴，
∴，

∵，且，
∴，，
∴
故点经过向右平移个单位，再向上平移m个单位得到．
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，
故点经过向右平移个单位，再向上平移m个单位得到．
∵在抛物线上，
∴，
整理得，
解得（舍去），
故；
当点N在抛物线上，构造矩形如下，此时符合题意，
过点Q作于点D，
∵，，
∴，
∴，

∵，且，
∴，，，
∴
故点经过向左平移个单位，再向上平移m个单位得到．
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，
故点经过向左平移个单位，再向上平移m个单位得到．
∵在抛物线上，
∴，
整理得，
解得（舍去），
故；
综上所述，．
【点睛】本题考查了抛物线解析式的确定，正切函数，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，平移思想的应用，熟练掌握待定系数法，正切函数，平移思想是解题的关键．