江苏省南通市崇川区东方中学2021-2022学年九年级（下）第一次月考数学试卷(解析版)

这是一份江苏省南通市崇川区东方中学2021-2022学年九年级（下）第一次月考数学试卷(解析版)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省南通市崇川区东方中学九年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题
1．﹣5的倒数是（　　）
A． B．﹣ C．﹣5 D．5
2．函数中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥2 B．x≥﹣1 C．x≤1 D．x≠1
3．已知一组数据：21，23，25，25，26，这组数据的平均数和中位数分别是（　　）
A．24，25 B．24，24 C．25，24 D．25，25
4．已知某种新型感冒病毒的直径为0.000 000 785米，将0.000 000 785用科学记数法表示为（　　）
A．0.785×10﹣6 B．0.785×10﹣7 C．7.85×10﹣6 D．7.85×10﹣7
5．正十边形的每一个外角的度数为（　　）
A．36° B．30° C．144° D．150°
6．下列条件中，能判定▱ABCD是矩形的是（　　）
A．AC＝BD B．AB⊥BD C．AD＝BD D．AC⊥BD
7．下列选项错误的是（　　）
A．cos60°＝ B．a2•a3＝a5
C． D．2（x﹣2y）＝2x﹣2y
8．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，连接OC与半圆相交于点D，则CD的长为（　　）

A．2 B．3 C．1 D．2.5
9．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为2：3，甲、乙两车离AB中点C的路程y（千米）与甲车出发时间t（时）的关系图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　）

A．乙车的速度为90千米/时
B．a的值为
C．b的值为150
D．当甲、乙车相距30千米时，甲行走了h或h
10．如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∠BAC＝90°，△ABD，△ACE，△BFC都是等边三角形，则四边形ADFE面积的最大值是（　　）

A．12.5 B．6 C．25.5 D．12.25
二、填空题
11．因式分解：ab2﹣2ab+a＝　 　．
12．已知圆锥的底面半径为1cm，高为cm，则它的侧面展开图的面积为＝　 　cm2．
13．如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝　 　．

14．不等式组的解集为　 　．
15．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部8m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪CD的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为　 　m．（结果精确到个位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

16．若x1，x2是方程x2＝2x+2021的两个实数根，则代数式x1（x12﹣2x1）+2021x2的值为　 　．
17．如图，在四边形ABCD中（AB＞CD），∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若，则线段DE的长度为 　 　．

18．如图，已知点A在反比例函数上，点B，C在x轴上，使得∠ABC＝90°，点D在线段AC上也在反比例函数的图象上，且满足2CD＝3AD，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为6，则k的值为 　 　．

三、解答题
19．（1）；
（2）．
20．如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
求证：（1）△ABF≌△DCE；
（2）AF∥DE．

21．小李2014年参加工作，每年年底都把本年度收入减去支出后的余额存入银行（存款利息记入收入），2014年底到2019年底，小李的银行存款余额变化情况如下表所示：（单位：万元）
年份
2014年
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
收入
3
8
9
a
14
18
支出
1
4
5
6
c
6
存款余额
2
6
10
15
b
34
（1）表格中a＝　 　；
（2）请把下面的条形统计图补充完整；（画图后标注相应的数据）
（3）请问小李在哪一年的支出最多？支出了多少万元？

22．现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是　 　；
（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
23．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB＝60°．
（1）求∠P的度数；
（2）若⊙O的半径长为4cm，求图中阴影部分的面积．

24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D在边AC上，将△ABD沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，连接AE．
（1）当AD＝2CD时，求证：点D是△ABE的外心；
（2）若△ADE与△BCD相似，求AE的长．

25．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件30元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件）
40
50
60
y（件）
10000
9500
9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于150元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（10≤m≤60），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出m的取值范围．
26．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．如函数y＝﹣x+4，当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝1，即当1≤x≤3时，恒有1≤y≤3，所以说函数y＝﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数”，同理函数y＝x也是闭区间[1，3]上的“闭函数”．
（1）反比例函数y＝是闭区间[1，2018]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）如果已知二次函数y＝x2﹣4x+k是闭区间[2，t]上的“闭函数”，求k和t的值；
（3）如果（2）所述的二次函数的图象交y轴于C点，A为此二次函数图象的顶点，B为直线x＝1上的一点，当△ABC为直角三角形时，写出点B的坐标．



参考答案
一、选择题
1．﹣5的倒数是（　　）
A． B．﹣ C．﹣5 D．5
【分析】根据倒数的定义进行解答即可．
解：∵（﹣5）×（﹣）＝1，
∴﹣5的倒数是﹣．
故选：B．
2．函数中自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥2 B．x≥﹣1 C．x≤1 D．x≠1
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
解：由题意得：x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
故选：B．
3．已知一组数据：21，23，25，25，26，这组数据的平均数和中位数分别是（　　）
A．24，25 B．24，24 C．25，24 D．25，25
【分析】根据平均数的计算公式和中位数的定义分别进行解答即可．
解：这组数据的平均数是：（21+23+25+25+26）÷5＝24；
把这组数据从小到大排列为：21，23，25，25，26，最中间的数是25，
则中位数是25；
故选：A．
4．已知某种新型感冒病毒的直径为0.000 000 785米，将0.000 000 785用科学记数法表示为（　　）
A．0.785×10﹣6 B．0.785×10﹣7 C．7.85×10﹣6 D．7.85×10﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.000 000 785＝7.85×10﹣7．
故选：D．
5．正十边形的每一个外角的度数为（　　）
A．36° B．30° C．144° D．150°
【分析】根据多边形的外角和为360°，再由正十边形的每一个外角都相等，进而求出每一个外角的度数．
解：正十边形的每一个外角都相等，
因此每一个外角为：360°÷10＝36°，
故选：A．
6．下列条件中，能判定▱ABCD是矩形的是（　　）
A．AC＝BD B．AB⊥BD C．AD＝BD D．AC⊥BD
【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可．
解：A、∵▱ABCD中，AC＝BD，
∴▱ABCD是矩形，故选项A符合题意；
B、▱ABCD中，AB⊥BD，不能判定▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；
C、▱ABCD中，AD＝BD，不能判定▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；
D、∵▱ABCD中，AC⊥BD，
∴▱ABCD是菱形，故选项D不符合题意；
故选：A．
7．下列选项错误的是（　　）
A．cos60°＝ B．a2•a3＝a5
C． D．2（x﹣2y）＝2x﹣2y
【分析】分别根据特殊角的三角函数值，同底数幂的乘法法则，二次根式的除法法则以及去括号法则逐一判断即可．
解：A．cos60°＝，故本选项不合题意；
B．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.2（x﹣2y）＝2x﹣4y，故本选项符合题意．
故选：D．
8．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，连接OC与半圆相交于点D，则CD的长为（　　）

A．2 B．3 C．1 D．2.5
【分析】设⊙O与AC相切于点E，连接OE，则OE⊥AC，由AB2＝AC2+BC2，证得∠C＝90°，即可证得OE∥BC，进一步证得E是AC的中点，即可得到AE＝4，根据三角形中位线定理求半径，然后根据直角三角形斜边中线的性质得出OC＝5，即可求得CD＝OC﹣OD＝2．
解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，则OE⊥AC，
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC，
∴OE∥BC，
∵AO＝OB，
∴AE＝EC＝AC＝4，
∵OA＝AB＝5，
∴OE＝BC＝3，
∴OD＝3，
在Rt△ABC中，OC是斜边AB上的中线，
∴OC＝AB＝5，
∴CD＝OC﹣OD＝5﹣3＝2．
故选：A．

9．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为2：3，甲、乙两车离AB中点C的路程y（千米）与甲车出发时间t（时）的关系图象如图所示，则下列说法不正确的是（　　）

A．乙车的速度为90千米/时
B．a的值为
C．b的值为150
D．当甲、乙车相距30千米时，甲行走了h或h
【分析】由两车相遇时甲、乙所走路程的比为2：3及两车相遇所用时间，即可求出A、B两地之间的距离，可判断C正确；由乙车的速度＝相遇时乙车行驶的路程÷两车相遇所用时间，即可求出乙车的速度，可判断A正确；求出甲车的速度，再根据时间＝两地之间路程的一半÷甲车的速度，即可求出a值，C正确；设出发xh甲、乙车相距30千米，分两种情况列方程解答即可得D错误，据此即可得出结论．
解：由已知得：A、B两地之间的距离为30×2÷（﹣）＝300（千米），
∴出发时，甲、乙两车离AB中点C的路程是300÷2＝150（千米），即b＝150，故C正确，不符合题意；
∴乙车的速度为（150+30）÷2＝90（千米/小时），故A正确，不符合题意；
而甲车的速度为（150﹣30）÷2＝60（千米/小时），
∴a的值为150÷60＝，故B正确，不符合题意；
设出发xh，甲、乙车相距30千米，
根据题意得：（90+60）x＝300﹣30或（90+60）x＝300+30，
解得：x＝或x＝，故D错误，符合题意．
故选：D．
10．如图，△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∠BAC＝90°，△ABD，△ACE，△BFC都是等边三角形，则四边形ADFE面积的最大值是（　　）

A．12.5 B．6 C．25.5 D．12.25
【分析】根据题中的等式关系可推出两组对边分别相等，从而可判断四边形AEFD为平行四边形．由勾股定理的逆定理判定∠BAC＝90°，则∠DAE＝150°，故易求∠FDA＝30°．所以由平行四边形的面积公式即可解答．
解：在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴∠BAC＝90°，
∵△ABD，△ACE都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠EAC＝60°，
∴∠DAE＝150°，
∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF+∠FBA＝∠ABC+∠ABF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC，
在△ABC与△DBF中，
，
∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC＝DF＝AE＝4，
同理可证△ABC≌△EFC，
∴AB＝EF＝AD＝3，
∴四边形DAEF是平行四边形，
∴∠FDA＝180°﹣∠DAE＝30°，

过A作AM⊥DF于M，
∵DA＝3，∠FDA＝30°，
∴AM＝DA＝1.5，
∴S▱AEFD＝AD•FM＝4×1.5＝6．
即四边形AEFD的面积是6．
故选：B．
二、填空题
11．因式分解：ab2﹣2ab+a＝　a（b﹣1）2　．
【分析】原式提取a，再运用完全平方公式分解即可．
解：原式＝a（b2﹣2b+1）＝a（b﹣1）2；
故答案为：a（b﹣1）2．
12．已知圆锥的底面半径为1cm，高为cm，则它的侧面展开图的面积为＝　2π　cm2．
【分析】先利用勾股定理求出圆锥的母线l的长，再利用圆锥的侧面积公式：S侧＝πrl计算即可．
解：根据题意可知，圆锥的底面半径r＝1cm，高h＝cm，
∴圆锥的母线l＝＝2（cm），
∴S侧＝πrl＝π×1×2＝2π（cm2）．
故答案为：2π．
13．如图，已知⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，则AB＝　2　．

【分析】根据圆内接四边形对角互补和同弧所对的圆心角是圆周角的二倍，可以求得∠AOB的度数，然后根据勾股定理即可求得AB的长．
解：设点D为优弧AB上一点，连接AD、BD、OA、OB，如右图所示，
∵⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝135°，
∴∠ADB＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∵OA＝OB＝2，
∴AB＝2，
故答案为：2．

14．不等式组的解集为　﹣3＜x≤　．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据口诀求出不等式组的解集即可．
解：解不等式3x+1≥5x，得：x≤，
解不等式＞﹣2，得：x＞﹣3，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤，
故答案为：﹣3＜x≤．
15．如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部8m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°．若测角仪CD的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为　11　m．（结果精确到个位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

【分析】根据题意，作辅助线DE⊥AB，然后根据锐角三角函数可以得到AE的长，从而可以求得AB的长，本题得以解决．
解：作DE⊥AB于点E，
由题意可得，DE＝CB＝8m，
∵∠ADE＝50°，
∴AE＝DE•tan50°≈8×1.19＝9.52（m），
∵BE＝CD＝1.5m，
∴AB＝AE+BE＝9.52+1.5＝11.02≈11（m），
故答案为：11．

16．若x1，x2是方程x2＝2x+2021的两个实数根，则代数式x1（x12﹣2x1）+2021x2的值为　4042　．
【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12﹣2x1＝2021，x1+x2＝2，代入原式＝2021（x1+x2）＝2021×2＝4042．
解：∵x1，x2是方程x2＝2x+2021的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x12﹣2x1＝2021，
则原式＝2021x1+2021x2
＝2021（x1+x2）
＝2021×2
＝4042．
故答案为：4042．
17．如图，在四边形ABCD中（AB＞CD），∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若，则线段DE的长度为 　　．

【分析】过点D作DM⊥CE，首先得到∠ACB＝60°，∠ECD＝30°，再根据折叠可得到∠AED＝∠EDM，设EM＝m，由折叠性质可知，EC＝CB，在直角三角形EDM中，根据勾股定理即可得DE的长．
解：如图，过点D作DM⊥CE，
由折叠可知：∠AEC＝∠B＝90°，
∴AE∥DM，
∴∠AED＝∠EDM，
∴tan∠AED＝tan∠EDM＝，

∵∠ACB＝60°，∠ECD＝30°，
设EM＝m，
由折叠性质可知，EC＝CB＝，
∴CM＝﹣m，
由翻折可知：∠ECA＝∠BCA＝60°，
∴∠ECD＝30°，
∴tan∠ECD＝＝，
∴DM＝（﹣m）×＝1﹣m，
∴tan∠EDM＝，
即＝，
解得，m＝，
∴DM＝，EM＝，
在直角三角形EDM中，DE2＝DM2+EM2，
解得，DE＝，
故答案为：．
18．如图，已知点A在反比例函数上，点B，C在x轴上，使得∠ABC＝90°，点D在线段AC上也在反比例函数的图象上，且满足2CD＝3AD，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为6，则k的值为 　﹣8　．

【分析】过点D作DH⊥x轴于点H，由∠ABC＝90°得DH∥AB，得证△ABC∽△DHC，CH：BH＝CD：AD＝3：2，设AB＝5b，DH＝3b，得到点A和点D的坐标，从而得到OB、BH，然后得到BC的长，再证明△BDH∽△BEO，求得OE的长，然后结合△BCE的面积列出方程求得k的取值．
解：如图，过点D作DH⊥x轴于点H，则∠DHC＝∠DHB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴DH∥AB，
∴△ABC∽△DHC，CH：BH＝CD：AD＝3：2，
∴＝，
设AB＝5b，DH＝3b，则点A的坐标为（，5b），点D的坐标为（，3b），
∴OB＝﹣，BH＝﹣＝﹣，
∴BC＝＝＝﹣，
∵∠DHB＝∠EOB＝90°，∠DBH＝∠EBO，
∴△BDH∽△BEO，
∴，即，
∴OE＝，
∴S△BCE＝＝﹣＝6，
∴k＝﹣8，
故答案为：﹣8．

三、解答题
19．（1）；
（2）．
【分析】（1）根据算术平方根、零指数幂和实数的运算法则计算．
（2）先化为同分母，再进行合并计算．
解：（1）
＝4+5+4﹣1
＝12．
（2）
＝
＝
＝．
20．如图，已知AB∥CD，AB＝CD，BE＝CF．
求证：（1）△ABF≌△DCE；
（2）AF∥DE．

【分析】（1）先由平行线的性质得∠B＝∠C，从而利用SAS判定△ABF≌△DCE；
（2）根据全等三角形的性质得∠AFB＝∠DEC，由等角的补角相等可得∠AFE＝∠DEF，再由平行线的判定可得结论．
【解答】证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠B＝∠C，
∵BE＝CF，
∴BE﹣EF＝CF﹣EF，
即BF＝CE，
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SAS）；
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠AFB＝∠DEC，
∴∠AFE＝∠DEF，
∴AF∥DE．
21．小李2014年参加工作，每年年底都把本年度收入减去支出后的余额存入银行（存款利息记入收入），2014年底到2019年底，小李的银行存款余额变化情况如下表所示：（单位：万元）
年份
2014年
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
收入
3
8
9
a
14
18
支出
1
4
5
6
c
6
存款余额
2
6
10
15
b
34
（1）表格中a＝　11　；
（2）请把下面的条形统计图补充完整；（画图后标注相应的数据）
（3）请问小李在哪一年的支出最多？支出了多少万元？

【分析】（1）本年度收入减去支出后的余额加上上一年存入银行的余额作为本年的余额，则可建立一元一次方程10+a﹣6＝15，然后解方程即可；
（2）根据题意得，再解方程组得到2018年的存款余额，然后补全条形统计图；
（3）利用（2）中c的值进行判断．
解：（1）10+a﹣6＝15，解得，a＝11，
故答案为：11；
（2）根据题意得，解得，，
即存款余额为22万元，
条形统计图补充为：

（3）小李在2018年的支出最多，支出了7万元．
22．现有4张正面分别写有数字1、2、3、4的卡片，将4张卡片的背面朝上，洗匀．
（1）若从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率是　　；
（2）若先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，求抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【分析】（1）根据概率公式计算；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数，然后根据概率公式计算．
解：（1）从中任意抽取1张，抽的卡片上的数字恰好为3的概率＝；
故答案为：；
（2）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的结果数为4，
所以抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数的概率＝＝．
23．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，∠ACB＝60°．
（1）求∠P的度数；
（2）若⊙O的半径长为4cm，求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）由PA与PB都为圆O的切线，利用切线的性质得到OA垂直于AP，OB垂直于BP，可得出两个角为直角，再由同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由已知∠C的度数求出∠AOB的度数，在四边形PAOB中，根据四边形的内角和定理即可求出∠P的度数．
（2）由S阴影＝2×（S△PAO﹣S扇形）则可求得结果．
解：连接OA、OB，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，OB⊥BP，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
又∵∠AOB＝2∠C＝120°，
∴∠P＝360°﹣（90°+90°+120°）＝60°．
∴∠P＝60°．
（2）连接OP，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴APB＝30°，
在Rt△APO中，tan30°＝，
∴AP＝＝＝4cm，
∴S阴影＝2S△AOP﹣S扇形＝2×（×4×﹣）＝（16﹣）（cm2）．

24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，点D在边AC上，将△ABD沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，连接AE．
（1）当AD＝2CD时，求证：点D是△ABE的外心；
（2）若△ADE与△BCD相似，求AE的长．

【分析】（1）根据含30度角的直角三角形求出AC的长，证明AD＝BD＝ED，即可得点D是△ABE的外心；
（2）根据相似三角形对应边的比相等列式，即可求出AE的长．
【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，
∴AB＝2，AC＝，
∵AD＝2CD，
∴CD＝AC＝，AD＝，
∵BD＝＝＝，
∴AD＝BD，
∵将△ABD沿直线BD翻折，
∴AD＝ED，
∴AD＝BD＝ED，
∴点D是△ABE的外心；
（2）解：如图，

∵△ADB沿直线BD翻折后点A落在点E处，
∴∠ABD＝∠EBD，AD＝DE，AB＝BE，
连接AE，
∵△ADE与△BCD相似，
∴∠ADE＝∠BCD＝90°，
∴AD⊥ED，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE＝45°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BAE＝30°+45°＝75°，
在△ABE中，∠ABE＝180°﹣2×75°＝30°，
∴∠ABD＝∠ABE＝×30°＝15°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABD＝60°﹣15°＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD＝BC＝1，
∵BC＝1，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC＝2×1＝2，
∴AC＝＝＝，
∴AD＝AC﹣CD＝﹣1，
∴AE＝AD＝（﹣1）．

25．一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件30元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量y（件）与售价x（元/件）（x为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据：
x（元/件）
40
50
60
y（件）
10000
9500
9000
（1）求y与x的函数关系式（不求自变量的取值范围）；
（2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？
（3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于150元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠m元（10≤m≤60），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请求出m的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式便可；
（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”列出x的不等式组，求得x的取值范围，再设利润为w元，由w＝（x﹣30）y，列出w关于x的二次函数，再根据二次函数的性质求出利润的最大值和售价；
（3）根据题意列出利润w关于售价x的函数解析式，再根据函数的性质，列出m的不等式进行解答便可．
解：（1）设y与x的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
把x＝40，y＝10000和x＝50，y＝9500代入得，
，
解得，，
∴y＝﹣50x+12000；
（2）根据“在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于150元/件．若某一周该商品的销售量不少于6000件，”得，
，
解得，30≤x≤120，
设利润为w元，根据题意得，
w＝（x﹣30）y
＝（x﹣30）（﹣50x+12000）
＝﹣50x2+13500x﹣360000
＝﹣50（x﹣135）2+551250，
∵﹣50＜0，
∴当x＜135时，w随x的增大而增大，
∵30≤x≤120，且x为正整数，
∴当x＝120时，w取最大值为：﹣50×（120﹣135）2+551250＝540000，
答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为540000元，售价为120元；
（3）根据题意得，w＝（x﹣30﹣m）（﹣50x+12000）
＝﹣50x2+（13500+50m）x﹣360000﹣12000m，
∴对称轴为直线x＝135+0.5m，
∵﹣50＜0，
∴当x＜135+0.5m时，w随x的增大而增大，
∵该商场这种商品售价不大于150元/件时，捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．
对称轴x＝135+0.5m，m大于等于10，则对称轴大于等于149，由于x取整数，
实际上x是二次函数的离散整数点，x取30，31，...149时利润一直增大，
只需保证x＝150时利润大于x＝149时即可满足要求，所以对称轴要大于149就可以了，
∴135+0.5m＞149.5，解得m＞29，
∵29＜m≤60，
∴29＜m≤60．
26．设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．如函数y＝﹣x+4，当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝1，即当1≤x≤3时，恒有1≤y≤3，所以说函数y＝﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数”，同理函数y＝x也是闭区间[1，3]上的“闭函数”．
（1）反比例函数y＝是闭区间[1，2018]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）如果已知二次函数y＝x2﹣4x+k是闭区间[2，t]上的“闭函数”，求k和t的值；
（3）如果（2）所述的二次函数的图象交y轴于C点，A为此二次函数图象的顶点，B为直线x＝1上的一点，当△ABC为直角三角形时，写出点B的坐标．

【分析】（1）由k＞0可知反比例函数y＝在闭区间[1，2016]上y随x的增大而减小，然后将x＝1，x＝2018别代入反比例解析式的解析式，从而可求得y的范围，于是可做出判断；
（2）先求得二次函数的对称轴为x＝1，a＝1＞0，根据二次函数的性质可知y＝x2﹣4x+k在闭区间[2，t]上y随x的增大而增大，然后将x＝2，y＝k﹣4，x＝t，y＝t2﹣4t+k分别代入二次函数的解析式，从而可求得k的值；
（3）根据勾股定理的逆定理，可得方程，根据解方程，可得答案．
解：（1）∵k＝2018，
∴当1≤x≤2018时，y随x的增大而减小．
∴当x＝1时，y＝2018，x＝2018时，y＝1．
∴1≤y≤2108．
∴反比例函数y＝是闭区间[1，2018]上的“闭函数”．
（2）∵x＝﹣＝2，a＝1＞0，
∴二次函数y＝x2﹣4x+k在闭区间[2，t]上y随x的增大而增大．
∵二次函数y＝x2﹣2x﹣k是闭区间[2，t]上的“闭函数”，
∴当x＝2时，y＝k﹣4，x＝t时，y＝t2﹣4t+k．
，
解得k＝6，t＝3，t＝2，
因为t＞2，
∴t＝2舍去，
∴t＝3．

（3）由二次函数的图象交y轴于C点，A为此二次函数图象的顶点，得
A（2，2），C（0，6）设B（1，t），
由勾股定理，得AC2＝22+（2﹣6）2，AB2＝（2﹣1）2+（2﹣t）2，BC2＝12+（t﹣6）2，
①当∠ABC＝90°时，AB2+BC2＝AC2，即
（2﹣1）2+（2﹣t）2+（t﹣6）2+1＝22+（2﹣6）2，
化简，得t2﹣8t+11＝0，解得t＝4+或t＝4﹣，
B（1，4+），（1，4﹣）；
②当∠BAC＝90°是，AB2+AC2＝BC2，
即（2﹣1）2+（2﹣t）2+22+（2﹣6）2＝12+（t﹣6）2，
化简，得8t＝12，
解得t＝，
B（1，），
③当∠ACB＝90°时，AC2+CB2＝AB2，
即22+（2﹣6）2+12+（t﹣6）2＝（2﹣1）2+（2﹣t）2，
化简，得2t＝13，
解得t＝，
B（1，），
综上所述：当△ABC为直角三角形时，点B的坐标（1，4+），（1，4﹣），（1，），（1，）．