数学七年级下册8.3 实际问题与二元一次方程组教学设计

8．3　实际问题与二元一次方程组

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

会用二元一次方程组解决实际问题．

【过程与方法】

在列方程组的建模过程中，强化方程的模型思想，培养学生列方程组解决现实问题的意识和应用能力．

【情感态度与价值观】

体会方程组是刻画现实世界的有关数学模型，培养应用数学的意识．在用方程组解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣．

二、重难点目标

【教学重点】

根据具体问题的数量关系，列二元一次方程组解决和差倍分、几何图形、增长率、盈亏、行程等实际问题．

【教学难点】

用方程(组)这样的数学模型刻画和解决实际问题，即数学建模的过程．

教学过程

环节1　自学提纲，生成问题

【5 min阅读】

阅读教材P99～P101的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．列二元一次方程组解应用题的一般步骤：

(1)审：弄清题意和题目中的数量关系，找出题中的所有等量关系；

(2)设：设元，可以直接设，也可以间接设；

(3)列：根据等量关系列出方程组；

(4)解：解方程组，并检验所得的解是否符合题意；

(5)答：写出答案．

2．教材P99“探究1”答案：

解：能．设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料x kg和y kg.

根据两种情况的饲料用量，找出相等关系，

列方程组

解这个方程组，得

这就是说，每头大牛1天约需饲料20 kg，每头小牛1天约需饲料5 kg.因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确，对小牛的食量估计偏多．

3．教材P99“探究2”答案：

解：如图，设甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形AEFD、BCFE、AE＝x cm，BE＝y cm.

根据题意，列方程组

解这个方程组，得

过长方形土地的长边上离一端80米处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大的一块土地种甲种作物，较小的一块土地种乙种作物．

4．教材P100“探究3”答案：

解：设制成x t产品，购买y t原料．

根据题意得下表：

题目所求数值是这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元，为此需先解出x与y.

由上表，列方程组

解这个方程组，得

因此，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多8000×300－1000×400－15 000－97 200＝1 887 800(元)．

环节2　合作探究，解决问题

活动1　小组讨论(师生互学)

【例1】A、B两码头相距140 km，一艘轮船在其间航行，顺水航行用了7 h，逆水航行用了10 h，求这艘轮船在静水中的速度和水流速度．

【互动探索】(引发学生思考)设这艘轮船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h.列表如下：

由上表得出等量关系，从而列方程组求解．

【解答】设这艘轮船在静水中的速度为x km/h，水流速度为y km/h.

由题意，得解得

即这艘轮船在静水中的速度为17 km/h，水流速度为3 km/h.

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题关键是明确各速度之间的关系：顺速＝静速＋水速，逆速＝静速－水速，由此结合公式“路程＝速度×时间”列方程组求解．

活动2　巩固练习(学生独学)

1．如图，四个形状、大小相同的长方形拼成一个大的长方形，如果大长方形的周长为280厘米，那么每块小长方形的面积是(　B　)

A．900平方厘米　 B．1200平方厘米

C．1600平方厘米　 D．1800平方厘米

2．某工厂第一车间比第二车间人数的少30人，如果从第二车间调出10人到第一车间，则第一车间的人数是第二车间的，则第一车间有170人，第二车间有250人．

3．木工厂有28人，2个工人一天可以加工3张桌子，3个工人一天可以加工10把椅子．现在如何安排劳动力，才能使生产的一张桌子与4把椅子配套？

解：设x个工人加工桌子，y个工人加工椅子．

根据题意，得解得

即10个工人加工桌子，18个工人加工椅子，才能使生产的一张桌子与4把椅子配套．

4．某学校组织学生乘汽车去自然保护区野营，先以60 km/h的速度走平路，后以30 km/h的速度爬坡，共用了6.5 h；原路返回时，汽车以40 km/h的速度下坡，又以50 km/h的速度走平路，共用了6 h．问平路和坡路各有多远？

解：设平路有x km，坡路有y km.

根据题意，得解得

即平路有150 km，坡路有120 km.

5．随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折．已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需660元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需5200元．

(1)打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？

(2)阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多少钱？

解：(1)设打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为x元、y元．

根据题意，得

解得

即打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．

(2)80×70×(1－80%)＋100×80×(1－75%)＝3120(元)．即打折后购买这批粽子比不打折节省了3120元．

活动3　拓展延伸(学生对学)

【例2】某商场计划用40 000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求．已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲型号手机每部1200元，乙型号手机每部400元，丙型号手机每部800元．

(1)若全部资金只用来购进其中两种不同型号的手机共40部，请你研究一下商场的进货方案；

(2)商场每销售一部甲型号手机可获利120元，每销售一部乙型号手机可获利80元，每销售一部丙型号手机可获利120元，那么在同时购进两种不同型号手机的几种方案中，哪种进货方案获利最多？

【互动探索】根据题意有三种购买方案：①甲、乙；②甲、丙；③乙、丙，由此根据所含等量关系求出每种方案的进货数．

【解答】(1)分类讨论：

①购甲、乙两种型号手机．

设购进甲型号手机x1部，乙型号手机y1部．

根据题意，得

解得

即购进甲型号手机30部，乙型号手机10部．

②购甲、丙两种型号手机．

设购进甲型号手机x2部，丙型号手机y2部．

根据题意，得

解得

即购进甲型号手机20部，丙型号手机20部．

③购乙、丙两种型号手机．

设购进乙型号手机x3部，丙型号手机y3部．

根据题意，得

解得

因为x3表示手机部数，只能为正整数，所以这种情况不合题意，应舍去．

综上所述，商场共有两种进货方案．

(方案一)购甲型号手机30部，乙型号手机10部；

(方案二)购甲型号手机20部，丙型号手机20部．

(2)方案一获利：120×30＋80×10＝4400(元)，

方案二获利：120×20＋120×20＝4800(元)．

所以，第二种进货方案获利最多．

【互动总结】(学生总结，老师点评)仔细读题，找出相等关系．当用含未知数的式子表示相等关系时，要注意不同型号的手机数量和单价要对应．

环节3　课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

练习设计

请完成本课时对应练习！