河南省濮阳市第三中学2022-2023学年八年级下学期期中质量检测数学试题

2022-2023学年河南省濮阳三中八年级（下）质检数学试卷

一、选择题

1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

2．（3分）下列计算正确的是（　　）

A． B． C． D．

3．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则另一个根和m的值分别为（　　）

A．﹣1，3 B．1，3 C．﹣3，4 D．3，﹣4

4．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）

A． B．且k≠1 C．k＜且k≠1 D．k＞

5．（3分）已知a＝+，b＝，则a与b的关系是（　　）

A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣5

6．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为（　　）

A．4 B． C．3 D．5

7．（3分）下列命题中真命题是（　　）

A．对角线互相垂直的四边形是菱形 

B．矩形的四条边相等 

C．对角线相等的四边形是矩形 

D．菱形的对角线互相垂直

8．（3分）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表．

（x+8）2﹣826＝0分析表格中的数据，估计方程的一个正数解x的大致范围（　　）

A．20.5＜x＜20.6 B．20.6＜x＜20.7 

C．20.7＜x＜20.8 D．20.8＜x＜20.9

9．（3分）如图，菱形ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，E为CD中点，连接OE，则OE的长是（　　）

A．3 B． C．6 D．9

10．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，点P、M分别是BD和BC上的动点，且点M与点B、C不重合，则PM+PC的最小值是（　　）

A．2 B．3 C． D．4

二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分）

11．（3分）要使代数式有意义，则x的取值范围是　             　．

12．（3分）在二次根式①，②，③，④中，与是同类二次根式的有　     　（只需要填写前面的序号即可）．

13．（3分）在一块长16m、宽12m的矩形土地上，要建造一个花园，使花园所占面积为矩形土地面积的一半，且花园周围的小路宽度相等，则小路的宽度为 　     　．

14．（3分）a是方程2x2＝x+4的一个根，则代数式4a2﹣2a的值是　   　．

15．（3分）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是　           　．

三、解答题（本题共计8小题，共计75分）

16．（8分）计算：

（1）﹣（4﹣）；

（2）（）（2﹣3÷）．

17．（10分）解下列方程：

（1）x2﹣5x﹣6＝0；

（2）4（x﹣3）2+x（x﹣3）＝0．

18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E．连接BD，EC：

（1）求证：四边形BECD是平行四边形；

（2）若∠A＝50°，则当∠BOD＝　      　°时，四边形BECD是矩形；

19．（9分）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”倡议等多重利好因素，我国某汽车零部件生产企业的利润逐年增高，据统计，2019年利润为2亿元，2021年利润为2.88亿元．

（1）求该企业从2019年至2021年利润的年均增长率；

（2）若2022年保持前两年利润的年均增长率不变，该企业2022年的利润能否超过3.4亿元？

20．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2＝0有两个不相等的实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若此方程的两实数根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝7，求m的值．

21．（10分）如图△ABC，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8．点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：

（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？

（2）△PBQ的面积会等于10cm2吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由．

22．（10分）阅读理解

阅读下列材料，然后解答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如：，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

＝＝；（一）

＝＝；（二）

＝＝＝﹣1；（三）

以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

还可以用以下方法化简：

＝＝＝＝﹣1．（四）

请解答下列问题：

（1）化简：；

（2）化简：++；

（3）猜想：+++…+的值．（直接写出结果）

23．（11分）下面是一种类比、拓展的探究案例，先阅读再解决后面的问题：

已知正方形ABCD，点M在是直线BC上一个动点，点N在直线DC上，且满足∠MAN＝45°，连接MN．

（1）如图1，当点M在边BC上时，求证：MN＝BM+DN．

请根据下面的思路分析填空：

延长线段CD至点E，使得DE＝BM，连接AE，根据正方形性质和作图可证△ABM≌　       　，得到AM＝AE，接着可证明△AMN≌　       　，可得出MN＝　     　，再由线段的加法可以得出MN＝BM+DN．

（2）如图2，当点M在边CB的延长线上，点N在DC的延长线上；

①猜想BM，DN，MN之间有怎样的数量关系？并证明你的猜想．

②若BC＝4，BM＝1，求CN．

参考答案

一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）

1．（3分）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．

解：A、＝3，故此选项错误；

B、无法化简，故此选项正确；

C、＝|x|，故此选项错误；

D、＝＝，故此选项错误；

故选：B．

【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确把握定义是解题关键．

2．（3分）下列计算正确的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据二次根式的加法法则，二次根式的减法法则，二次根式的乘法法则，二次根式的除法法则进行计算，再得出选项即可．

解：A．和不能合并，故本选项不符合题意；

B．2﹣＝，故本选项符合题意；

C．÷

＝

＝

＝2，故本选项不符合题意；

D．×＝＝3，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．

3．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0的一个根是1，则另一个根和m的值分别为（　　）

A．﹣1，3 B．1，3 C．﹣3，4 D．3，﹣4

【分析】设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得1+t＝﹣m，1×t＝3，然后求出t，再计算m的值．

解：设方程的另一个根为t，

根据根与系数的关系得1+t＝﹣m，1×t＝3，

解得t＝3，m＝﹣4，

即另一个根为3，m的值为﹣4．

故选：D．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．

4．（3分）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）

A． B．且k≠1 C．k＜且k≠1 D．k＞

【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k﹣1≠0且Δ＝12﹣4（k﹣1）≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．

解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝12﹣4（k﹣1）≥0，

解得k≤且k≠1．

故选：B．

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．

5．（3分）已知a＝+，b＝，则a与b的关系是（　　）

A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣5

【分析】根据平方差公式，可分母有理化，根据实数的大小比较，可得答案．

解：b＝＝＝+，a＝+，

故选：A．

【点评】本题考查了分母有理化，利用平方差公式将分母有理化是解题关键．

6．（3分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．若∠AOB＝60°，BD＝8，则AB的长为（　　）

A．4 B． C．3 D．5

【分析】先由矩形的性质得出OA＝OB，再证明△AOB是等边三角形，得出AB＝OB＝4即可．

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴OA＝AC，OB＝BD＝4，AC＝BD，

∴OA＝OB，

∵∠AOB＝60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴AB＝OB＝4；

故选：A．

【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．

7．（3分）下列命题中真命题是（　　）

A．对角线互相垂直的四边形是菱形 

B．矩形的四条边相等 

C．对角线相等的四边形是矩形 

D．菱形的对角线互相垂直

【分析】根据菱形、矩形的性质定理和判定定理逐项判断．

解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故A是假命题，不符合题意；

B、菱形的四条边相等，故B是假命题，不符合题意；

C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C是假命题，不符合题意；

D、菱形的对角线互相垂直，故D是真命题，符合题意

故选：D．

【点评】本题考查菱形、矩形的性质及判定，解题的关键是掌握菱形、矩形的性质定理和判定定理．

8．（3分）输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表．

（x+8）2﹣826＝0分析表格中的数据，估计方程的一个正数解x的大致范围（　　）

A．20.5＜x＜20.6 B．20.6＜x＜20.7 

C．20.7＜x＜20.8 D．20.8＜x＜20.9

【分析】利用表中的对应值得到x＝20.7时，（x+8）2﹣826＝﹣2.31＜0；当x＝20.8时，（x+8）2﹣826＝3.44＞0，所以当x在20.7～20.8之间取某一个数时，（x+8）2﹣826＝0，从而根据一元二次方程解的定义可得到方程的一个正数解x的大致范围．

解：∵当x＝20.7时，（x+8）2﹣826＝﹣2.31；当x＝20.8时，（x+8）2﹣826＝3.44，

∴当x在20.7～20.8之间取某一个数时，（x+8）2﹣826＝0，

∴估计方程的一个正数解x的大致范围为20.7＜x＜20.8．

故选：C．

【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．

9．（3分）如图，菱形ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，E为CD中点，连接OE，则OE的长是（　　）

A．3 B． C．6 D．9

【分析】由菱形的性质可先求得菱形的边长，再由三角形中位线定理可求得OE的长．

解：∵菱形ABCD的周长为36，

∴CD＝BC＝＝9，且O为BD的中点，

∵E为CD的中点，

∴OE为△BCD的中位线，

∴OE＝CB＝，

故选：B．

【点评】本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的四条边都相等、对角线互相垂直平分是解题的关键．

10．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，点P、M分别是BD和BC上的动点，且点M与点B、C不重合，则PM+PC的最小值是（　　）

A．2 B．3 C． D．4

【分析】连接AC，过点A作AM⊥BC，垂足为M，交BD于点P，根据菱形的性质可得BD垂直平分AC，从而可得PA＝PC，则PC+PM＝PA+PM，当A，P，M三点共线，且AM⊥BC时，PC+PM有最小值，然后在Rt△ABM中，进行计算即可解答．

解：连接AC，过点A作AM⊥BC，垂足为M，交BD于点P，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BD垂直平分AC，

∴PA＝PC，

∴PC+PM＝PA+PM＝AM，此时PM+PC有最小值，

在Rt△ABM中，AB＝4，∠ABC＝60°，

∴∠BAM＝90°﹣∠ABC＝30°，

∴BM＝AB＝2，

∴AM＝BM＝2，

∴PM+PC的最小值是2，

故选：C．

【点评】本题考查了菱形的性质，轴对称﹣最短路线问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分）

11．（3分）要使代数式有意义，则x的取值范围是　﹣2≤x＜3且x＞3　．

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．

解：由代数式有意义，得

．

解得﹣2≤x＜3且x＞3，

故答案为：﹣2≤x＜3且x＞3．

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

12．（3分）在二次根式①，②，③，④中，与是同类二次根式的有　②④　（只需要填写前面的序号即可）．

【分析】结合同类二次根式的概念：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．

解：①、＝3，与不是同类二次根式；

②、＝4，与是同类二次根式；

③、＝，与不是同类二次根式；

④、＝，与是同类二次根式．

故答案为：②④．

【点评】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握该知识点的概念：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．

13．（3分）在一块长16m、宽12m的矩形土地上，要建造一个花园，使花园所占面积为矩形土地面积的一半，且花园周围的小路宽度相等，则小路的宽度为 　2m　．

【分析】设小路的宽度为xm，则花园的长为（16﹣2x）m，宽为（12﹣2x）m，由题意：花园所占面积为矩形土地面积的一半，列出一元二次方程，解方程即可．

解：设小路的宽度为xm，则花园的长为（16﹣2x）m，宽为（12﹣2x）m，

由题意得：（16﹣2x）（12﹣2x）＝×16×12，

整理得：x2﹣14x+24＝0，

解得：x1＝2，x2＝12（不符合题意，舍去），

即小路的宽度为2m，

故答案为：2m．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

14．（3分）a是方程2x2＝x+4的一个根，则代数式4a2﹣2a的值是　8　．

【分析】直接把a的值代入得出2a2﹣a＝4，进而将原式变形得出答案．

解：∵a是方程2x2＝x+4的一个根，

∴2a2﹣a＝4，

∴4a2﹣2a＝2（2a2﹣a）＝2×4＝8．

故答案为：8．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键．

15．（3分）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是　30°或150°　．

【分析】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得．

解：如图1，

∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝AE＝DE，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∠AED＝∠ADE＝∠DAE＝60°，

∴∠BAE＝∠CDE＝150°，又AB＝AE，DC＝DE，

∴∠AEB＝∠CED＝15°，

则∠BEC＝∠AED﹣∠AEB﹣∠CED＝30°．

如图2，

∵△ADE是等边三角形，

∴AD＝DE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD＝DC，

∴DE＝DC，

∴∠CED＝∠ECD，

∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，

∴∠CED＝∠ECD＝（180°﹣30°）＝75°，

∴∠BEC＝360°﹣75°×2﹣60°＝150°．

故答案为：30°或150°．

【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．

三、解答题（本题共计8小题，共计75分）

16．（8分）计算：

（1）﹣（4﹣）；

（2）（）（2﹣3÷）．

【分析】（1）直接化简二次根式，进而合并得出答案；

（2）直接利用二次根式的混合运算法则化简，进而得出答案．

解：（1）原式＝2﹣3﹣（4×﹣2）

＝2﹣3﹣（2﹣2）

＝2﹣3﹣2+2

＝﹣；

（2）原式＝（+2）（2﹣﹣12÷）

＝（+2）（2﹣﹣8）

＝（+2）（﹣6﹣）

＝﹣42﹣24．

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．

17．（10分）解下列方程：

（1）x2﹣5x﹣6＝0；

（2）4（x﹣3）2+x（x﹣3）＝0．

【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为x﹣6＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可；

（2）利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或4x﹣12+x＝0，然后解两个一次方程即可．

解：（1）x2﹣5x﹣6＝0，

（x﹣6）（x+1）＝0，

x﹣6＝0或x+1＝0，

所以x1＝6，x2＝﹣1；

（2）4（x﹣3）2+x（x﹣3）＝0，

（x﹣3）（4x﹣12+x）＝0，

x﹣3＝0或4x﹣12+x＝0，

所以x1＝3，x2＝．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E．连接BD，EC：

（1）求证：四边形BECD是平行四边形；

（2）若∠A＝50°，则当∠BOD＝　100　°时，四边形BECD是矩形；

【分析】（1）由AAS证明△BOE≌△COD，得出OE＝OD，即可得出结论；

（2）由平行四边形的性质得出∠BCD＝∠A＝50°，由三角形的外角性质求出∠ODC＝∠BCD，得出OC＝OD，证出DE＝BC，即可得出结论．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB∥DC，AB＝CD，

∴∠OEB＝∠ODC，

又∵O为BC的中点，

∴BO＝CO，

在△BOE和△COD中，

∴△BOE≌△COD（AAS），

∴OE＝OD，

∴四边形BECD是平行四边形；

（2）解：若∠A＝50°，则当∠BOD＝100°时，四边形BECD是矩形．理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠BCD＝∠A＝50°，

∵∠BOD＝∠BCD+∠ODC，

∴∠ODC＝100°﹣50°＝50°＝∠BCD，

∴OC＝OD，

∵BO＝CO，OD＝OE，

∴DE＝BC，

∵四边形BECD是平行四边形，

∴四边形BECD是矩形；

故答案为：100．

【点评】本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．

19．（9分）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”倡议等多重利好因素，我国某汽车零部件生产企业的利润逐年增高，据统计，2019年利润为2亿元，2021年利润为2.88亿元．

（1）求该企业从2019年至2021年利润的年均增长率；

（2）若2022年保持前两年利润的年均增长率不变，该企业2022年的利润能否超过3.4亿元？

【分析】（1）设该企业从2019年至2021年利润的年均增长率为x，根据该企业2021年的利润＝该企业2019年利润×（1+该企业从2019年至2021年利润的年均增长率）2，可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；

（2）利用该企业2022年的利润＝该企业2021年的利润×（1+该企业从2019年至2021年利润的年均增长率），可求出该企业2022年的利润，再将其与3.45亿元比较后，即可得出结论．

解：（1）设该企业从2019年至2021年利润的年均增长率为x，

根据题意得：2（1+x）2＝2.88，

解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．

答：该企业从2019年至2021年利润的年均增长率为20%；

（2）∵2.88×（1+20%）＝3.456（亿元），3.456＞3.4，

∴该企业2022年的利润能超过3.4亿元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

20．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2＝0有两个不相等的实数根．

（1）求m的取值范围；

（2）若此方程的两实数根x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝7，求m的值．

【分析】（1）利用判别式的意义得到Δ＝（2m﹣3）2﹣4m2＞0，然后解不等式即可；

（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2m﹣3，x1x2＝m2，再根据（x1﹣1）（x2﹣1）＝7得到m2﹣（2m﹣3）+1＝7，然后解关于m的方程，最后利用m的范围确定m的值．

解：（1）根据题意得Δ＝（2m﹣3）2﹣4m2＞0，

解得m＜；

（2）根据题意得x1+x2＝2m﹣3，x1x2＝m2，

∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝7，

∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝7，

即m2﹣（2m﹣3）+1＝7，

整理得m2﹣2m﹣3＝0，解得m1＝﹣1，m2＝3，

∵m＜，

∴m＝﹣1．

【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．

21．（10分）如图△ABC，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8．点P从A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，问：

（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？

（2）△PBQ的面积会等于10cm2吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由．

【分析】（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2．先用含x的代数式分别表示BP和BQ的长度，再代入三角形面积公式，列出方程，即可将时间求出；

（2）设经过y秒，△PBQ的面积等于10cm2．根据三角形的面积公式，列出关于y的一元二次方程，根据Δ＝b2﹣4ac进行判断．

解：（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm2．

∵AP＝1•x＝x，BQ＝2x，

∴BP＝AB﹣AP＝6﹣x，

∴S△PBQ＝×BP×BQ＝×（6﹣x）×2x＝8，

∴x2﹣6x+8＝0，

解得：x＝2或4，

即经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；

（2）设经过y秒，△PBQ的面积等于10cm2，

则S△PBQ＝×（6﹣y）×2y＝10，

即y2﹣6y+10＝0，

因为Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4×10＝﹣4＜0，

所以△PBQ的面积不会等于10cm2．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用．关键是用含时间的代数式准确表示BP和BQ的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解．

22．（10分）阅读理解

阅读下列材料，然后解答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如：，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：

＝＝；（一）

＝＝；（二）

＝＝＝﹣1；（三）

以上这种化简的步骤叫做分母有理化．

还可以用以下方法化简：

＝＝＝＝﹣1．（四）

请解答下列问题：

（1）化简：；

（2）化简：++；

（3）猜想：+++…+的值．（直接写出结果）

【分析】（1）利用分母有理化的方法进行运算即可；

（2）对各分母进行分母有理化运算，从而可求解；

（3）对分母进行分母有理化运算，从而可求解．

解：（1）

＝

＝

＝；

（2）++

＝+

＝

＝；

（3）+++…+

＝+…+

＝．

【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是理解清楚分母有理化的方法．

23．（11分）下面是一种类比、拓展的探究案例，先阅读再解决后面的问题：

已知正方形ABCD，点M在是直线BC上一个动点，点N在直线DC上，且满足∠MAN＝45°，连接MN．

（1）如图1，当点M在边BC上时，求证：MN＝BM+DN．

请根据下面的思路分析填空：

延长线段CD至点E，使得DE＝BM，连接AE，根据正方形性质和作图可证△ABM≌　△ADE　，得到AM＝AE，接着可证明△AMN≌　△AEN　，可得出MN＝　EN　，再由线段的加法可以得出MN＝BM+DN．

（2）如图2，当点M在边CB的延长线上，点N在DC的延长线上；

①猜想BM，DN，MN之间有怎样的数量关系？并证明你的猜想．

②若BC＝4，BM＝1，求CN．

【分析】（1）延长线段CD至点E，使得DE＝BM，连接AE，根据正方形性质和作图可证△ABM≌△ADE（SAS），得到AM＝AE，接着可证明△AMN≌△AEN（SAS），可得出MN＝EN，再由线段的加法可以得出MN＝BM+DN；

（2）①在CD上截取DF，使得DF＝BM，连接AF，由SAS证得△ABM≌△ADF，得出AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，证明∠FAN＝∠MAN，由SAS证得△AMN≌△AFN，得出MN＝FN，即可得出MN＝DN﹣BM；

②由正方形的性质得CD＝BC＝4，由①得BM＝DF＝1，则CM＝5，CF＝3，设CN＝x，由①得MN＝FN＝x+3，在Rt△MCN中，由勾股定理得CM2+CN2＝MN2，解方程即可得出结果．

解：（1）延长线段CD至点E，使得DE＝BM，连接AE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠ABM＝∠ADE＝∠BAD＝90°，

在△ABM和△ADE中，，

∴△ABM≌△ADE（SAS），

∴AM＝AE，∠BAM＝∠DAE，

∵∠MAN＝45°，

∴∠BAM+∠NAD＝∠BAD﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，

∴∠DAE+∠NAD＝45°，即∠EAN＝45°，

∴∠MAN＝∠EAN，

在△AMN和△AEN中，，

∴△AMN≌△AEN（SAS），

∴MN＝EN，

∴MN＝DE+DN＝BM+DN；

故答案为：△ADE，△AEN，EN；

（2）①猜想BM，DN，MN之间的数量关系为：MN＝DN﹣BM；理由如下：

在CD上截取DF，使得DF＝BM，连接AF，如图2所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠ABM＝∠ADF＝∠BAD＝90°，

在△ABM和△ADF中，，

∴△ABM≌△ADF（SAS），

∴AM＝AF，∠BAM＝∠DAF，

∵∠MAN＝45°，

∴∠FAN＝∠BAD﹣∠DAF﹣∠BAN＝90°﹣∠BAM﹣∠BAN＝90°﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，

∴∠FAN＝∠MAN，

在△AMN和△AFN中，，

∴△AMN≌△AFN（SAS），

∴MN＝FN，

∵FN＝DN﹣DF＝DN﹣BM，

∴MN＝DN﹣BM；

②∵四边形ABCD是正方形，

∴CD＝BC＝4，

由①得：BM＝DF＝1，

∴CM＝BC+BM＝4+1＝5，CF＝CD﹣DF＝4﹣1＝3，

设CN＝x，

由①得：MN＝FN＝x+3，

在Rt△MCN中，由勾股定理得：CM2+CN2＝MN2，

即：52+x2＝（x+3）2，

解得：x＝，即CN＝．

【点评】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．