2023数学年小升初专项训练模块题集：【小升初专项训练】13 还原问题

这是一份2023数学年小升初专项训练模块题集：【小升初专项训练】13 还原问题，共79页。试卷主要包含了个苹果等内容，欢迎下载使用。

第13 讲 还原问题
A
【例1】 1．（2016•创新杯）2015减去它的 ，再减去余下的，再减去余下的，…，以此类推，直到减去余下的，最后的结果是（）
A．2015 B．1042 C．2 D．1
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】根据题意，第一次变为2015×，第二次变为2015××，…，最后整理2015×××…，化简计算即可．
【解答】解：∵2015减去它的，得2015×，再减去余下的，得2015×﹣2015××，即2015××
∴依此类推，直到最后减去余下的，得2015×××…=1，
故选：D．

【例2】 2．（2011•其他模拟）在6个筐里放着同样多的苹果．如果从每个筐里拿出30个苹果，那么剩下苹果的总和等于原来4个筐的苹果的和．原来每个筐里有（）个苹果．
A．60 B．90 C．120
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】从每只箱里拿出30个苹果，那么6个筐里共拿出30×6=180（个），又因为“6个筐里剩下苹果的个数的总和等于原来4个筐里个数的和”，也就是说拿出的这180个苹果正好装满6﹣4=2个筐，所以原来每个筐里有苹果180÷2全．列综合算式为：30×6÷（64），计算即可．
【解答】解：30×6÷（6﹣4）
=180÷2
=90（个）
答：原来每个筐里有90个苹果．
故选：B．

【例3】 3．（2006•创新杯）三个袋中各装一些球，现从甲袋中取出的小球放人乙袋，然后乙袋中取出现在的放人丙袋，最后再从丙袋中取出现在的放人甲袋，那么各袋中的球都是18个，原来甲袋中有球．（）
A．21 B．24 C．27 D．40
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】因为最后再从丙袋中取出现在的放入甲袋，那么18对应的分数应该是1﹣，由此用除法列式求出丙袋没给甲之前的个数，再除以（1﹣），求出乙袋没给丙之前的个数，最后除以1﹣求出甲袋原有的个数．
【解答】解：18÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）=40（个）
答：原来甲袋中有球40个．
故选：B．

【例4】 4．（2006•创新杯）一个数加上8的和，再乘以8的积，再减去8的差，再除以8的商，等于80，那么，这个数是（）
A．37 B．59 C．73 D．86
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】从最后一步推起，“除以8，其结果等于80”可以求出被除数：80×8=640；再看倒数第2步，“减去8”得640，可以求出被减数：640+8=648；然后看倒数第3步，“乘以8”得648，可以求出另一个因数：648÷8=81；最后看第1步，“某数加上8”得81，某数为81﹣8=73．由此即可解决问题．
【解答】解：（80×8+8）÷8﹣8
=648÷8﹣8
=81﹣8
=73；
答：这个数是73．
故选：C．

二．填空题（共41小题）
【例5】 5．（2017•华罗庚金杯模拟）设1、3、9、27、81、243是6个给定的数，从这6个数中每次或者取一个，或者取几个不同的数求和（每个数只能取一次），可以得到一个新数，这样共得到63个新数．如果把它们按从小到大的顺序依次排列起来就是1、3、4、9、10、12…，那么第60个数是360．
【考点】JG：数字和问题；NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】因为一共的得到了63个数，那么第60个数就是第四大的数，从最大数开始算，算出：第四个就可以了．
【解答】解：最大的数是：1+3+9+27+81+243=364；
第二大的数是：3+9+27+81+243=363；
第三的数是：1+9+27+81+243=361；
第四大的数是：9+27+81+243=360．
故答案为：360．

【例6】 6．（2016•学而思杯）薇儿从家步行去学校，走到全程的一半多20米时，碰到艾迪，于是和艾迪结伴而行．两人结伴走310米后，碰到大宽，三人又结伴走了170m米，刚好走到学校．那么，薇儿家距离学校1000米．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】走到全程的一半多20米时，碰到艾迪，即全程的一半是20+310+170米，然后再乘2就是薇儿家距离学校的长度．
【解答】解：（20+310+170）×2
=500×2
=1000（米）
答：薇儿家距离学校 1000米．
故答案为：1000．

【例7】 7．（2016•迎春杯）有一种细胞，每隔1小时死亡2个细胞，余下的每个细胞分裂成2个．若经过5小时后细胞的个数记为164．最开始的时候有9个细胞．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】从后向前推算，第5小时开始时有164÷2+2=84个；同理，第4小时开始时有84÷2+2=44个；…；然后依次向前推算即可．
【解答】解：第5小时开始时有：164÷2+2=84（个）
第4小时开始时有：84÷2+2=44（个）
第3小时开始时有：44÷2+2=24（个）
第2小时开始时有：24÷2+2=14（个）
第1小时开始时有：14÷2+2=9（个）
答：最开始的时候有 9个细胞．
故答案为：9．

【例8】 8．（2016•迎春杯）有一种细胞，每隔1小时死亡2个细胞，余下的每个细胞分裂成2个，如果经过8小时后细胞的个数为1284，那么，最开始的时候有9个细胞．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】从后向前推算，第8小时开始时有1284÷2+2=644个；同理，第7小时开始时有644÷2+2=324个；…；然后依次向前推算即可．
【解答】解：第8小时开始时有：1284÷2+2=644（个）
第7小时开始时有：644÷2+2=324（个）
第6小时开始时有：324÷2+2=164（个）
第5小时开始时有：164÷2+2=84（个）
第4小时开始时有：84÷2+2=44（个）
第3小时开始时有：44÷2+2=24（个）
第2小时开始时有：24÷2+2=14（个）
第1小时开始时有：14÷2+2=9（个）
答：最开始的时候有 9个细胞．
故答案为：9．

【例9】 9．（2015•走美杯）有一筐苹果，第一次取出全部的一半多2个，第二次取出余下的一半少3个，筐中还剩24个，筐中原有苹果88个．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】求出第一次取后还剩下（24﹣3）×2=42个，即可求出筐中原有苹果的个数．
【解答】解：第一次取后还剩下（24﹣3）×2=42个，
所以原来有（42+2）×2=88个，
故答案为88．

【例10】 10．（2015•陈省身杯）甲、乙、丙、丁四个小朋友共有100个苹果，如果甲给乙3个苹果，乙给丙4个苹果，丙给丁5个苹果，而丁给甲6个苹果后，这时四个人的苹果个数就相同，这样甲原有22个苹果．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】运用逆推法，从“这时四个人的苹果个数就相同”出发向前推算，这时都有100÷4=25个，根据“丁给甲6个苹果”可得没给前甲有25﹣6=19个，同理，根据“甲给乙3个苹果”可得没给前甲原来有19+3=22个，据此解答即可．
【解答】解：100÷4=25（个）
25﹣6+3=22（个）
答：这样甲原有 22个苹果．
故答案为：22．

【例11】 11．（2015•迎春杯）有一种特殊的计算器，当输入一个数后．计算器会把这个数乘以2，然后将其结果的数字顺序颠倒，接着再加2后显示最后的结果．如果输入一个两位数，最后显示的结果是45，那么，最开始输入的是17．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】从最后得到的结果45，从后向前进行推理，根据加减乘除的逆运算思维进行解答即可．
【解答】解：逆运算，乘积的数字顺序颠倒后为：45﹣2=43，
则，颠倒前为34，
输入的两位数为：34÷2=17；
答：最开始输入的是17．
故答案为：17．

【例12】 12．（2015•迎春杯）有一个特殊的计算器，当输入一个数后，计算器先将这个数乘以3，然后将其结果是数字逆序排列，接着再加2后显示最后的结果，小明输入了一个四位数后，显示结果是2015，那么小明输入的四位数是1034．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】首先根据题意可以运用逆向思维，把原来的计算过程倒过来再计算一次即可．
【解答】解：依题意可知：经过了乘以3，再逆序排列，再加上2得到的数字是2015．那么要求原来的数字可以逆向思维求解．
2015﹣2=2013，再逆序变成3102，再除以3得3102÷3=1034．
故答案为：1034

【例13】 13．（2012•其他模拟）学学看到太上老君正在用一根绳子拴宝葫芦，第一次用去全长的一半还多2米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩9米，那么这根绳子原来有60米．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】从后向前推算．由“第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩9米”可知第二次没用之前是（9+15﹣10）×2=28（米）；由“第一次用去全长的一半还多2米”，此时是28米，那么第一次没用之前是（28+2）×2=60（米），解决问题．
【解答】解：[（9+15﹣10）×2+2]×2
=[14×2+2]×2
=30×2
=60（米）
答：这根绳子原来有60米．
故答案为：60．

【例14】 14．（2012•其他杯赛）小明在计算两个数相加时，把一个加数百分位上1错误地当7，把另一个加数十分位上的8错误地当作3，所得的和是19.96．原来两位数相加的和应是20.4．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】一个加数百分位上的1看成了7，0.07﹣0.01=0.06，所以多加了0.06；把十分位上的8当作3，0.8﹣0.3=0.5；十位上少加了0.5，也一共少加了0.5﹣0.06=0.44；用所得和加上0.44就是正确的和．
【解答】解：百分位多加了：0.07﹣0.01=0.06，
十分位少加了：0.8﹣0.3=0.5，
0.5﹣0.06=0.44，
19.96+0.44=20.4．
答：原来两个数相加的和是20.4．
故答案为：20.4．

【例15】 15．（2012•其他模拟）如果10+9+8×7÷□+6﹣5×4﹣3×2=1，那么□=28．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】根据题意，把□看作未知数，然后再根据等式的性质进行解答．
【解答】解：10+9+8×7÷□+6﹣5×4﹣3×2=1
19+56÷□+6﹣20﹣6=1
56÷□﹣1=1
56÷□﹣1+1=1+1
56÷□=2
56÷□×□=2×□
2×□=56
2×□÷2=56÷2
□=28．
故答案为：28．

【例16】 16．（2012•其他模拟）星期天，有 30 个小朋友分成三队去动物园玩．如果第一队调 1 人到第二队，再从第二队调3 人去第三队，三队人数就相等了．第一队原来有11个小朋友、第二队原来有12个小朋友、第三队原来有7个小朋友．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】根据“最后3队人数相等”，所以后来三队的人数分别是30÷3=10人，再由“第一队调1人到第二队，再从第二队调3人去第三队，三队人数就相等了，”得出第一队原来有10+1=11人，第二队原来有10+3﹣1=12人，第三队原来有10﹣3=7人．
【解答】解：因为最后3队人数相等，
所以后来三队的人数分别是：30÷3=10（人），
第一队原来有：10+1=11（人），
第二队原来有：10+3﹣1=12（人），
第三队原来有：10﹣3=7（人），
答：第一队原来有11个小朋友、第二队原来有12个小朋友、第三队原来有7个小朋友，
故答案为：11，12，7．

【例17】 17．（2012•希望杯）一个两位数除以一位数，所得的商若是最小的两位数，那么被除数最大是98．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】最小的两位数是10，商是10，除数最大是9，余数最大是8，然后用除数乘商加上余数求出被除数即可．
【解答】解：商是10，除数最大是9，余数最大是8，
9×10+8=98；
被除数最大是98．
故答案为：98．

【例18】 18．（2011•其他杯赛）国庆前三天，妈妈给了笨笨熊一些钱，第一天笨笨熊去新华书店买书，花掉了的钱；第二天也去了玩具店，花掉了剩余钱的；第三天笨笨熊决定用最后的20元钱给爸爸妈妈买份礼物，那么妈妈给了笨笨熊40元钱．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】因为花掉了剩余钱的；所以剩下剩余钱的1﹣=，由此用20除以求出第一天买完东西后剩余的钱数，再根据“第一天笨笨熊去新华书店买书，花掉了的钱，”得出剩下了总钱数的1﹣=，所以用第一天买完东西后剩余的钱数除以求出原来的钱数．
【解答】解：20÷（1﹣）÷（1﹣）
=20
=40（元）
答：妈妈给了笨笨熊40元钱．
故答案为：40．

【例19】 19．（2010•其他杯赛）阿奇、冬冬和小悦共有75张巨人积分卡，阿奇先给冬冬5张，冬冬又给小悦6张，小悦再给阿奇1张，最后他们三人的积分卡一样多．则冬冬原来有26张积分卡．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】最后他们三人的积分卡一样多，所以都是75÷3=25张，然后我们倒推还原：阿奇先给冬冬5张，冬冬又给小悦6张，他们三人的积分卡一样多，所以冬冬的积分卡为25+6﹣5=26（张），据此解答．
【解答】解：75÷3+6﹣5
=25+6﹣5
=26（张）
答：冬冬原来有26张积分卡．
故答案为：26．

【例20】 20．（2010•春蕾杯）有一个学生在做计算题时，最后一步应当除以20，但却错误地加上20，因而得到错误的结果是180．请问这道计算题的正确得数应是8．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】设最后一步之前运算的结果是a，由题意可知：a+20=180，由此求出a的值，然后再用a除以20就是正确的结果．
【解答】解：设最后一步之前运算的结果是a，
a+20=180，
那么：a=180﹣20=160；
正确的计算结果是：a÷20=160÷20=8；
故答案为：8．

【例21】 21．（2008•华罗庚金杯）俄国作家托尔斯泰的问题：从前有个农夫，死后留下了一些牛，他在遗书中写道：妻子得全部牛的半数加半头；长子得剩下牛的半数加半头，正好是妻子所得的一半；次子得还剩下牛的半数加半头，正好是长子的一半；长女分得最后剩下牛的半数加半头正好是次子所得牛的一半．结果一头牛也没杀，也没剩下，问农夫总共留下15头牛．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】解这道题最好是倒过来想，倒过来算：长女既然得到的是最后剩下的牛的“半数”再加“半头”，结果1头都没杀，也没有剩下，那么，她必然得到的是：1头；次子：长女得到的牛是次子的一半，那么，次子得到的牛就是长女的2倍：2头；长子：次子得到的牛是长子的一半，那么，长子得到的牛就是次子的2倍：4头；妻子：长子得到的牛是妻子的一半，那么，妻子得到的牛就是长子的2倍：8头；把4个人得到的牛的头数相加：1+2+4+8=15，可见，农夫留下的牛是15头．
【解答】解：长女得到：1头，
次子得到：1×2=2（头），
长子得到：2×2=4（头），
妻子得到：4×2=8（头），
1+2+4+8=15（头）．
即农夫共留下15头牛．
故答案为：15．

【例22】 22．（2008•希望杯）某学生算六个数的平均数，最后一步应除以6，但是他将“÷”错写成“×”，于是得错误答案l800，那么，正确答案是50．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】根据题意先求出6个数的和，平均数即可求出．
【解答】解：6个数的和为：1800÷6=300，
所以平均数应为：300÷6=50，
故答案为：50．

【例23】 23．（2008•迎春杯）小华在计算3.69除以一个数时，由于商的小数点向右多点了一位，结果得24.6，这道题的除数是1.5．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】由于商的小数点向右多点了一位，结果得24.6，所以正确结果为2.46，利用被除数÷商=除数可以得到结果．
【解答】解：3.69÷2.46=1.5；
故答案为：1.5．

【例24】 24．（2007•华罗庚金杯）篮中有许多李子，如果将其中的一半又1个给第一个人，将余下的一半又2个给第二个人，然后将剩下的一半又3个给第三个人，篮中刚好一个也不剩，篮中原来有34个李子．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】最后的一半又3个给第三人，说明最后的一半就是3个，第三人得到6个；取余下一半又2个给第二人，说明第二人所取的余下一半比最后的6个多2个，所以第二人得到8个；第一人取后还剩下16个；若干李子，取一半又1个给第一人，剩下17个，说明这一半是17个，所以这个篮子里原来有34个李子．
【解答】解：最后剩下的一半：0+3=3 （个）；
第二次余下的：3×2=6 （个）；
第一次余下的一半：6+2=8 （个）；
第一次余下的：8×2=16 （个）；
篮中数的一半：16+1=17 （个）；
篮中原有：17×2=34 （个）．
答：篮中原来有34个李子．
故答案为：34．

【例25】 25．（2006•创新杯）在一个减法算式里，被减数、减数与差这三个数之和是2006，减数比差大997，减数是1000．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】因为减法中存在如下关系：被减数﹣减数=差；被减数=减数+差；由此可得被减数+减数+差=被减数×2．
【解答】解：因为被减数+减数+差=2006
所以减数+差=1003
因为减数﹣差=997
所以减数=1000
故答案为：1000．

【例26】 26．（2006•希望杯）一个数的比3小，则这个数是．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】先设这个数是x，然后根据题意列出方程，求出解即可．
【解答】解：设这个数是x，
3﹣x=，
x=3﹣，
x=，
x=，
x=；
故答案为：．

【例27】 27．（2006•希望杯）牧羊人赶一群羊过10条河，每过一条河时都有一半的羊掉入河中，每次他都捞上3只，最后清查还剩6只．这群羊在过河前共有6只．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】根据题意，用还原法解答此题比较简便，即先求出过第10条河之前，羊的只数，以此类推，即可得出答案．
【解答】解：过第10条河之前羊的只数：（6﹣3）×2=6（只），
因此他过每一条河之前都有6只羊，
所以最初也共有6只；
故答案为：6．

【例28】 28．（2006•希望杯）如果5×（2+△×△）﹣4=2006，那么△=20．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】把△×△看成未知数，原式看成方程，按照解方程的方法求出解即可．
【解答】解：5×（2+△×△）﹣4=2006
5×（2+△×△）=2010
2+△×△=402
△×△=400，
所以△=20．
故答案为：20．

【例29】 29．（2018•迎春杯）小胖把这个月的工资都用来买了一支股票．第一天该股票价格上涨，第二天下跌，第三天上涨，第四天下跌，此时他的股票价值刚好5000元，那么小胖这个月的工资是5000元．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】根据题意，运用逆推的方法，把每次变化前的钱数看作单位“1”，从后向前每次分别是它前面的（1﹣）、（1+）、（1﹣）、（1+），然后根据分数除法的意义，列连除算式即可解决问题．
【解答】解：5000÷（1﹣）÷（1+）÷（1﹣）÷（1+）
=5000××××
=5000（元）
答：小胖这个月的工资是5000元．
故答案为：5000．

【例30】 30．（2017•希望杯）小丽做一份希望杯练习题，第一小时做完了全部的，第二小时做完了余下的，第三小时做完了余下的，这时，余下24道题没有做，则这份练习题共有60道．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】本题从后向前逆推，先把第二小时做完后余下的看作单位“1”，此时有24÷（1﹣）=36道；再把第一小时做完全部的后余下的看作单位“1”，此时有36÷（1﹣）=48道；同理，再把全部的练习题看作单位“1”，有48÷（1﹣）=60道；据此解答即可．
【解答】解：24÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）
=24÷
=60（道）
答：这份练习题共有 60道．
故答案为：60．

【例31】 31．（2017•希望杯）松鼠A、B、C共有松果若干，松鼠A原有松果26颗，从中拿出10颗平分给B、C，然后松鼠B拿出自己的18颗松果平均分给A、C，最后松鼠C把自己现有松果的一半平分给A、B，此时3只松鼠的松果数量相同，则松鼠C原有松果86颗．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】松鼠A拿出10颗平分给B、C，B和C分别得到了10÷2=5（颗），松鼠B拿出自己的18颗松果平均分给A、C，A和C就分别得到18÷2=9（颗），此时A有26﹣10+9=25（颗），由于C拿出一半平均分给A和B，且三只松鼠最后的数量相等，那么此时C的数量是A的4倍，即25×4=100（颗），原来C有100﹣9﹣5=86（颗）．
【解答】解：10÷2=5（颗）
18÷2=9（颗）
此时A有：26﹣10+9=25（颗）
此时C有：25×4=100（颗）
原来C有：100﹣9﹣5=86（颗）
答：松鼠C原有松果 86颗．
故答案为：86．

【例32】 32．（2017•希望杯）如果8×（2+1÷x）=18，则x=4．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】8×（2+1÷x）=18运用逆推的方法，先用18除以8求出小括号里面算式的结果，再减去2得到差，求出1÷x的结果，再用1除以求出的差，即可得到x的值．
【解答】解：8×（2+1÷x）=18
2+1÷x=18÷8
2+1÷x=2.25
1÷x=2.25﹣2
1÷x=0.25
x=1÷0.25
x=4
故答案为：4．

【例33】 33．（2016•其他杯赛）盒子里放有3个球，一位魔术师第一次从盒子里拿出1个球，将它变成3个球后放回盒子里，第二次从盒子里拿出2个球，将每个球各变成3个球后放回盒子里…第十次从盒子里拿出10个球，将每个球各变成3个球后放回盒子里，这时盒子里共有113个球．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】根据题意，一只球变成3只球，实际上多了2只球．第一次多了2只球，第二次多了2×2只球…第十次多了2×10只球．因此拿了十次后，多了：2×1+2×2+…+2×10=2×（1+2+…+10）=2×55=110（只）．加上原有的3只球，盒子里共有球110+3=113（只）．
【解答】解：（3+1）×（1+2+…+10）+3，
=2×[（1+10）×10÷2]+3，
=2×55+3，
=113（只）．
答：盒子里共有113只乒乓球．
故答案为：113．

【例34】 34．（2016•陈省身杯）贪吃蛇吃豆子，它用4天的时间将所有的豆子吃完，如果第一天它吃掉了全部的一半；第二天吃了3颗；第三天吃的是第二天的2倍．那么它第四天比第一天少吃了9颗豆子．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】第三天吃了3×2=6颗，因为第一天它吃掉了全部的一半，则第二、三、四天吃的颗数和就等于第一天它吃掉的颗数，那么它第四天比第一天少吃的颗数就相当于第二、三天吃的颗数，即3+6=9颗，据此解答即可．
【解答】解：根据分析可得，
第三天吃了：3×2=6（颗）
第二吃的颗数+第三吃的颗数+第四天吃的颗数=第一天吃的颗数
即，第一天吃的颗数﹣第四天吃的颗数=第二吃的颗数+第三吃的颗数
所以，它第四天比第一天少吃了：3+6=9（颗）
故答案为：9．

【例35】 35．（2016•春蕾杯）一个数，把它缩小5倍以后，再扩大20倍得40，这个数是10．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】此题就是已知一个数除以5，再乘20，结果是40，求这个数，利用逆推的方法，抓住最后的结果是40，利用乘除法的逆运算即可计算，即用40先除以20，再乘5，即可得出这个数．
【解答】解：40÷20×5
=2×5
=10
故答案为：10．[来源:Z&xx&k.Com]

【例36】 36．（2013•学而思杯）现在有一个奇妙的数，我们将这个数减去13，乘2，除以4，加上1013，之后得到数2013，我们将上述过程称为一次操作．如果机器人小刚对这个数进行了2013次操作，那么，最后的结果是2013．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】首先分析整个过程，需要将整个过程从后向前推理．那么加减互换，乘除互换即可．
【解答】解：依题意可知：
根据题意首先逆推，逆推过程加减互换，乘除互换．
（2013﹣1013）×4÷2+13=2013．
开始的数字是2013，经过上述过程的结果还是2013没有发生变化，那么无论多少次都是2013．
故答案为：2013．

【例37】 37．（2013•迎春杯）n名海盗分金币．第1名海盗先拿1枚金币，再拿剩下金币的1%；然后，第2名海盗先拿2枚，再拿剩下金币的1%；第3名海盗先拿3枚，再拿剩下金币的1%；…第n名海盗先拿n枚，再拿剩下金币的1%．结果金币全被分完，且每位海盗拿的金币都一样多．那么共有金币9801．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】首先根据金币被全部分完，那么最后一个人的1%就是0，正好是第n个人拿走n个．倒推前一个人的进行比较即可．
【解答】解：依题意可知：
第n名海盗先拿走n枚，再那剩下的1%，结果金币倍全部拿完．说明剩下的金币为0．
第n名海盗拿走的实际就是n枚．
第n﹣1名海盗先拿走n﹣1枚，再拿走剩下的1%，由于每个海盗拿的一样多，所以剩下的金币的1%是1枚，那么剩下的99%就是99枚．
故n=99，每个人拿走99枚，共有99个人．
99×99=9801．
故答案为：9801．

【例38】 38．（2013•迎春杯）某日，小明和哥哥聊天，小明对哥哥说：“我特别期待2013年的到来，因为，2、0、1、3是四个不同的数字，我长这么大，第一次碰到这样的年份．”哥哥笑道：“是呀，我们可以把像这样的年份叫做‘幸运年’，这样算来，明年恰好是我经历的第2个‘幸运年’了．”那么，哥哥是1987年出生的．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】2013年是哥哥过的第二个幸运年（年份的四个数字都不相同），往前推算，找出最接近2013的幸运年即可．
【解答】解：从2013年往前推算，年份依次是：
2012，有2个2；
2011，有2个1；
2010有2个0；
2009～2000，都至少有2个0；
1999～1989，都至少有2个9；
1988，有2个8；
1987四个数字都不相同；
所以哥哥是 1987年出生的．
故答案为：1987．

【例39】 39．（2013•创新杯）有学生问王老师，您刚买莫言的文学名著《生死疲劳》每本多少元，王老师说：“该书每本售价加上5，减去4，乘以5，除以4是50（单位：元）”．那么，该书每本售价39元．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】除以4是50，那么在没除以4之前是50×4=200；乘上5是200，那么，在没乘5之前是200÷5=40；减去4是40，在没减4之前是40+4=44；加上5是44，在没加5之前是44﹣5=39．据此解答．
【解答】解：50×4÷5+4﹣5
=40+4﹣5
=39（元）
答：该书每本售价39元．
故答案为：39．

【例40】 40．（2013•希望杯）小明在计算一个整除的除法算式时，不小心将除数18看成15，得到的商是24，则正确的商是20．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】根据“错将除数18看成15，结果得到商24”，用商乘错误的除数可求出被除数的数值，进而再用被除数除以除数即可得正确的商．
【解答】解：被除数：24×15=360，
正确的商：360÷18=20．
故答案为：20．

【例41】 41．（2013•其他杯赛）有一个数，把它减去3，然后除以3，再加上3，最后乘3，得到的结果是2013．这个数原来是2007．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】此题应从后向前推算，用最后得到的结果2013先除以3，再减去3，求得的差再乘3，所得到的积再加上3即可．
【解答】解：{[（2013÷3）﹣3]×3}+3，
={[671﹣3]×3}+3，
=2004+3，
=2007；
故答案为：2007．

【例42】 42．（2013•其他杯赛）一个书架有上、中、下三层，一共有264本书．先从上层取出一半平均分放到中、下两层；再从中层取出一半平均分放到上、下两层；最后从下层取出一半平均分放到上、中两层．此时，三层的书一样多．最初上层有44本书．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】抓住三层书的本数相同时，书架上的书为：264÷3=88本，由此进行逆推．
【解答】解：现在上中下三层都有：264÷3=88本，
下层未给上、中层时，上层有：88÷2=44本，中层有：88÷2=44本，下层有：88+88=176本；
中层未给上、下层时，上层有：44÷2=22本，中层有：44×2=88本，上层有：176﹣22=176本；
上层未给中、下层时，上层有：22×2=44本，中层有：88﹣22÷2=7，下层有：154﹣22÷2=143本；
答：最初上层有44本．
故答案为：44．

【例43】 43．（2013•希望杯）用1722除以一个两位数，小明在计算的时候错把这个两位数的十位数字和个位数字写反了，得到的错误结果是42，则正确的结果应该是123．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】根据被除数和错误的商，求出看错了的除数，进而把看错了的除数的十位上的数和个位上的数颠倒位置，求出正确的除数，进而求出正确的商．
【解答】解：1722÷42=41，
所以正确的除数是14，
1722÷14=123；
答：正确的结果应该是123．
故答案为：123．

【例44】 44．（2012•华罗庚金杯）抽屉里有若干个玻璃球，小军每次操作都取出抽屉中球数的一半再放回一个球．如此操作了2012次后，抽屉里还剩有2个球．那么原来抽屉里有2个球．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】还原问题每次拿走一半再放回一个，倒推就是每次拿走一个再加一倍．2个拿走1个，剩下1个加一倍是2个．重复周期问题．
【解答】解：还原问题的倒推图

操作第一次：（2﹣1）×2=2（个）
操作第二次：（2﹣1）×2=2（个）
操作第三次：（2﹣1）×2=2（个）
每一次结果都是2个，属于周期问题．无论操作多少次结果都是2个．
故答案为：2

【例45】 45．（2012•迎春杯）有2012个小矮人，他们不是好人，就是坏人，每天他们都要参加一次聚会，每次聚会人数是3或5．每次参与聚会的小矮人中，若好人占多数，则参加聚会的人全变成好人；若坏人占多数，则参加聚会的人全变成坏人，如果第三天聚会完毕后，全部2012人全变成了好人．那么第一天聚会前好人的人数的最小值是435．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）；P1：最大与最小．
【分析】首先分析在第三次聚会前共有多少好人，每5人中就有3人是好人，每3人中就2人是好人．再求第二次聚会前，直到第一次聚会前．即可求解．
【解答】解：逆推法：极端分析，若要使好人尽量少，则应在聚会时由坏人变成好人数量最多．
若三人一组，最多变成好人的数量是，若5人一组，最多使的人变成好人；，所以尽量让5人一组．
2012=5×400+3×4，
所以最后一次共分为400个5人组，和4个3人组；
每5个人中有3个人是好人，每3个人中共有2个人是好人；
第二次聚会后最少有400×3+2×4=1208（人）；
同理1208=5×241+3×1；
第一次机会则最少有241×3+2=725（人），725=145×5；
145×3=435（人）；
故答案为：435．

三．解答题（共5小题）
【例46】 46．（2017•希望杯）有甲、乙、丙、丁四个书库，共有图书24000本，从甲书库调运1500本书到乙书库，然后从乙书库调运1800本书到丙书库，再从丙书库调运2200本书到丁书库，最后从丁书库调运1700本书到甲书库．此时，甲、乙、丙、丁书库的图书数量相等，求甲书库原来有图书多少本？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】甲调出了1500本，调进了1700本，总的来说调进了200本，再根据甲、乙、丙、丁书库的图书数量相等，即可求甲书库原来有图书多少本．
【解答】解：甲调出了1500本，调进了1700本，总的来说调进了200本，结果为24000÷4=6000本，
因此甲原来有6000﹣200=5800（本）．
答：甲书库原来有图书5800本．

【例47】 47．（2011•其他模拟）小强在计算“25﹣△×3”时，按从左向右依次计算，算出的结果与正确答案相差多少？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】先按小强的方法，从左向右依次计算出结果，再与正确结果相减即可．
【解答】解：小强的算法：（25﹣△）×3=25×3﹣△×3=75﹣△×3；
75﹣△×3﹣（25﹣△×3）
=75﹣△×3﹣25+△×3
=50；
答：算出的结果与正确答案相差50．

【例48】 48．（2017•希望杯）两棵树上一共有25只鸟，先是左边树上的鸟有一半儿飞到了右边树上，然后右边树上的8只鸟又飞到了左边树上，这时左边树上的鸟比右边树上多3只．请问最开始左边树上有几只鸟？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】求出最后左边树、右边树上的鸟的只数，右边树上的8只鸟又飞到了左边树上，故左边树上的鸟有一半儿飞到了右边树上时，左边树有6只，右边树有19只，即可得出结论．
【解答】解：已知最后左边树上的鸟比右边多3只，两棵树一共25只，左边树有（25+3）÷2=14（只），右边树有25﹣14=11（只）．
右边树上的8只鸟又飞到了左边树上，故左边树上的鸟有一半儿飞到了右边树上时，左边树有6只，右边树有19只，所以最开始左边树上有12只鸟．

【例49】 49．（2017•奥林匹克）村姑卖鸡蛋，第一次卖出一篮的一半又二个；第二次卖出余下的一半又二个；第三次卖出再剩下的一半又二个，这时篮里只剩下二个蛋，问这篮鸡蛋有多少个？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】此题从后向前推算，根据“第三次卖出第二次余下的一半又2个，还剩2个”，也即是2+2正好是第二次余下的一半，因此第二次余下：（2+2）×2=8（个）；根据“第二次卖出余下的一半又2个，剩下8个”，也就是说8+2正好是第一次余下的一半，因此第一次余下：（8+2）×2=20（个）；再根据“第一次卖出总数的一半又2个，剩下20个”，可知这筐鸡蛋原有（20+2）×2，解决问题．
【解答】解：{[（2+2）×2+2]×2+2}×2，
={[4×2+2]×2+2}×2，
={[8+2]×2+2}×2，
={10×2+2}×2，
=22×2，
=44（个）；
答：这筐鸡蛋共有44个．

【例50】 50．甲、乙、丙三个容器各有一定量的酒精，把甲的倒入乙后，再把乙的倒入丙，再把丙的倒入甲，此时三个容器各有酒精千克，那么甲、乙、丙原来各有酒精多少千克？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】根据“最后三个容器中各有酒精 千克”，可知三个容器中一共有酒精 ×3=1千克，丙最后有千克，是倒出后，所以这之前丙有÷（1﹣）=千克，那么倒入甲的就是×=千克，那么甲把它的倒入乙后，还剩下﹣=千克，据此可得出甲原来有÷（1﹣）=千克，同理，乙最后有千克，是倒出后，所以这之前乙有÷（1﹣）=千克，再减去甲倒入的，乙原来有﹣×=千克，所以丙原来有：1﹣﹣=千克，据此即可解答问题．
【解答】解：根据题意，可知三个容器中一共有酒精：×3=1（千克），
丙最后有千克，是倒出后，所以这之前丙有÷（1﹣）=千克，
那么倒入甲的就是×=千克，那么甲把它的倒入乙后，还剩下﹣=千克，
据此可得出甲原来有÷（1﹣）=千克，
同理，乙最后有千克，是倒出后，所以这之前乙有÷（1﹣）=千克，
再减去甲倒入的，乙原来有﹣×=千克，
所以丙原来有：1﹣﹣=千克，
答：甲原来千克，乙原来千克，丙原来千克．


B
【例51】 1．（2017•学而思杯）市场上有个商人在卖苹果，第一个顾客买了苹果数量的一半多半个，第二个顾客买了剩下苹果的一半多半个，接下来，第三名、第四名顾客都是这种买法，这时苹果刚好卖完，并且每人都买到的是完整的苹果，则商人原有15个苹果．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】从最后向前逆推，第四个顾客买了剩下苹果的一半多0.5个，这时苹果刚好卖完；则第三名顾客买完后剩下0.5×2=1个，第二名顾客买完后剩下（1+0.5）×2=3个，第一名顾客买完后剩下（3+0.5）×2=7个，原来有（7+0.5）×2=15个；据此解答即可．
【解答】解：{[（0.5×2+0.5）×2+0.5]×2+0.5}×2
=7.5×2
=15（个）
答：商人原有 15个苹果．
故答案为：15．

【例52】 2．（2017•中环杯）一个数除以2016，再减去2016，再乘以2016，得到的数为2016，则原先那个数为4066272．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】从后向前来推算，①“再乘以2016，得到的数为2016”，则前一个数是2016÷2016=1；②“再减去2016等于1”，则前一个数是2016+1=2017；③“一个数除以2016等于2017”，则前一个数是2017×2016；据此解答即可．
【解答】解：（2016÷2016+2016）×2016
=2017×2016
=4066272；
答：原先那个数为 4066272．
故答案为：4066272．

【例53】 3．（2015•春蕾杯）小圆有一筐桃子，第一次他吃掉了全部桃子的一半多1个，第二次他又吃掉了剩余桃子的一半少1个，此时筐里还剩下4个桃子，那么这个筐里原有桃子14个．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】根据题干分析可得，第二次没吃前有（4﹣1）×2=6个，第一次没吃前（原来的个数）有（6+1）×2=14个，据此解答即可．
【解答】解：[（4﹣1）×2+1]×2
=7×2
=14（个）
答：这个筐里原有桃子 14个．
故答案为：14．

【例54】 4．（2015•春蕾杯）一个数加5，乘以5，减去5，再除以5，结果还是5，这个数是1．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】从后向前来推算，①“除以5，结果还是5”，则前一个数是5×5=25；
②“减去5等于25”，则前一个数是25+5=30；
③“乘以5等于30”，则前一个数是30÷5=6；
④“加5，等于6”，则原来的数是6﹣5=1．
【解答】解：（5×5+5）÷5﹣5
=30÷5﹣5
=6﹣5
=1
答：这个数是1．
故答案为：1．

【例55】 5．（2015•迎春杯）有一种特殊的计算器，当输入一个数后．计算器会把这个数乘以2，然后将其结果的数字顺序颠倒．接着再加2后显示最后的结果．如果输入一个两位数，最后显示的结果是27，那么，最开始输入的是26．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】根据题意可得运算规律：原数→×2→数字顺序颠倒→+2→显示最后的结果；因为最后显示的结果是27，然后根据运算规律逆推即可．
【解答】解：数字顺序颠倒后为：27﹣2=25，
乘2后的得数是：52，
原数是：52÷2=26；
答：最开始输入的是26．
故答案为：26．

【例56】 6．（2015•学而思杯）四个数的和为256，如果把第一个数乘7，第二个数除以7，第三个数加7，第四个减7，得到的数相同，那么这四个数中最大的数减最小的数为192．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】把最后得到的相同的数看作单位“1”，由于第三个数加7，第四个减7相等，则和不变，第一个数乘7，则原来的第一个数是单位“1”的；第二个数除以7，则第二个数原来是单位“1”的7倍，那么256对应的分率就为（+7+1+1），由此用除法求出最后得到的相同的数，然后再进一步解答即可．
【解答】解：256÷（+7+1+1）
=256÷
=28
最大的数是：28×7=196
最小的数是：28÷7=4
196﹣4=192
答：这四个数中最大的数减最小的数为192．
故答案为：192．

【例57】 7．（2015•学而思杯）清明假期三天，琳琳努力在家做题，已知琳琳第二天做的题目数量是第一天的2倍，第三天做的题目数量比第二天多5道，如果琳琳第三天做了23道题，那么，第一天她做了9道题．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】从后向前推算，第三天做的题目数量减去5就是第二天做的题目数量，即23﹣5=18道；又因为第二天做的题目数量是第一天的2倍，所以用第二天做的题目数量除以2就是第一天做的题目数量．
【解答】解：根据分析可得，
（23﹣5）÷2[来源:学科网]
=18÷2
=9（道）
答：第一天她做了 9道题．
故答案为：9．

【例58】 8．（2013•奥林匹克）在古代欧洲某个地方有这样一个规定：商人带着商品每经过一个关口，就要被没收一半的钱币，再退还一个．有一个商人，在经过10个关口之后，只剩下两个钱币了，这个商人最初共有2个钱币．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】因为2÷2+1=2，所以这个商人最初共有2个钱币，不管过几关，最后都剩下2个钱币；由此解答即可．
【解答】解：由分析可知：这个商人最初共有2个钱币．
因为2÷2+1=2，所以不管过几关，最后都剩下2个钱币；
答：这个商人最初共有2个钱币．
故答案为：2．

【例59】 9．把39分成甲、乙、丙、丁四个数，使得甲数加上1，乙数减去2，丙数乘以3，丁数除以4后，四个数相等．那么这四个数分别是5、8、2、24．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】根据题干，甲乙丙丁四个数经过加减乘除变化后都相等时，设这个等值为x，利用逆推法可得：甲数原来是x﹣1，乙数原来是x+2，丙数原来是x÷3，丁数原来是x×4，根据等量关系：甲、乙、丙、丁四个数的和等于39，即可列出方程解决问题．
【解答】解：设甲乙丙丁四个数经过加减乘除变化后都相等时的等值为x，根据题意可得方程：
x﹣1+x+2+x÷3+x×4=39，
6x+1+=39，
x=38，
x=38，
x=6，
则甲数为：6﹣1=5，
乙数为：6+2=8，
丙数为：6÷3=2，
丁数为：6×4=24，
故答案为：5、8、2、24．

【例60】 10．甲、乙、丙、丁四人到书店去买书．已知甲带的钱数是乙的，乙带的钱数是丙的，丁比甲多带3元，四人带的钱全是一元的硬币，平均每人30多元．则乙带了45元．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】由“甲带的钱数是乙的”可知甲：乙=4：5，又由“乙带的钱数是丙的”可知乙：丙=3：2，因此甲：乙：丙=12：15：10，根据“丁比甲多带了3元”可推出：丁是12份多3元；
甲乙丙丁的总份数为：12+15+10+12=49（份）
根据“四人带的都是一元硬币，平均每人30多元”，可知四人带的钱数是整元，且四人钱数总和在30×4=120（元）与40×4=160（元）之间．因为49×3=147（元），说明每人带的钱数是份数的3倍； 则乙带的钱数是：15×3=45（元）．解决问题．
【解答】解：因为甲：乙=4：5，乙：丙=3：2，
所以甲：乙：丙=12：15：8，
因为丁比甲多带了3元，所以丁是12份多3元；
甲乙丙丁的总份数为：
12+15+8+12=49（份）；
由题意知：四人带的钱数是整元，且四人钱数总和在30×4=120（元）与40×4=160（元）之间．
因为49×3=147（元），说明每人带的钱数是份数的3倍；
则乙带的钱数是：15×3=45（元）．
答：乙带了45元．
故答案为：45．

【例61】 11．一个最简分数的分子扩大4倍，分母缩小3倍后正好等于10，那么这个最简分数是．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】一个最简分数的分子扩大4倍，分母缩小3倍，实际上把这个分数值扩大了4×3=12倍，扩大12倍后是10，所以原来的分数是10÷12，计算即可．
【解答】解：10÷（4×3），
=10÷12，
=；
答：这个最简分数是．
故答案为：．

【例62】 12．小明在计算一道减法时，错把被减数个位上的8抄成3，减数十位上的3抄成8，结果差是111．正确的差应该是166．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】被减数个位上的8抄成了3，结果差就少了8﹣3=5；减数十位的3抄成8，结果差就减少了80﹣30=50；所以最后得到的差比正确的差减少了5+50=55，所以正确的差是111与55的和，据此计算即可．
【解答】解：8﹣3=5，
80﹣30=50，
111+5+50=166，
答：正确的差是166．
故答案为：166．

【例63】 13．书架有甲、乙、丙三层，共放了192本书．先从甲层拿出与乙层同样多的书放进乙层，再从乙层拿出与丙层同样多的书放进丙层，最后从丙层拿出与甲层同样多的书放进甲层．这时甲、乙、丙层的书同样多．原来甲层有88本书．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】三层共放了192本书，所以最后甲、乙、丙层的书同样多时，每一层上都有192÷3=64本；抓住最后从丙层拿出与甲层同样多的书放进甲层，这时甲、乙、丙层的书同样多，那么说明放进甲层的书是此时甲层书的一半，由此即可得出放入甲层的书是：64÷2=32本；由此即可进行逆推．
【解答】解：利用表格将逆推过程表示出来如下：

答：甲层原有88本书．
故答案为：88．

【例64】 14．一支较长队伍的人作一、二、三报数，报一、二的出去，报三的留下，重报一、二、三，再按规则报一、二的出去，报三的留下，如此经4次报数，留下10人．问，留下的第1人和第10人在原队伍中分别是第81号和810号．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】先按顺序给队伍中每个人编上号码，再按题目要求划去在报数中出去的人，求出第1次报数后留下的人的号码，
即：3×1、3×2、3×3、3×4、3×5、3×6…，
在尝试中观察，探索规律，可知第4次报数后，留下来的人中第1人和第10人的号码为：34×1=81；34×10=810；
从而解决问题．
【解答】解：先按顺序给队伍中每个人编上号码如下：
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15…，
按题目要求划去在报数中出去的人，第1次报数后留下的人为：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30…，
即：3×1、3×2、3×3、3×4、3×5、3×6…，
再按题目要求划去在报数中出去的人，第2次报数后留下的人为：
9、18、27、36…
即：32×1、32×2、32×3、32×4、32×5、32×6…
由以上规律，可知第4次报数后，留下来的人中第1人和第10人的号码为：34×1=81；34×10=810．
所以，这两人在原队伍中是第81人和第810人；
故答案为：81，810．

【例65】 15．某孩子付一角钱进入第一家商店，他在店里花了剩余的钱的一半，走出商店时，又付了一角钱．之后，他又付一角钱进入第二家商店，在这里他花了剩余的钱的一半，走出商店时又付了一角钱，接着他又用同样的方式进入第三和第四家商店．当他离开第四家商店后，这时他身上只剩下一角钱．那么他进入第一家商店之前身上有61角钱．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】本题从最后的结果出发，最后剩下了1角钱，那么他在出门之前就是2角，购物之前就是2×2=4角，那么他在进门之前就有5角钱；同理就可以求出他原来的钱数．
列表如下：（单位：角）

进门前
购物前
出门前
剩余
第四家商店
5
4
2
1
第三家商店
13
12
6
5
第二家商店
29
28
14
13
第一家商店
61
6
3
29
【解答】解：第四家商店：
剩余：1角，
出门前；1+1=2（角），
购物前：2×2=4（角），
进门前：4+1=5（角）；
第三家商店：
出门前：5+1=6（角），
购物前：6×2=12（角），
进门前：12+1=13（角）；
第二家商店：
出门前；13+1=14（角），
购物前：14×2=28（角），
进门前：28+1=29（角）；
第一家商店：
出门前：29+1=30（角），
购物前：30×2=60（角），
进门前：60+1=61（角），
故答案为：61角．

【例66】 16．小刚有若干本书，小华借走一半加一本，剩下的书小明借走一半加两本，再剩下的书小峰借走一半加三本，最后小刚还剩下两本书，那么小刚原有50本书．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】本题需要从问题出发，一步步向前推，小刚剩的2本书加上3本就是小明借走后的一半，那么就可以求出小明借走后的数量，同理可以求出小华借走后的数量，进而可求小明原有的数量．
【解答】解：小峰未借前有书：
（本），
小明未借之前有：
（本），
小刚原有书：
（本）．
答：小明原有书50本．
故答案为：50．

【例67】 17．小虎做一道计算题：某数乘8再减去13．小虎错把题目看成某数乘6再加3．没想到答案碰对了．那么某数是8．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】通过题意可知，某数的8倍比某数的6倍多（13+3）；根据已知一个数的（8﹣6）倍是（13+3），求这个数，用除法计算即可．
【解答】解：（13+3）÷（8﹣6）=8；
答：那么某数为8．
故答案为：8．

二．解答题（共33小题）
【例68】 18．（2017•中环杯）某数加上5，乘以5，减去5，除以5，其结果等于5．求这个数．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】从最后一步推起，“除以5，其结果等于5”可以求出被除数：5×5=25；再看倒数第2步，“减去5”得25，可以求出被减数：25+5=30；然后看倒数第3步，“乘以5”得30，可以求出被乘数：30÷5=6；最后看第1步，“某数加上5”得6，某数为6﹣5=1．由此即可解决问题．
【解答】解：5×5=25，
25+5=30，
30÷5=6，
6﹣5=1，
答：所求的数为1．

【例69】 19．（2014•迎春杯）天天在计算“60+□×5”时，先算加法，后算乘法，得到的结果是500．你能帮他算出这道题的正确得数吗？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】因为把运算顺序弄错了，先算的加法，后算的乘法，所以从后向前算，用500÷5得出60+□是多少，在进一步求出□，然后计算出结果即可解答．
【解答】解：500÷5﹣60
=100﹣60
=40
60+40×5
=60+200
=260；
答：正确得数是260．

【例70】 20．桌子上放四叠练习本，第一叠17本，第二叠7本，第三叠6本，第四叠2本．请你从任意一叠拿出几本练习本到下一叠去，拿过去的练习本数目，必须与另一叠原有的本数相同，只许挪动四次，使每叠练习本的数目相等，能做到吗？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】先算出共有32本，然后分析最后每堆8本，根据17﹣8=9（本）可以知道第一堆要移走9本，这9本分7本给第二堆，分2本给第四堆，接下去如此分析即可．
【解答】解：
（17+7+6+2）÷4=8（本）
第一次从第一堆移动7本到第二堆；
第二次从第一堆移动2本到第四堆；
第三次从第二堆移动6本到第三堆；
第四次从第三堆移动4本到第四堆．

【例71】 21．修路队修一条公路，第一天修了全长的一半少40米；第二天修了余下的一半多10米，还剩60米，这条公路全长多少米？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】先求出第一天修完剩下的路程，再计算这条公路全长．
【解答】解：[（60+10）÷（1﹣）﹣40]÷（1﹣）
=100
=200（米）；
答：这条公路全长200米．

【例72】 22．商场出售洗衣机，上午售出总数的一半多10台，下午售出剩下的一半多20台，还剩95台，这个商场原来有洗衣机多少台？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】从“下午售出剩下的一半还多20台”和“还剩95台”向前倒推，可以得出，剩下的95台和下午多卖的20台合起来，即95+20=115台正好是上午售后剩下的一半，那么115×2=230台就是上午售出后剩下的台数．而230台和10台合起来，即230+10=240台又正好是总数的一半．那么，240×2=480台就是原有洗衣机的台数．
【解答】解：由题意，上午售后剩下的一半：95+20=115（台），
上午售出后剩下的台数115×2=230（台），
这个商场原来有洗衣机（230+10）×2=480（台），
答：这个商场原来有洗衣机480台．

【例73】 23．一锅炒饭，小孩第一天吃了，以后8天分别吃当时剩下的，，，…，，最后还剩三粒饭，问原来有多少粒？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】最后剩下的3粒是第八天吃剩的，于是可以求出第八天有多少粒．这个数又是第七天吃剩的（1﹣），于是又可以求第六天有多少粒…就这样倒着想，即可求出．
【解答】解：3÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）
=3×2××××××××
=30（个）
答：原来有30粒．

【例74】 24．修路队修一条路，第一天修了全长的一半多20米，第二天修了余下的一半少15米，第三天修了50米，还剩下30米没有修．这条路的全长是多少米？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】先计算第一天余下的，再计算这条路的全长即可．
【解答】解：[（30+50﹣15）×2+20]×2
=（65×2+20）×2
=150×2=300（米）
答：这条路全长300米．

【例75】 25．某人去银行取款，第一次取了存款的一半多50元，第二次取了余下的一半多100元，这时他的存折上还剩1250元．他原有存款多少元？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】先求出第一次取了存款余下的钱，即可求出他原有存款多少元．
【解答】解：[（1250+100）÷+50]÷，
=[2700+50]÷，
=5500（元）；
答：他原有存款5500元．

【例76】 26．粮库内有一批大米，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半多5吨，还剩下4吨，问粮库原有大米多少吨？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】本题需要从问题出发，一步步向前推，最后剩下了4吨，它是运出剩下的一半又5吨后剩下的，那么剩下的一半就是4+5=9吨，就可以求出剩下的一共多少吨；同样的方法就可以求出原来有多少吨．
【解答】解：[（4+5）×2+3]×2
=[18+3]×2
=21×2
=42（吨）
答：仓库原有大米42吨．

【例77】 27．一种细菌放入一个密闭瓶中，20分钟可使瓶中充满细菌，已知1个细菌每分钟能分裂成2个，两分钟能分裂成4个，…，若给瓶中放入1个细菌，19分钟后细菌充满半瓶．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】一个细菌1分钟分裂成2个，2分钟分裂成4个，n分钟分裂成2n个，一个细菌经过20分钟的繁殖能使瓶子充满．由于繁殖时，每分钟增加原来一倍，即可得出结论．
【解答】解：一个细菌1分钟分裂成2个，2分钟分裂成4个，n分钟分裂成2n个，一个细菌经过20分钟的繁殖能使瓶子充满．
由于繁殖时，每分钟增加原来一倍，
故细菌充满半瓶所需要的时间为19分钟．
故答案为19．
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【例78】 28．小明妈妈买来一筐鸡蛋，第一天吃了17，第二天吃了余下的14，第三、四天都吃了第二天余下的13，第五天吃了余下的12，还剩下3个鸡蛋，妈妈共买了多少鸡蛋？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】把每天吃前的质量看作单位“1”；第五天吃了余下的，还剩下3个鸡蛋，则第五天吃前有3÷（1﹣）=6（个）；第三、四天都吃了第二天余下的，即第三、四天共吃了第二天余下的×2，同理，根据分数除法的意义，依次求出第二天前的个数，以及第一天前的个数（即原有的个数）即可．
【解答】解：3÷（1﹣）÷（1﹣×2）÷（1﹣）÷（1﹣）
=3×2×3××
=28（个）；
答：妈妈共买了28个鸡蛋．

【例79】 29．有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出给乙桶后，又从乙桶中倒出给甲桶，这时两桶各有90千克油，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】这时两桶各有90千克油，从后向前推算：
乙桶中倒出给甲桶，即没倒前有：90÷（1﹣）=120（千克），
倒给了甲桶120﹣90=30千克，
那么，甲桶每倒入30千克前有90﹣30=60千克，
即，原来从甲桶中倒出给乙桶后还剩下60千克，
那么，原来从甲桶中有油：60÷（1﹣）=80（千克），
然后进一步解答即可求出原来乙桶中油的质量．
【解答】解：根据分析可得，
90÷（1﹣）
=90÷
=120（千克）
120﹣90=30（千克）
90﹣30=60（千克）
60÷（1﹣）
=60÷
=80（千克）
90×2﹣80=100（千克）
答：原来甲桶中有油80千克；乙桶中有油100千克．

【例80】 30．一杯盐水，第一次倒出13，然后倒回杯中20克，第二次再倒出杯中盐水的25，第三次倒出60克，杯中还剩下48克，原来杯中有多少克盐水？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】从后向前推算：第三次没倒出60克前还剩60+48=108克，则第二次没倒前有108÷（1﹣）=180克，同理，依次向前推算即可解决问题．
【解答】解：第三次没倒前还剩：60+48=108（克）
第二次没倒前有：108÷（1﹣）
=108
=180（克）
第一次倒出还剩：180﹣20=160（克）
原来有：160÷（1﹣）
=160
=240（克）
答：原来杯中有240克盐水．

【例81】 31．云云把自己存的钱的一半买了一本数学书，后来姐姐又给她5元，她又用其中比一半多0.4元的钱买了外语书，结果还剩7.2元，那么她未买数学书前共有多少元钱？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】利用逆推的方法：先求出买外语书之前的钱是（7.2+0.4）×2元，再减去5求出姐姐给他钱之前的钱，最后求出原有的钱数．
【解答】解：[（7.2+0.4）×2﹣5]×2
=[15.2﹣5]×2，
=10.2×2，
=20.4（元），
答：她未买数学书前共有20.4元．

【例82】 32．冰箱里的鸡蛋，第一天拿走了一半少3个，第二天拿走了余下的一半多2个，第三天拿走余下的一半后，最后还剩2个．冰箱里原来有鸡蛋多少个？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】根据题意知：第三天没拿前用的个数是2×2=4个，第二天没拿前的个数是（4+2）×2=12个，第三天没拿前的个数是（12﹣3）×2=18个．据此解答．
【解答】解：[（2×2+2）×2﹣3]×2，
=[（4+2）×2﹣3]×2，
=[6×2﹣3]×2，
=[12﹣3]×2，
=9×2，
=18（个）；
答：原来有鸡蛋18个．

【例83】 33．阿凡提去赶集，他用钱的一半买肉，再用余下钱的一半买鱼，又用剩下钱买菜．别人问他带多少钱，他说：“买菜的钱是1、2、3；3、2、1；1、2、3、4、5、6、7的和；加7加8，加8加7、加9加10加11．”你知道阿凡提一共带了多少钱？买鱼用了多少钱？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】先求买菜的钱，即1+2+3+3+2+1+1+2+3+4+5+6+7+7+8+8+7+9+10+11=100（元）；因为用余下钱的一半买鱼，剩下了100元，则没买鱼之前是100×2=200（元）；他用钱的一半买肉，剩下了200元，则总钱数为200×2=400（元），卖鱼的钱为400÷2÷2=100（元）．据此解答．
【解答】解：①买菜的钱：
1+2+3+3+2+1+1+2+3+4+5+6+7+7+8+8+7+9+10+11=100（元）
②总钱数：100×2×2=400（元）
③买鱼的钱：400÷2÷2=100（元）
答：阿凡提一共带了400元钱，买鱼用去100元钱．

【例84】 34．一个分数约分后是 ，如果将这个分数的分子减少124，分母减少11，所得的新分数约分后是．那么原来分数是多少？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】此题可设原分数的分子和分母约去的约数是x，再根据题意列出方程，进一步得解．
【解答】解：设原分数是，
由题意有，
解得x=67，
所以原分数是．
答：原来分数是．

【例85】 35．小红帽提了一篮鸡蛋去城里卖，第一次卖出全部鸡蛋的一半又1个，第二次又卖出剩下的鸡蛋的一半又1个，第三次又卖出剩下的鸡蛋的一半又1个，这时篮子里还剩下1个鸡蛋．篮子里原来有多少个鸡蛋？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】运用逆推的方法，用（1+1）×2求出第一次卖完后，剩下的鸡蛋的个数，再用（1+1）×2+1再乘2，就是第二次卖完后，剩下鸡蛋的个数；最后用（1+1）×2+1再乘2再加1再乘2就是小红帽篮子里原来有鸡蛋的个数．
【解答】解：第二次卖完后鸡蛋有：（1+1）×2=4（个）；
第一次卖完后鸡蛋二有：（4+1）×2=10（个）；
篮子里原来有鸡蛋：（10+1）×2=22（个）；
答：篮子里原来有22个鸡蛋．

【例86】 36．黑白团队从家去森林之城，第一天行了全程一半多3千米，第二天行了余下的一半少2千米，第三天又行了余下的一半多5千米．此时还剩下10千米到达森林之城．那么全程共多少千米？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】最后还剩下10千米到达森林之城，因为第三天又行了余下的一半多5千米，所以第二天行完余下：（10+5）×2=30（千米）；第二天行完余下30千米，因为第二天行了余下的一半少2千米，第一天行完余下：（30﹣2）×2=56（千米）；第一天行完余下56千米，因为第一天行了全程一半多3千米，所以，全程共：（56+3）×2=118（千米），据此即可解答．
【解答】解：第二天行完余下：（10+5）×2=30（千米）；
第一天行完余下：（30﹣2）×2=56（千米）；
全程共：（56+3）×2=118（千米）；
答：全程共118千米．

【例87】 37．小华在做一道两位数乘法时，把乘数个位上的3错写成5，乘得结果是875，正确的结果是805，这两个两位数分别为几？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】乘数个位上的3错写成5，这个因数就增加了2；而积增加了875﹣805=70；根据差倍公式，用70除以2就得的不变的一个因数，再用积除以这个因数就得出另一个因数．
【解答】解：875﹣805=70，
70÷（5﹣3）=35；
805÷35=23；
答：这两个因数分别是23和35．

【例88】 38．有两个人出相等的钱买若干同样的本子，其中一个人比另一个人多得了6本，并为此付给另一个人3元钱．那么每本本子1元．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】根据题意，多得的6本应该是2人共有的，即每人3本，现在一人占有了对方的3本，付给3元钱，3除以3等于1，即每本1元，据此解答即可．
【解答】解：6÷2=3（本），
3÷3=1（元），
答：每本本子1元．
故答案为：1．

【例89】 39．妈妈买了一些苹果，第一天吃去又个，第二天吃去剩下的又个，第三天吃去再剩下的又个，这时剩下3个苹果．问妈妈买了多少个苹果？每天各吃了多少个苹果？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】此题应从后向前推算，用最后剩下的3个苹果加上个，就是第二天吃后剩下的（1﹣），这里是把第二天吃后剩下的个数看作单位“1”，用（3+）÷（1﹣）可求得第二天吃后剩下的个数，同理，依次用除法分别求得第一天吃后剩下的个数、总个数，进而再分别求得每天各吃了多少个苹果；据此解答即可．
【解答】解：第二天吃后剩下：（3+）÷（1﹣），
=÷，
=5（个）；

第一天吃后剩下：（5+）÷（1﹣），
=÷，
=7（个）；

苹果总数：（7+）÷（1﹣），
=÷，
=11（个）；

第一天吃了：11﹣7=4（个）；
第二天吃了：7﹣5=2（个）；
第三天吃了：5﹣3=2（个）；
答：妈妈买了11个苹果，第一天吃了4个，第二天吃了2个，第三天吃了2个．

【例90】 40．一篮苹果，小明拿走一半后，妈妈和爸爸平均分剩下的一半，妈妈得了3个．篮里原来有几个苹果？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】因为妈妈和爸爸平均分剩下的一半，妈妈得了3个，所以爸爸得了3个，所以小明拿走后剩下3+3=6个，由此再乘2求出篮子里原有苹果的个数．
【解答】解：（3+3）×2=12（个），
答：篮里原来有12个苹果．

【例91】 41．15.104÷[（548+396）×（□﹣7.52）]=0.02（只填□，不写过程）[来源:学科网ZXXK]
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】先把中括号的运算看成一个整体，在整个算式中它是除数，可以用被除数除以商求出中括号运算后的结果；中括号里面的运算可以看成是一个乘法算式，两个小括号里面的运算可以看成两个因数，用整个中括号运算后的结果除以第一个因数就是第二个因数；第二个因数是□﹣7.52的差，□就用差加上减数．
【解答】解：15.104÷0.02=755.2；
755.2÷（548+396），
=755.2÷944，
=0.8；
7.52+0.8=8.32；
□的值是8.32．

【例92】 42．一个书架分上、中、下三层，一共放书384本，如果从上层取出与中层同样多的本数放入中层，再从中层取出与下层同样多的本数放入下层，最后又从下层取出与现在上层同样多的本数放入上层，这时三层书的本数相同，求这个书架上原来上、中、下各放几本书？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】抓住三层书的本数相同时，书架上的书为：384÷3=128本，由此进行逆推．
【解答】解：现在上中下三层都有：384÷3=128本，
下层未给上层时，上层有：128÷2=64本，下层有：128+64=192本，中层有：128本；
中层未给下层时，下层有：192÷2=96本，中层有：128+96=224本，上层有：64本；
上层未给中层时，中层有：224÷2=112本，上层有：64+112=176本，下层有：96本；
答：原来上层有64本，中层有128本，下层有96本．

【例93】 43．有一位老师，他的年龄乘2，减16后，再除以2加上8，结果恰好是38，这位老师今年几岁？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】根据题干，他的年龄经过乘、减、除以、加计算后结果是38，那么把38向前逆推，利用它们的逆运算即可推出他的年龄．
【解答】解：[（38﹣8）×2+16]÷2，
=[30×2+16]÷2，
=[60+16]÷2，
=76÷2，
=38（岁），
答：这位老师今年是38岁．

【例94】 44．计算：[（2﹣）÷﹣1]×（□+71）=100．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】□表示一个未知数，这里就是解这个关于□的一元一次方程，先把中括号里面的算式计算出来，利用乘法和加法各部分间的关系，即可求得□的值．
【解答】

【例95】 45．甲、丙、丁三个组共有图书90本．如果丙组向甲组借3本后．又送给丁组5本，结果三个组所有图书本数刚好相等．问：甲、丙、丁三个组原来各有图书多少本？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】假设甲组有x本，丙有y本，则丁有90﹣x﹣y本，根据已知可以列出方程：x﹣3=y+3﹣5=90﹣x﹣y+5=30；解方程组，即可得解．
【解答】解：设甲组有x本，丙有y本，则丁有90﹣x﹣y本，由已知得：
x﹣3=y+3﹣5=90﹣x﹣y+5=30；
x=33，
y=32，
90﹣33﹣32=25（本）；
答：甲原来有图书33本，丙原来有图书32本，丁原来有图书25本．

【例96】 46．王大伯卖西瓜，第一天卖了全部的一半还多1个，第二天卖出剩下的一半还多3个，正好全部卖完．一共有多少个西瓜？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】此题采用逆推法计算，先算第一天卖出后剩下的西瓜，再求全部的西瓜．根据“第二天卖出剩下的一半还多3个，正好全部卖完”，可求出第一天卖出后剩下的西瓜，即：3÷；再根据“第一天卖了全部的一半还多1个”求出全部西瓜的数量，即（3÷+1）÷，从而解决问题．
【解答】解：（3÷+1）÷，
=（6+1）÷，
=7×2，
=14（个）．
答：一共有14个西瓜．

【例97】 47．小宇过生日时，妈妈送给小宇一盒圆珠笔，他把好朋友小刚和小强找来，他把这盒圆珠笔的一半给了小刚，然后又给小刚加了1支．接着，他又把剩下的一半分给了小强，也同样给小强又加了 1支，最后剩下 5支圆珠笔，他自己留下了．这盒圆珠笔共有26支．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】根据题干，从最后剩下的5支向前推理可得：剩下的5支圆珠笔加上1支，正好是分给小刚后剩下的一半，由此即可得出分给小刚后剩下了（5+1）×2=12支；这12支加上1支，又是整盒圆珠笔的一半，由此即可求得这盒圆珠笔的总数．
【解答】解：根据题干分析可得：
[（5+1）×2+1]×2，
=13×2，
=26（支），
答：这盒圆珠笔共有26支．
故答案为：26．

【例98】 48．甲乙两桶各有油若干千克，如果从甲桶倒出和乙桶同样多的油放入乙桶，再从乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶，这时两桶油恰好都是60千克，两桶油原来各多少千克？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】此题可以从最后的两桶油都是60千克往前推：第二次倒入：乙桶倒出和甲桶同样多的油放入甲桶得到甲桶是60千克，则60千克是甲桶原有油的2倍；所以没倒入之前甲桶有油60÷2=30千克，则乙桶此时是60+30=90千克，即第一次倒入之后甲桶是30千克，乙桶是90千克；而乙桶的90千克，是第一次倒入时，从甲桶倒入了和它原来同样多的油得到的，所以乙桶原来有油：90÷2=45千克，则甲原来有油30+45=75千克．
【解答】解：根据题干分析进行逆推可得：
第二次乙桶倒入甲桶的油：60÷2=30（千克），
则第一次倒入后甲桶油为：60﹣30=30（千克），乙桶油为：60+30=90（千克）；
第一次甲桶倒入乙桶的油为：90÷2=45（千克），
所以原来乙桶有油：45千克，甲桶有油：30+45=75（千克），
答：甲桶原来有75千克，乙桶原来有45千克．

【例99】 49．小玲家的水果批发商店，某天上午卖出库存水果的，下午又卖出余下的多10吨，还剩下5吨．小玲家的水果批发商店当天库存水果40吨．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】先把余下的重量看成单位“1”，假设少卖了10吨，那么下午就卖了余下的，还剩下15吨，用除法就可以求出上午卖出后剩下的重量；再把当天库存的总量看成单位“1”，上午卖出后还剩下总量的1﹣；它对应的数量就是上步求出的数量，再用除法就可以求当天库存的总量．
【解答】解：（10+5）÷（1﹣）
=15÷
=25（吨）；
25÷（1﹣）
=25÷
=40（吨）；
答：小玲家的水果批发商店当天库存水果40吨．
故答案为：40．

【例100】 50．甲、乙、丙共藏书240册，先从甲处取出与乙同样多册书给乙，再从乙处取出与丙处同样多册书给丙，最后再从丙处取m与此甲处同样多册书给甲．经过这样变动后．丙的藏书是甲的3倍，乙足甲的2倍．原来甲、乙、丙各有书多少册？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】此题属于还原问题，也叫逆推问题，可从后向前推算．经过变动后，甲的藏书为240÷（1+2+3）=40（本）；乙的藏书为
40×2=80（本）；丙的藏书为40×3=120（本）．那么第三次甲有40÷2=（本），乙有80本；丙由120+20=140（本）；以此类推，最后即可得出结果．为了简便，可用列表法解答．
【解答】解：经过变动后，甲的藏书为240÷（1+2+3）=40（本）；乙的藏书为40×2=80（本）；丙的藏书为40×3=120（本）．
用逆推法可推出甲、乙、丙原来的册数，列表如下：

答：原来甲、乙、丙各有书95、75、70册．


C
一．填空题（共10小题）
【例101】 1．（2015•陈省身杯）在A、B、C三个水槽中各养了若干条金鱼，若从A槽移12条金鱼到C槽，则C槽内的金鱼数量将是A槽内的2倍；若从B槽中移9条金鱼到A槽中，则A槽与B槽的金鱼数将相同．若从B槽移6条金鱼到C槽，则B槽内与C槽中的金鱼数也会相同．那么，起初金鱼数量最多的水槽中有60条金鱼．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】根据题意得到以下关系（A﹣12）×2=C+12；B﹣9=A+9；B﹣6=C+6，从后两个关系可以看出B是最多的，B比A多9+9=18，比C多6+6=12，由此又可推出C比A多18﹣12=6．
【解答】解：
B比A多9+9=18（条）
B比C多6+6=12（条）
C比A多18﹣12=6（条）
从A槽移12条金鱼到C槽，则此时C比A多12×2+6=30（条）
所以A原来有30+12=42（条）
B原来有42+18=60（条）
故填60

【例102】 2．（2014•小机灵杯）对一个正整数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，依此类推直到得到1时停止操作．那么，经过10次操作变为1的数有55个．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】本题可以通过所给的变换规律，由易到难，确定操作可变为1的数组成斐波拉契数列，再根据所发现的规律求出经过9次操作变为l的数的个数．
【解答】解：通过1次操作变为1的数有1个，即2；
经过2次操作变为1的数有1个，即4；
经过3次操作变为1的数有2个，即3、8；
…；
经过5次操作变为1的数有8个，即11、24、10、28、13、64、31、30；
经过1、2、3、4、5…次操作变为1的数依次为1、1、2、3、5、8…，这即为斐波拉契数列，
则第7次后是：5+8=13个，第8次后是13+8=21个，第9次后是21+13=34个，第10次后是21+34=55个；
即经过10次操作变为1的数有55个．
答：经过10次操作变为1的数有55个．
故答案为：55．

【例103】 3．（2013•希望杯）A、B、C、D四个箱子中分别装有一些小球，现将A 箱中的部分小球按如下要求转移到其他三个箱子中：该箱中原有几个小球，就再放入几个小球，此后，按照同样的方法依次把B、C、D箱中的小球转移到其他箱子中，此时，四个箱子都各有16个小球，那么开始时装有小球最多的是A箱，其中装有33小球个．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】根据最后四个箱子都各有16个小球，所以小球总数为16×4=64个，最后一次分配达到的效果是，从D中拿出一些小球，使A、B、C中的小球数翻倍，则最后一次分配前，A、B、C中各有小球16÷2=8个，由于小球的转移不改变总数，所以最后一次分配前，D中有小球64﹣8﹣8﹣8=40个；于是得到D被分配前的情况：A8，B8，C8，D40；倒数第二次分配达到的效果是，从C中拿出一些小球，使A、B、D中的小球数翻倍，则倒数第二次分配前，A、B中各有小球8÷2=4个，D中有40÷2=20个，总数不变，所以最后一次分配前，C中有小球64﹣4﹣4﹣20=36个
于是得到C被分配前的情况：A4，B4，C36，D20，同样的道理，在B被分配前，A中有小球4÷2=2个，C中有小球36÷2=18个，D中有小球20÷2=10个，B中有小球64﹣2﹣18﹣10=34个，即B被分配前的情况：A2，B34，C18，D10；再推导一次，在A被分配前，B中有小球34÷2=17个，C中有小球18÷2=9个，D中有小球10÷2=5个，B中有小球64﹣17﹣9﹣5=33个，即A被分配前的情况：A33，B17，C9，D5，而A被分配前的情况，就是一开始的情况，所以一开始，A箱子装有最多的小球，数量为33个
【解答】解：根据最后四个箱子都各有16个小球，所以小球总数为16×4=64个，
最后一次分配达到的效果是，从D中拿出一些小球，使A、B、C中的小球数翻倍，则最后一次分配前，A、B、C中各有小球16÷2=8个，由于小球的转移不改变总数，
所以最后一次分配前，D中有小球64﹣8﹣8﹣8=40个；于是得到D被分配前的情况：A8，B8，C8，D40；
倒数第二次分配达到的效果是，从C中拿出一些小球，使A、B、D中的小球数翻倍，则倒数第二次分配前，A、B中各有小球8÷2=4个，D中有40÷2=20个，总数不变，
所以最后一次分配前，C中有小球64﹣4﹣4﹣20=36个，于是得到C被分配前的情况：A4，B4，C36，D20，
同样的道理，在B被分配前，A中有小球4÷2=2个，C中有小球36÷2=18个，D中有小球20÷2=10个，B中有小球64﹣2﹣18﹣10=34个，即B被分配前的情况：A2，B34，C18，D10；
再推导一次，在A被分配前，B中有小球34÷2=17个，C中有小球18÷2=9个，D中有小球10÷2=5个，B中有小球64﹣17﹣9﹣5=33个，即A被分配前的情况：A33，B17，C9，D5；
而A被分配前的情况，就是一开始的情况，所以一开始，A箱子装有最多的小球，数量为33个；
答：开始时装有小球最多的是A箱，其中装有33小球个；
故答案为：A，33．

【例104】 4．（2012•其他模拟）三年级有甲、乙、丙三个班，甲班比乙班多 4 名女生，乙班比丙班多 1 名女生，如果将甲班的第一组同学调入乙班，同时将乙班的第一组同学调入丙班，将丙班的第一组同学调入甲班，则三个班的女生人数恰好相同．已知丙班第一组有2 名女生，那么甲班第一组有5名女生．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】甲班比乙班多4个女生，乙班比丙班多1个女生，可以知道甲班比丙班多5个女生，乙班比丙班多1个女生，可以知道甲乙两班一共比丙班多6个女生，由“甲班比乙班多4名女生”，则甲班第一组有（6﹣4）÷2+4=5（名）．
【解答】解：（4+1+1﹣4）÷2+4
=2÷2+4
=1+4
=5（名）
答：甲班第一组有5名女生．
故答案为：5．

【例105】 5．（2012•其他模拟）将某数的3倍减5，计算出答案，将答案再3倍后减5，计算出答案，这样反复经过4次，最后计算的结果为691，那么原数是11．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】从最后的结果往前逆推，结果是691，这是一个数的3倍减5得到的，这个数应该是（691+5）÷3=232，这是经过3次后的结果；以此类推便可求出原数．
【解答】解：第四次计算后的结果为691，
第三次计算后的结果为：（691+5）÷3=232，
第二次计算后的结果为：（232+5）÷3=79，
第一次计算后的结果为（79+5）÷3=28；
原数为：（28+5）÷3═11
答：原数为11．
故答案为：11．

【例106】 6．一只海龟从出生起体重一年增产一倍，30年长到40千克，那么这只海龟从出生起长到5千克需要27年．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】利用逆推法，根据“每年增产1倍，”，30年长到40千克，则第29年就是长到20千克，28年长到10千克，27年即可长到5千克，据此解答．
【解答】解：30年长到40千克，
则第29年就是长到40÷2=20（千克），
28年长到20÷2=10（千克），
27年即可长到10÷2=5（千克），
答：这只海龟从出生起长到5千克需要27年．
故答案为：27．

【例107】 7．马虎作减法时，他把减数个位上的6看成了5，有把十位上的7看成了9，结果得181，正确结果是200．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】此题将错就错，从结果出发，算出被减数，即：95+181=276；然后再减去正确的减数，即可得出正确的结果．
【解答】解：令减数是两位数，那么错误的减数是95，正确的减数是76．
被减数是：95+181=276；
正确的差是：276﹣76=200．
故答案为：200．

【例108】 8．对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加1，如此进行，直到得数是1时停止．那么，经过9次操作变为1的数有55个．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】本题可以通过所给的变换规律，由易到难，确定操作可变为1的数组成斐波拉契数列，再根据所发现的规律求出经过9次操作变为l的数的个数．
【解答】解：通过1次操作变为1的数为2，再经过一次操作变为2的数为4、1，即通过两次操作变为1的数为4、1，
再经过1次操作变为4的数有两个为3、8、2，即通过3次操作变为1的数有两个为3，8，…，
经过1、2、3、4、5…次操作变为1的数依次为1、2、3、5、8…，这即为斐波拉契数列，
后面的数依次为：13+8=21，21+13=34，34+21=55．
答：经过9次操作变为1的数有55个．
故答案为：55．

【例109】 9．今有甲、乙、丙三堆棋子共98枚，先从甲堆中分棋子给另外两堆，使这两堆棋子数各增加一倍，再把乙堆棋子照这样分配一次，最后把丙堆棋子也这样分配，结果甲堆棋子数是丙堆的，乙堆棋子数是丙堆的，原来三堆各有棋子52、30、16．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】根据最后一次的结果，甲=丙=丙，乙=丙，所以设丙=15，乙=22，甲=12；丙堆棋子分前，甲=6，乙=11，丙=32；乙堆棋子分前，甲=3，乙=30，丙=16；甲堆棋子分前，甲=26，乙=15，丙=8；所以甲占，乙占，丙占，进而用按比例分配的方法分别求出三堆棋子的枚数．
【解答】解：甲=丙=丙，乙=丙，设丙=15，甲=12，乙=22，
丙分前：甲=6，乙=11，丙=32，
乙分前：甲=3，乙=30，丙=16，
甲分前：甲=26，乙=15，丙=8，
所以甲占，乙占，丙占，
因此：甲堆棋子数：98×=52（枚），
乙堆棋子数：98×=30（枚），
丙堆棋子数：98×=16（枚）；
答：原来甲堆有棋子52枚，乙堆有棋子30枚，丙堆有棋子16枚．

【例110】 10．（2011•其他模拟）有一堆桃子，第一只猴子拿走一半加半个；第二只猴子拿走剩下的一半加半个；第三只猴子拿走剩下的一半加半个，结果剩下一个桃．那么原来有桃子15个．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】从最后剩下一个桃向前推，再加半个就是第三只猴子拿走剩下的一半，所得结果再加半个是第二只猴子拿走剩下的一半，所得结果再加半个是第一只猴子拿走一半，由此列式解决问题．
【解答】解：{[（1+0.5）÷+0.5]÷+0.5}÷，
={[3+0.5]÷+0.5}÷，
={7+0.5}÷，
=15（个）；
答：原来有桃子15个．
故答案为：15．

二．解答题（共40小题）
【例111】 11．（2015•学而思杯）甲、乙、丙、丁四个数的和是192，甲加上3、乙减去3、丙乘3和丁除以3的结果相同，这四个数分别是多少？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】设最后相同的结果是x，那么甲数就是x﹣3，乙数是x+3，丙数就是x÷3，丁数就是3x，把这四个数相加的和就是192，由此列出方程求解．
【解答】解：设最后相同的结果是x，则：
x﹣3+x+3+x÷3+3x=192
5x=192
x=192×
x=36
甲数：36﹣3=33
乙数：36+3=39
丙数：36÷3=12
丁数：36×3=108
答：甲数是33，乙数是39，丙数是12，丁数是108．

【例112】 12．（2015•学而思杯）猪八戒喜欢吃西瓜，他找到一片成熟的西瓜地，第一天吃了西瓜地里一半的西瓜还多6个，第二天吃了剩下的一半还少一个，第三天他吃了剩下的一半还剩两个，原来这片西瓜地有多少个西瓜？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】运用逆推的方法，第三天吃了第二天吃后剩下的一半后还剩下2个，那么第二天吃后剩下个就是2×2=4个；第二天吃了第一天吃后剩下的一半还少一个，那么第二天吃后剩下的个数就第一天吃后剩下的个数一半多1个，用第二天吃后剩下的个数减去1个就是第一天吃后剩下的一半，再乘上2就是第一天吃后剩下的个数；第一天吃了西瓜地里一半的西瓜还多6个，那么第一天吃后剩下的个数加上6个，就是西瓜总数的一半，再乘上2就是总数．
【解答】解：根据题意列表如下：

数量
最后剩下
2个
第二天吃后剩下
2×2=4（个）
第一天吃后剩下
（4﹣1）×2=6（个）
总数量
（6+6）×2=24（个）
答：原来这片西瓜地有24个西瓜．

【例113】 13．（2014•创新杯）三年级（1）班小马做两个两位数乘法时，把其中一个乘数的个位4看成了1，得出的乘积是735，另一个同学把这个乘数的个位数看成了8，得出乘积为980．
（1）求另一个没有被看错的乘数是多少？
（2）正确的乘积应该是多少？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】（1）980﹣735=245，乘积相差245，是因为一个因数不变，另一个因数多看了8﹣1=7，即：7乘未变的因数=245，求出未变的因数；
（2）根据看错的积求出另一个正确的因数，进而可求出正确的积．
【解答】解：（1）由题意，980﹣735=245，一个因数多看了8﹣1=7，
245÷7=35，
∴另一个没有被看错的乘数是35；
（2）735÷35=21，
把这个乘数的个位数字误看成1，这个因数是24，
∴正确的乘积应该是24×35=840．

【例114】 14．（2013•奥林匹克）有红、黄、蓝三个小分队，现在对这三个小分队进行了一次调整，第一次，蓝队不动，红、黄两队中的一队调出7人给另一组；第二次，黄队不动，红、蓝两队中的一队调出7人给另一组；第三次，红队不动，黄、蓝两队中的一队调出7人给另一组．最后红、黄、蓝三个小分队分别有5人、13人、6人，那么，原来三个小分队分别有多少人？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】此题采用倒推的策略，根据最后的情况往前推．
【解答】解：

红
黄
蓝
第三次
5
13
6
第二次
5
13﹣7=6
6+7=13
第一次
5+7=12
6
13﹣7=6
最初
12﹣7=5
6+7=13
6
答：红队原来有5人，黄队原来有13人，蓝队原来有6人．

【例115】 15．（2012•其他模拟）有一堆西瓜，第一次卖出总个数的又6个，第二次卖出余下的又4个，第三次卖出余下的又3个，正好买完．问：这堆西瓜原来有多少个？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】第三次，卖出余下的，还剩1﹣=，所以这就是多卖的3个，所以第三次卖出3÷=6（个）；
第二次卖出后余下的，还有1﹣=，再卖出4个还剩6个，所以第二次卖出以前有（6+4）÷=15（个）；
第一次卖出总数的，还有1﹣=，则再卖出6个，还有15个，那么这堆西瓜原来有：（15+6）÷=28（个）．
【解答】解：[（3÷+4）÷（1﹣）+6]÷，
=[（6+4）÷+6]÷，
=[10×+6]×，
=[15+6]×，
=21×，
=28（个）；
答：这堆西瓜原来有28个．

【例116】 16．小明读一本英语书，第一次读时，第一天读35页，以后每天都比前一天多读5页，结果最后一天只读了35页便读完了；第二次读时，第一天读45页，以后每天都比前一天多读5页，结果最后一天只需读40页就可以读完，问这本书有多少页？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】本题考察还原问题．考虑到第一种阅读的方案，第二天读40页，第三天读45页，而第二种阅读的方案是从45页开始，最后一天读的40页可以调到第一天，则第二种方案所读的页数依旧能保持是一个等差数列，首项为40，则第一种方案把第一天读的35页调至最后一天，应与最后一天的35页凑成一个完整的等差数列的末项，依此解答．
【解答】解：第一方案：35、40、45、50、55、……、35
第二方案：45、50、55、60、65、……、40，
两次方案调整如下：
第一方案：40、45、50、55、……、35+35（第一天放到最后）
第二方案：40、45、50、55、……、□（最后一天放到第一天）
这样第二方案一定是40、45、50、55、60、65、70，
40+45+50+55+60+65+70=385（页）
答：这本书共有385页．

【例117】 17．南水池有水3830立方米，北水池有水850立方米，如果南水池里的水以每分32立方米的速度流入北水池，那么，多少分后南水池中的水是北水池的3倍？
【考点】N3：和倍问题；NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】水的总体积不变，要使最后南水池中的水是北水池的3倍，那么现在（3830+850）立方米就是北水池的（3+1）倍，用除法求出现在北水池水的体积，再求出与原来的体积差，然后再除以每分流水的速度32立方米即可．
【解答】解：（3830+850）÷（3+1）
=4680÷4
=1170（立方米）
（1170﹣850）÷32
=320÷32
=10（分钟）
答：10分钟后南水池中的水是北水池的3倍．

【例118】 18．某车间分成甲、乙两个组，因生产需要，把甲组工人的一半调到乙组去了，后来改变工作程序，又把乙组工人中的25人调到了甲组，这时甲组有45人，乙组有22人．甲、乙两个组原来各有多少人？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】我们知道调动前后总人数45+22=67人不变；在没有把乙组的25人调到甲组时，甲组的人数是45﹣25=20人，这20人是它原来人数的一半，这样就可求得甲组原有的人数，之后也就可得出乙组原有人数了．
【解答】解：22+45=67（人）
（45﹣25）×2=40（人）
67﹣40=27（人）
答：甲组原来有40人，乙组原来有27人．

【例119】 19．有三组小朋友共72人，第一次从第一组里把与第二组同样多的人数并入第二组；第二次从第二组里把与第三组同样多的人数并入第三组；第三次从第三组里把与第一组同样多的人数并入第一组．这时，三组的人数一样多．问原来各组有多少个小朋友？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】由题意知：第三次并入后三个小组人数相等均为72÷3=24人．在这以前，即第三组没把与第一组同样多的人数并入第一组时，第一组应是24÷2=12人，第三组应是（24+12）=36人，第二组人数仍为24人；在第二次第二组没把与第三组同样多的人数并入第三组之前，第三组应为36÷2=18人，第二组应为（24+18）=42人，第一组人数仍是12人；在第一次第一组没把与第二组同样多的人数并入第二组之前，第二组的人数应为42÷2=21人，第一组人数应为12+21=33人，第三组应为18人．整个推理过程如下表

【解答】解：72÷3=24（人）
24÷2=12（人）
（24+12）÷2=18（人）
（24+18）÷2=21（人）
12+21=33（人）
（具体的三组人数变化及推理过程见分析中的图表）
答：第一、二、三组原有小朋友分别是33人、21人、18人

【例120】 20．一条毛毛虫由幼虫长到成虫，每天长一倍，16天能长到16厘米．问它几天可以长到4厘米？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】一条毛毛虫由幼虫长成成虫，每天长大一倍，16天能长到16厘米，16厘米的一半的一半是4厘米，提前2天，逆推知道14天就长到4厘米，由此得出答案．
【解答】解：16÷2÷2=4（厘米），
所以从4厘米长到16厘米只要2天，
16﹣2=14（天），
答：长到4厘米时要用14天．

【例121】 21．甲在加工一批零件，第一天加工了这堆零件的一半又10个，第二天又加工了剩下的一半又10个，还剩下25个没有加工．问：这批零件有多少个？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】第二天又加工了剩下的一半又10个，还剩下25个没有加工，也就是25+10=35（个），正好是第一天加工后剩下的一半，那么第一天加工后剩下35×2=70（个）；第一天加工了这堆零件的一半又10个，剩下70个，那么70+10=80（个）是这堆零件的一半，那么这堆零件共有80×2=160（个），解决问题．
【解答】解：[（25+10）×2+10]×2
=[35×2+10]×2
=[70+10]×2
=80×2
=160（个）
答：这批零件有160个．

【例122】 22．爸爸买了一些橘子，全家人第一天吃了这些橘子的一半多1个，第二天吃了剩下的一半多1个，第三天又吃了剩下的一半多1个，还剩下1个，问爸爸买了多少个橘子？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】利用逆推的方法，即可得出结论．
【解答】解：最后只剩下1个，因为第三天吃掉了剩下的一半多一个
所以第二天剩下的有：（1+1）×2=4个
第二天剩下四个是因为第二天吃了剩下的一半多一个
所以第一天剩下的：（4+1）×2=10个
第一天剩下10个是因为吃了这些橘子的一半多一个
所以这些橘子：（10+1）×2=22个
答：爸爸买了22个橘子．

【例123】 23．一群蚂蚁搬家，原存一堆食物．第一天运出总数的一半少12克．第二天运出剩下的一半少12克，结果窝里还剩下43克，问蚂蚁家原有食物多少克？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】此题从后向前推算，根据“第二天运出剩下的一半少12克，还剩43克”可知，43﹣12=31正好是第一次运出剩下的一半，所以第一次运出余下了31×2=62（克）；由“第一天运出总数的一半少12克，”，剩下62克吨，那么62﹣12=50克，正好是全部的一半，因此这个蚂蚁家原有食物50×2，解决问题．
【解答】解：[（43﹣12）×2﹣12]×2
=[62﹣12]×2
=50×2
=100（克）
答：蚂蚁家原有食物100克．

【例124】 24．在电脑里输入一个数，它将按给定的特殊指令进行如下计算：

请问a可能是哪些数？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】27是奇数，所以不可能是奇数+3得到的，所以前一步得到的数是54，再根据给定的特殊指令进行计算，即可得出结论．
【解答】解：27是奇数，所以不可能是奇数+3得到的，所以前一步得到的数是54；
如果54是由奇数51+3得到的，那么输入的数字只可能是51×2=102；
如果54是由108÷2得到的，那么那么输入的数字有两种可能，一个是108﹣3=105，一个是108×2=216；
如果102是由奇数99+3得到的，那么输入的数字只可能是99×2=198；
如果102是由204÷2得到的，那么那么输入的数字有两种可能，一个是204﹣3=201，一个是204×2=408；
如果105是由210÷2得到的，那么那么输入的数字有两种可能，一个是210﹣3=207，一个是210×2=420；
如果216是由奇数213+3得到的，那么输入的数字只可能是213×2=426；
所以a可能是198，201，408，207，420，426．

【例125】 25．小明读一本书．第一天读了全书的又3页，第二天读的页数比余下的少2页，第三天读的比剩下的多2页，还有16页没读．这本书有多少页？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】根据题意的叙述顺序，由后向前逆推计算，把第三天没读前的页数看作单位“1”，则（2+16）是它的（1﹣），由此根据分数除法的意义可得第三天没读前的页数：（2+16）÷（1﹣）=48（页）；同理，再把第二天没读前的页数看作单位“1”，是（48﹣2）÷（1﹣）=69（页）；再把第一天没读前的页数看作单位“1”，即这本书的总页数是（69+3）÷（1﹣）=144（页）；据此解答即可．
【解答】解：（2+16）÷（1﹣）
=18
=48（页）
（48﹣2）÷（1﹣）
=46
=69（页）
（69+3）÷（1﹣）
=72
=144（页）
答：这本书有144页．

【例126】 26．一根电线，第一次用去全长的少1米，第二次用去的比余下的多3米，还剩下51米，第一次用去多少米？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】先把第二次用去的后余下的长度看作单位“1”，则（3+51）米相当于余下长度的（1﹣），由此用除法求出余下的长度，即（3+51）÷（1﹣）=81（米）；再把原来的长度看作单位“1”，那么（81﹣1）米相当于原来长度的（1﹣），由此再用除法求出原来的总长度，再根据分数乘法的意义进一步解答即可．
【解答】解：（3+51）÷（1﹣）
=54
=81（米）
（81﹣1）÷（1﹣）
=80
=100（米）
100×﹣1=19（米）
答：第一次用去19米．

【例127】 27．A、B、C三人各有巧克力若干，A先拿出自己的一半平分给B、C；然后B拿出自己现有的一半平分给A、C；最后，C又拿出自己现有的一半平分给A、B．这时，三人的巧克力数量相同，都是32颗．原来，A、B、C各有多少颗巧克力？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】运用逆推法求解，最后三人的巧克力数是32颗；
第三步操作C拿出自己现有的一半后是32颗，那么这之前C有32×2=64颗；
C拿出的32颗，A、B各分了32÷2=16颗；
那么第三步操作前A、B各有32﹣16=16颗；
第二步操作B拿出自己现有的一半平分给A、C；那么这之前B有16×2=32颗；
B拿出了16颗平均分给A和C，A、C各分了16÷2=8颗；
那么第二步操作前，A有16﹣8=8颗，C有64﹣8=56颗；
第一步操作A先拿出自己的一半平分给B、C，那么这之前A有8×2=16颗；
A拿出了8颗平均分给了B和C，B、C各分8÷2=4颗，
第一步操作前B有32﹣4=28颗，C有56﹣4=52颗．
【解答】解：第三步操作前：
C有：32×2=64（颗）；
C拿出的32颗，A、B各分了32÷2=16（颗）；
A、B各有32﹣16=16（颗）；

第二步操作前
B有：16×2=32（颗）；
B拿出了16颗平均分给A和C，A、C各分了16÷2=8（颗）；
A有16﹣8=8（颗），
C有64﹣8=56（颗）；

第一步操作前（原来）：
A有：8×2=16（颗）；
A拿出了8颗平均分给了B和C，B、C各分8÷2=4（颗），
B有32﹣4=28（颗），
C有56﹣4=52（颗）．
答：原来A有16颗，B有28颗，C有52颗．

【例128】 28．一群蚂蚁搬家，第一次把所存的粮食运出一半少12克；第二次运出剩下的一半多10克；第三次运出48克，这时，窝里还剩28克．原来窝里有粮食多少克？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】第三次运出48克，这时，窝里还剩28克，那么第二次运走后还剩下48+28=76克；
第二次运出剩下的一半多10克，用第二次剩下的质量加上10克，即可求出第一次运走后剩下质量的一半，再乘上2即可求出第一次运走后剩下的质量；
第一次把所存的粮食运出一半少12克，再用第一次运走后剩下的质量减去12克，就是总质量的一半，再乘上2就是总质量．
【解答】解：第二次运走后剩下：
48+28=76（克）
第一次运走后剩下：
（76+10）×2
=86×2
=172（克）
原来有：
（172﹣12）×2
=160×2
=320（克）
答：原来窝里有粮食320克．

【例129】 29．A、B、C三人各有硬币若干枚．A将自己的硬币分给B、C，使他们的硬币各增长了一倍；之后，B将自己的硬币分给A、C，使他们的硬币各增长了一倍；最后，C将自己的硬币分给A、B，使他们的硬币各增长了一倍．这样，三人的硬币都是8枚．请问他们原来各有硬币多少枚？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】运用逆推法，最后3人都是有8枚硬币；
最后一步操作前：
A、B各有：8÷2=4枚；C减少了8枚，那么在最后一步操作前有8+8=16枚；
第二步操作前：
A有：4÷2=2枚，C有：16÷2=8枚；B减少了2+8=10枚，那么在第二步操作前有4+10=14枚；
第一步操作前（原来）：
B有：14÷2=7枚，C有8÷2=4枚，A减少了7+4=11枚，A原来有2+11=13枚．
【解答】解：最后一步操作前：
A、B各有：8÷2=4（枚）；
C减少了4+4=8（枚），
那么在最后一步操作前有：8+8=16（枚）；

第二步操作前：
A有：4÷2=2（枚），
C有：16÷2=8（枚）；
B减少了2+8=10（枚），
那么在第二步操作前有4+10=14（枚）；

第一步操作前（原来）：
B有：14÷2=7（枚），
C有：8÷2=4（枚），
A减少了7+4=11（枚），
A原来有2+11=13（枚）．
答：A原来有硬币13枚，B原来有硬币7枚，C原来有硬币4枚．

【例130】 30．四只猴子摘了一堆桃子，它们准备先回去睡一觉后再来分桃子．过了一会，其中一只猴子来了，它见别的猴子没来，便把桃子平分成4堆，发现余下3个，于是给其中三堆各多分了一个桃子，然后拿走余下的一堆跑掉了；又过一会儿，另一只猴子来了，它见别的猴子没来，把桃子也分成4堆，发现还是多出3个，于是也给其中三堆各多分了一个桃子，自己带着余下的一堆跑掉了；轮到另外两只猴子时，分别发生了同样的事情．如果最后一只猴子至少拿走了一个桃子，那么这堆桃子至少有多少个？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】如果没有多3个的话，分了四次，答案应是4×4×4×4=256个，现在多了3个，所以结果是256+3=259个．
【解答】解：4×4×4×4+3
=256+3
=259（个）
答：堆桃子至少有259个．

【例131】 31．一群蚂蚁搬家，蚁洞内原存放一堆食物，第一次运出一半少80克，第二次运出剩下的一半多50克，第三次运出再剩下的一半多20克，这时蚁洞里还剩250克食物．问蚁洞内原来有多少克食物？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】此题从后向前推算．第二次运出余下：（250+20）×2=540（克），第一次运出余下：（540+50）×2=1180（克），那么在第一次没运之前有食物（1180﹣80）×2，解决问题．
【解答】解：{[（250+20）×2+50]×2﹣80}×2，
={[270×2+50]﹣80}×2，
={[540+50]×2﹣80}×2，
={590×2﹣80}×2，
=1100×2，
=2200（克）；
答：蚁洞内原来有2200克食物．

【例132】 32．一天，三只小猫在湖边钓了一堆鱼，实在太累了，就坐在河边的柳树下休息，一会儿都睡着了．第一只小猫醒了，看到其他两只小猫睡得正香，没有吵醒他们，就把鱼平均分成三分，自已拿一份走了，不一会儿，第二只小猫也醒了，他也把鱼平均分成三份，自已拿一份走了．太阳快落山了，第三只小猫才醒来．他想，我的两个同伴去哪了？这么晚了，我得回家，于是，他又把鱼平均分成三份，自己拿一份．最后剩下8条鱼．他们这一天共钓了27条鱼．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】从最后剩下8条鱼是两份，求得一份，进一步求得3份，即8÷2×3；向前推得出第二只猫拿走之前的条数为8÷2×3÷2×3；再向前推得出第一只猫拿走之前的条数为8÷2×3÷2×3÷2×3；由此问题解决．
【解答】解：8÷2×3÷2×3÷2×3，
=12÷2×3÷2×3，
=18÷2×3，
=27（条）；
答：他们这一天共钓了27条鱼．
故答案为：27．

【例133】 33．一根铁丝，第一次用去它的一半少1米，第二次用去剩下的一半多1米，最后剩下5米．问这根铁丝原来长多少米？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】此题采用逆推法来解答，先从结果出发向前推算．“第二次用去剩下的一半多1米，最后剩下5米”，那么（5+1）米正好占第一次用完剩下的，即第一次用完剩下（5+1）=12（米）；“第一次用去它的一半少1米”，那么（12﹣1）正好占全长的，所以全长就为（12﹣1）．
【解答】解：[（5+1）﹣1]，
=[12﹣1]，
=11×2，
=22（米）．
答：这根铁丝原来长22米．

【例134】 34．小明用一元买了5支铅笔和8块橡皮，余下的钱，如果买一支铅笔就不足2分；如果买一块橡皮就多出1分．每支铅笔多少分？每块橡皮多少分？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】根据题意知道，如果小明多2分钱的话，正好可以买6支铅笔和8块橡皮，从总的钱数中减去铅笔比橡皮贵的钱，剩下的钱正好是14块橡皮的价钱，可用除法先求出每块橡皮的价钱，进而求出每支笔的价钱．
【解答】解：橡皮的单价：1元=100分，
[100+2﹣（2+1）×（5+1）]÷14，
=[100+2﹣18]÷14，
=84÷14，
=6（分），
铅笔的单价：6+2+1=9（分），
答：每支铅笔9分，每块橡皮6分．

【例135】 35．有甲、乙两个港口，各停小船若干只，如果按下面的规则移动船只：第一次从甲港开出和乙港同样多的船只到乙港，第二次从乙港开出和甲港剩下的同样多的船只到甲港，那么照这样移动四次后，甲乙两港所停的小船只数都是48只，甲乙两港最初各有小船多少只？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】第四次从乙港开出船只到甲港后，两港各有船48只，那么在乙港船只移动前，甲港所停的船只数应是（48÷2）只，乙港所停船的只数应是（48+48÷2）只，这是第四次移动船只前的情况，依照这个逆推的过程，可以逆推出每次移动前的情况，直到推出甲乙两港最初停有船的只数．
【解答】解：（1）第四次移动前：
甲港：48÷2=24（只），
乙港：48+24=72（只），
（2）第三次移动前：
乙港：72÷2=36（只），
甲港：24+36=60（只），
（3）第二次移动前：
甲港：60÷2=30（只），
乙港：36+30=66（只），
（4）第一次移动前：
乙港：66÷2=33（只），
甲港：33+30=63（只），
答：最初甲港有船63只，乙港有船33只．

【例136】 36．甲、乙、丙、丁4人打桥牌，由甲发牌，牌从丁开始按顺时针方向分发，牌发到中间，甲被事情打断，待甲回来后他已记不得刚才最后一张牌发给谁了（其他3人也未留意）．请问：有无办法在各人不数自己手中现有牌数的情况下，可准确无误地将剩下的牌发完？

【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】最后一张牌发给最后一个人，然后按逆时针从依次倒数第二张发给第二人，…，一定要从底下拿牌，
即：从最后一张倒过来发牌，顺序是：丙→乙→丁→甲，顺序也就是反过来．
【解答】解：我们知道桥牌用52张牌，分发给4人，这样最后一张牌应发给发牌人甲（一者他是上首丁开始分发的，二者52÷4=13无剩余），
倒数第2张应发给丁，例数第3张应发给乙，这样便有了继续分发剩余牌的方法：从底往上按逆时针方向从甲开始分发其余下的牌即可．

【例137】 37．桌上有四堆木棒，分别有17根、7根、6根和2根，现在请你从某一堆中拿出几根到另一堆中，使另一堆的木棒数量增加一倍．这样挪动四次后，要使四堆木棒的数目相等，应如何移动？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】根据题意知道四堆木棒共（17+7+6+2）根，挪动四次后每堆有[（17+7+6+2）÷4]根，再根据四堆木棒中，最多的是17根，最少的是2根，所以先从最多的木棒中拿取，再根据“从某一堆中拿出几根到另一堆中，使另一堆的木棒数量增加一倍，”可以得出每次拿出木棒的根数及要拿给哪堆木棒，由此即可得出答案．
【解答】解：原来的四堆木棒分别是：17根，7根，6根，2根，
第1次，从17根中移出7根，形成10，14，6，2，
第2次，从14根中移出6根，形成10，8，12，2，
第3次，从10根中移出2根，形成8，8，12，4，
第4次，从12根中移出4根，形成8，8，8，8．

【例138】 38．一辆汽车从甲地开往乙地，平路占全程的3/5，剩下的路程中3/8是上坡路，其余是下坡路．回来时上坡路是5千米．甲、乙两地相距多少千米？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】回来时上坡路也就是去时的下坡路，即：剩下路程中的是回来时的上坡路，也就是5千米，把剩下的路程看作单位“1”，于是剩下的路程为5÷（1﹣）；全程为5÷（1﹣）÷（1﹣）=20千米．
【解答】解：5÷（1﹣）÷（1﹣），
=8÷，
=20（千米）．
答：甲、乙两地相距20千米．

【例139】 39．某人驾驶一辆小轿车要作32000千米的长途旅行，除了车上装着四只轮胎，只带了一只备用胎，为了使五只轮胎磨损程度相同，司机有规律地把五只轮胎轮换使用，到达终点时．每只轮胎行驶了25600千米．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】车上需要4只轮胎，因为最后每只轮胎的磨损程度相同，那么每只轮胎就都跑了全程的．
【解答】解：32000×=25600（千米）
故答案为：25600．

【例140】 40．瓶内装有油，倒进500克油以后又倒出一半，又倒进600克，这时瓶内有油1300克，问瓶内原有油多少克？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】瓶中最后有1300克油，那么倒进600克之前就有1300﹣600克，这是倒进500克后的一半，乘以2就是倒入500克后的重量再减去500克就是原有的重量．
【解答】解：（1300﹣600）×2﹣500
=700×2﹣500
=1400﹣500
=900（克）；
答：瓶内原有油900克．

【例141】 41．贝贝和晶晶本来有相同数量的弹子球，后来贝贝又买了35颗，而晶晶丢掉了15颗，这时他们两人弹子球的总数是100．请问刚开始时贝贝和晶晶分别有多少颗弹子球？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】贝贝又买了35颗，而晶晶丢掉了15颗，实际增加了35﹣15=20颗，用100减20就是两人原来弹子的总数，再除以2就是两人分别原来有多少颗弹子球．据此解答．
【解答】解：[100﹣（35﹣15）]÷2
=[100﹣20]÷2
=80÷2
=40（颗）
答：开始时贝贝和晶晶分别有40颗弹子球．

【例142】 42．有一个卖茶叶蛋的老太太，第一次卖去锅内茶叶蛋的一半多2个，第二次又买去了一半多2个，锅内还有1个茶叶蛋，这个老太太原来一共有多少个茶叶蛋？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】本题根据已知条件从后往前分析，因为第二次拿走后剩下的一半多2个，这时还剩下1个．所以剩下的一半为：1+2=3（个），所以第一次拿走后剩下的就是：3×2=6（个），又因为第一次卖去锅内茶叶蛋的一半多2个，所以可得出原来的一半是6+2=8个，据此乘2即可得出原来的茶叶蛋数量．
【解答】解：因为第二次拿走后剩下的一半多2个，这时还剩下1个．
所以剩下的一半为：1+2=3（个），剩下的就是：3×2=6（个）
第一次拿走全部的一半多2个，那么全部的一半是6+2=8（个），原来一共有8×2=16（个）
答：原来一共有16个茶叶蛋．

【例143】 43．古时候，传说捷克的公主柳布莎出过这样一道有趣的题：“一只篮子中有若干李子，取它的一半又一个给第一个人；再取其余一半又一个给第二人；又取最后所余的一半又三个给第三个人．那么篮内的李子就没有剩余，篮中原有李子多少个？”
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】最后的一半又3个给第三人，说明最后的一半就是3个，第三人得到6个；取余下一半又1个给第二人，说明第二人所取的余下一半比最后的6个多1个，所以第二人得到8个；第一人取后还剩下14个；若干李子，取一半又1个给第一人，剩下14个，说明这一半是15个，所以这个篮子里原来有30个李子．
【解答】解：[（3×2+1）×2+1]×2，
=[7×2+1]×2，
=15×2，
=30（个）；
答：篮中原有李子30个．

【例144】 44．小明在计算两位数乘两位数时，把一个因数的个位数6错写成9，结果得936，实际应为864．这两个因数各是多少？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】根据题意，把一个因数的个位数6错写成9，也就是这个因数多了9﹣6=3，那么结果就比原来的结果多了3个另一个因数，用两次结果的差除以3就是另一个因数，然后再进一步解答即可．
【解答】解：另一个因数是：（936﹣864）÷（9﹣6）
=72÷3，
=24；
这个因数是：864÷24=36；
答：这两个因数分别是24、36．

【例145】 45．小明在计算有余数除法时，把被除数567错写成521，这样商比原来少了2，而余数正好相同．请你算出正确的除数和余数．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】因为商比原来少了2，但余数恰好相同，所以被除数减少的数即除数的2倍，即除数为：（567﹣521）÷2=23，然后根据“被除数÷除数=商…余数”进行解答即可．
【解答】解：（567﹣521）÷2，
=46÷2，
=23；
567÷23=24…15；
答：除数为23，余数为15．

【例146】 46．桌上放有4堆糖，小美从第1堆中拿出一半放入第2堆，拿出43颗放入第3堆，再拿出剩下中的一半放入第4堆，最后又吃掉第1堆中的6颗，这时第1堆中还有32颗糖．那么，第1堆中原有多少颗糖？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】根据“最后又吃掉第1堆中的6颗，这时第1堆中还有32颗糖，”得出没吃6颗糖前，第1堆有：32+6=38（颗）；再根据“再拿出剩下中的一半放入第4堆，”得出没放第4堆前，第1堆有：38×2=76（颗）；再根据“拿出43颗放入第3堆，”则没放第3堆前，第1堆有：76+43=119（颗）；最后根据“小美从第1堆中拿出一半放入第2堆”，得出没放第2堆前，第1堆有：119×2=238（颗）．
【解答】解：没吃6颗糖前，第1堆有：32+6=38（颗）；
没放第4堆前，第1堆有：38×2=76（颗）；
没放第3堆前，第1堆有：76+43=119（颗）；
没放第2堆前，第1堆有：119×2=238（颗），
答：第1堆原有238颗糖．

【例147】 47．一块冰，每小时失去其重量的一半，八小时之后其重量为千克，那么一开始这块冰的重量是80千克．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】抓住最后的重量千克，是第八小时之前的重量的一半，则第八个小时之前的重量就是×2=千克，这又是第七小时之前的重量的一半，所以第七小时之前的重量是×2=千克，依此类推，即可得出冰块最初的重量．
【解答】解：×2×2×2×2×2×2×2×2=80（千克），
答：一开始这块冰的重量是80千克．
故答案为：80．

【例148】 48．小诚在做一道减法题时，错把被减数十位上的2看作7，减数个位上的5看作8，结果得到的是592．正确的差是545．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】被减数十位上的2抄成了7，结果差就多了70﹣20=50；减数个位的5抄成8，结果差就减少了8﹣5=3；所以最后得到的差比正确的差多了50﹣3=47，所以正确的差是592与47的差，据此计算即可．
【解答】解：70﹣20=50，
8﹣5=3，
50﹣3=47，
592﹣47=545，
答：正确的商是545．
故答案为：545．

【例149】 49．袋子里有若干个球，小明每次拿出其中的一半再放回一个球，一共这样做了五次，袋中还有3个球，问原来袋中有多少个球？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】每次拿出其中的一半再放回一个球，也就是每次拿出其中的一半少1个；最后剩3个球，则第五次拿之前的小球数为：2×（3﹣1）=4（个），同理推出第四次拿之前的小球数：2×（4﹣1）=6（个），…第一次拿之前的小球数：2×（18﹣1）=34 （个）．
【解答】解：第五次拿之前的小球数：2×（3﹣1）=4（个），
第四次拿之前的小球数：2×（4﹣1）=6（个），
第三次拿之前的小球数：2×（6﹣1）=10（个），
第二次拿之前的小球数：2×（10﹣1）=18 （个），
第一次拿之前的小球数：2×（18﹣1）=34 （个）；
答：原来袋中有34个球．

【例150】 50．（2010•中环杯）甲乙丙丁四人约定上午10时在公园门口集合．人到齐后，甲说：“我提前了6分钟，乙正点到的．”乙说：“我提前了7分钟，丙比我晚3分钟．”丙说：“我提前了4分钟，丁提前了2分钟．”丁说：“我还以为我迟到了1分钟呢，其实我到达两分钟后才听到收音机里十时整的报时声．”请根据以上谈话，分析谁的表最快，快多少分钟？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】首先根据每个人说的内容推理出到达时间和手表的显示时间，找出谁的手表快的最多即可．
【解答】解：首先“丁”是到达两分钟后才听到收音机里十时整的报时声是正确的．到点是9：58分．显示时间10：01，快3分钟．
根据丙丁时间差是2分钟，丙提前4分钟，那么时间是9：56分．
根据乙丙时间差4分钟，那么乙的时间是在前4分钟，是9：53．
甲乙的时间差是6分钟．甲的时间是9：47．甲说提前6分钟那么到的时间是9：54分．快7分钟
人物
达到的正确时间
每个人的显示时间
丁
9：58
10：01
丙
9：56
9：56
乙
9：53
9：53
甲
9：47
9：54
答：甲的手表最快，快7分钟．

【例151】 1．（2013•育苗杯）某细菌繁殖每小时增加1倍，10小时后增加到1024万个，当细菌增加到256万个时，用了8 小时．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】此题属于逆推问题，从后向前推算．因为细菌繁殖每小时增加1倍，也就是每小时是原来的2倍，那么第9个小时是1024÷2=512（万个），第8个小时是512÷2=256（个）；因此，当细菌增加到256万个时，用了8小时．
【解答】解：第9个小时：1024÷2=512（万个）；
第8个小时：512÷2=256（个）；
答：当细菌增加到256万个时，用了8个小时．
故答案为：8．

【例152】 2．（2011•创新杯）有三个最简分数：．如果把这三个分数的分子都加上c，得到三个新分数之和为6，那么ɑ+b+c=10．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】三个分数都是最简真分数．因此a＜3，b＜4，c＜6，6之内和6互质的只有1和5，若C=1，则变化后三个分数都不超过1，和不可能为6；当C=5，由于三个分数和为6，且通分后分母为12，因此分子和为72，有4（a+c）+3（b+c）+2（c+c）=72，c=5，4a+3b=17，a=（17﹣3b）÷4，由于各字母都是整数，只有当b=3时，17﹣3b才能被4整除，此时a=2，从而问题得解．
【解答】解：因为a＜3，b＜4，c＜6，
则c只能是1或5，
又因C=1，则变化后三个分数都不超过1，和不可能为6；
所以c是5；
因此：4（a+c）+3（b+c）+2（c+c）=72，
则4a+3b=17，a=（17﹣3b）÷4，
所以只有当b=3时，17﹣3b才能被4整除，此时a=2，
a+b+c=2+3+5=10．
故答案为：10．

【例153】 3．（1993•其他杯赛）甲、乙、丙三人各有糖豆若干粒．甲从乙处取来一些糖豆，使原有糖豆增加一倍；乙从丙处取来一些糖豆，使留下的糖豆也增加一倍；丙再从甲处取来一些糖豆，也使留下的糖豆增加一倍．现在三人的糖豆一样多．开始时，甲有a粒糖豆，那么乙有糖豆a粒．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】“甲从乙处取来一些糖豆，使原有糖豆增加一倍，开始时，甲有a粒糖豆”，则甲从乙处取了a粒糖豆后有2a粒糖豆，“丙再从甲处取来一些糖豆，也使留下的糖豆增加一倍．现在三人的糖豆一样多”，这时丙从甲处取的糖豆就是2a×=a粒糖豆，这时甲的糖豆数是2aa=a粒糖豆，就是三人一样多时的糖豆，“乙从丙处取来一些糖豆，使留下的糖豆也增加一倍”，乙在没从丙处取之前的糖豆应是a÷2=a粒糖豆，乙开始时的糖豆数就是a+a=a粒糖豆．据此解答．
【解答】解：①甲从乙处取糖豆后有糖豆：a+a=2a（粒）
②丙从甲处取的糖豆是：2a×=a（粒）
这时甲的糖豆数是：2aa=a（粒）
③乙在没从丙处取之前的糖豆应是：a÷2=a（粒）
乙开始时的糖豆数是：a+a=a（粒）
答：开始时乙有糖豆a粒．
故答案为：a．

【例154】 4．三堆煤共有240吨，先从第一堆搬出与第二堆相同的吨数的煤并入第二堆，再从第二堆里搬出与第三堆相同的吨数的煤并入第三堆，最后再从第三堆里搬出与这时第一堆吨数相同的煤并入第一堆．这时，三堆煤的吨数相等，问原来三堆煤各有110吨、70吨、60吨．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】最后各堆的质量相等，那么各有80吨，根据各堆的变化从后向前推算，进行列表求解．
【解答】解：最后有240÷3=80（吨）；
列表如下：
搬动情况
第一堆
第二堆
第三堆
第三次搬动后
80吨
80（吨）
80（吨）
第二次搬动后
80÷2=40（吨）
80（吨）
80+40=120（吨）
第一次搬动后
40（吨）
80+60=140（吨）
120÷2=60（吨）
初始情况
40+70=110（吨）
140÷2=70（吨）
60吨
由表格可知：原来第一堆有110吨，第二堆有70吨，第三堆有60吨．
故答案为：110吨、70吨、60．

二．解答题（共21小题）
【例155】 5．（2012•中环杯）甲、乙两个油桶中各装了15千克油．售货员在售出14千克油后对两个油桶中的油进行了重新分配．他先把甲桶中的一部分油倒入乙桶中，使乙桶中的油增加了5千克．然后又把乙桶中的一部分油倒回甲桶中，使甲桶中的油增加了一倍．这时，甲桶中的油恰好是乙桶中的油的7倍．问原来两个桶中各售出了多少千克油？
【考点】N3：和倍问题；NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】根据题意，卖出后，甲乙两桶还剩油的总重是15×2﹣14=16千克；当甲桶油恰好是乙桶油的7倍，由和倍公式可以求出这时甲乙各有多少千克油，再根据逆推法可以求出所求的问题．
【解答】解：卖出后，甲乙两桶还剩油的总重是：15×2﹣14=16（千克）
所以甲桶油恰好是乙桶油的7倍时
乙桶：16÷（7+1）=2（千克）
甲桶：2×7=14（千克）
乙桶倒给甲桶：14÷（1+1）=7（千克）
这时乙桶有：16﹣7=9（千克）
乙桶原来有：9﹣5=4（千克）
那么乙桶卖了：15﹣4=11（千克）
甲桶原有：16﹣4=12（千克）
甲桶卖出了：15﹣12=3（千克）
答：甲售出3千克，乙售出11千克．

【例156】 6．（2009•春蕾杯）有甲、乙、丙三堆弹子共96颗，第一次从甲堆中取出与乙堆相同的弹子并入乙堆；第二次再从乙堆中取出与丙堆相同的弹子并入丙堆；第三次从丙堆中取出与甲堆剩下的弹子数相同的弹子并入甲堆中，这时三堆弹子数相等．原来每堆弹子各有多少个？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】三堆弹子的颗数恰好完全相同，就是把96平均分成3份，据此即可求出相等时，三堆弹子的颗数，再按照各自的变化情况，逆推回去即可得出原来的颗数．
【解答】解：三次交换只改变了三堆各自的数目，而总数不变最后结果三堆数目相同，因此总数应该是3的倍数．
所以当三堆弹子相等时，每堆都有：96÷3=32（颗），
因为第三次从丙堆中取出与甲堆剩下的弹子数相同的弹子并入甲堆中，
则甲堆第二次交换后剩下的是32÷2=16（颗），丙此时就是32+16=48（颗），
又因为第二次是从乙堆中取出与丙堆相同的弹子并入丙堆，使丙堆有48颗，则可得丙原来有48÷2=24（颗）；
所以乙堆第一次交换后剩下的就是32+24=56（颗），
又因为第一次是从甲堆中取出与乙堆相同的弹子并入乙堆，
则乙原来有56÷2=28（颗）；
所以甲原来有16+28=44（颗）；
答：甲堆原来有44颗，乙堆原来有28颗，丙堆原来有24颗．

【例157】 7．（2007•希望杯）有一个培养某种微生物的容器，这个容器的特点是：往里面放入微生物，再把容器封住，每过一个夜晚，容器里的微生物就会增加一倍，但是若在白天揭开盖子，容器内的微生物正好减少16个．小丽在实验室的当天往容器里放入一些微生物，心急的她在第二，三，四天都开封看了看，到了第五天，当他又启封查看时，惊讶得发现微生物都没了，请问，小丽开始往容器里放了多少微生物？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】这是一道还原问题，从正面来看这道题目，觉得会很困难．这就需要我们采取倒推法还原：0←16←8←24←12←28←14←30←15，所以原来容器内放了15个微生物．
【解答】解：①第四天晚上有
0+16=16（个）；
第四天白天有
16÷2=8（个）；
②第三天晚上有
8+16=24（个）；
第三天白天有
24÷2=12（个）；
③第二天晚上有
12+16=28（个）；
第二天白天有
28÷2=14（个）；
④第一天晚上有
14+16=30（个）；
第一天白天有
30÷2=15（个）．
答：小丽开始往容器里放了15个微生物．

【例158】 8．（1990•迎春杯）今有甲、乙、丙三堆棋子共98枚．先从甲堆中分棋子给另外两堆，使两堆棋子数各增加一倍，再把乙堆棋子照这样分配一次．最后把丙堆棋子也这样分配．结果甲堆棋子数是丙堆摸子数的，乙堆棋子数是丙堆棋子数的．问三堆中原来最多一堆的棋子是多少？（要求说明过程）
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】根据最后一次的结果，甲=丙=丙，乙=丙=丙，所以设丙=15，乙=22，甲=12；丙堆棋子分前，甲=6，乙=11，丙=32；乙堆棋子分前，甲=3，乙=30，丙=16；甲堆棋子分前，甲=26，乙=15，丙=8；所以甲占，乙占，丙占，进而用按比例分配的方法分别求出三堆棋子的枚数即可得解．
【解答】解：甲=丙=丙，乙=丙=丙，设丙=15，乙=22，甲=12；
丙分前：甲=6，乙=11，丙=32；
乙分前：甲=3，乙=30，丙=16；
甲分前：甲=26，乙=15，丙=8；
所以甲占，乙占，丙占，
因此：甲堆棋子数：98×=52（枚），
乙堆棋子数：98×=30（枚），
丙堆棋子数：98×=16（枚）；
答：三堆中原来最多一堆的棋子是52枚．

【例159】 9．甲、乙、丙、丁四个小组的同学共植树45棵，如果甲组多植2棵，乙组少植2棵，丙组植的树扩大2倍，丁组植的树减少一半，那么4个小组植的棵数正好相同，原来四个小组各植树多少棵？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】最后4个小组植的棵数相等，设最后的数都是x，那么甲组原来是x﹣2，乙组原来是x+2，丙组原来是x÷2，丁组原来是2x，它们的和是45，由此列出方程解答即可．
【解答】解：设后来每组植的棵数为x，由题意得
x﹣2+x+2+x+2x=36
x=45
x=10
甲组：10﹣2=8（棵）
乙组：10+2=12（棵）
丙组：10÷2=5（棵）
丁组：10×2=20（棵）
答：甲组植树8棵，乙组植树12棵，丙组植树5棵，丁组植树20棵．．

【例160】 10．老师买了13盒钢笔分给同学们，每盒钢笔的支数都相同，每人拿到的钢笔数目也相同，分完后发现剩下了半盒，这时又来了8名同学，于是老师又买了3盒钢笔，给他们发了同样数目的钢笔后，还剩下2支，后来又来了10名同学，老师又买了4盒钢笔后，正好全部分完．请问：原来有多少名同学？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】设每盒有钢笔x支，8名同学分了3盒半钢笔，还剩下2支，所以8人一共分了（3.5x﹣2）支，这个数量除以8，就是每人分的支数；最后10个同学分了4盒零2支，那么可以得出每人分了（4x+2）÷10支；根据每人分的支数相等列出方程，求出每盒的支数，进而求出每人分的支数；再根据原来的人数分了12.5盒，求出原来的学生数．
【解答】解：设每盒有钢笔x支，
（3.5x﹣2）÷8=（4x+2）÷10
=
（3.5x﹣2）×10=（4x+2）×8
35x﹣20=32x+16
3x=36
x=12
每人分：（4x+2）÷10=（4×12+2）÷10=50÷10=5（支）
原来的人数：
（13﹣0.5）×12÷5
=12.5×12÷5
=150÷5
=30（名）
答：原来有30名同学．

【例161】 11．如图空格中的数是上层两侧数字的和．（例如11=5+6）．问x的值一定是多少？

【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】根据观察可知：从下向上数第二层的两个相加的和是60，第二层的两个数分别是11+（6+x）和（6+x）+（7+x）．据此可列式解答．
【解答】解：11+（6+x）+（6+x）+（7+x）=60
3x+30=60
3x=30
x=30÷3
x=10
答：x的值一定是10．

【例162】 12．有20堆石子，每堆100个．每次操作都可任选一堆，而从其它19堆中各取1个石子，将19个石子全部都加入所选的这堆石子中，您可以继续以上的操作．经过不超过50次的操作之后，其中某一堆石子有66个石子，此时另有一堆石子的数量介于170和200个之间．请问这堆石子的确切数量是多少个？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】某一堆石子，如果被取一次，则数量减少1，如果被放入一次，则数量增加19．考虑有66粒石子的那一堆，如果至少一次被放，则最多49次被取，最后石子数是70粒，不符合题意．所以该堆石子一次也没被放入过，则总共操作了100﹣66=34次．假设另一堆在170﹣200之间的石头在34次操作中被加了x次，那么这堆石头现在的个数为
100+19x﹣（34﹣x）=66+20x，且要使这个石头的总数在170﹣200之间．据此解答．
【解答】解：根据分析知一堆只有66个石子没有放入石子过一共取的次数是
100﹣66=34（次）
假设另一堆在170﹣200之间的石头在34次操作中被加了x次，那么这堆石头现在的个数为
100+19x﹣（34﹣x）=66+20x
即170＜66+20x＜200
可知x=6
66+20×6
=66+120
=186（粒）
答：这堆石子有186粒．

【例163】 13．甲、乙、丙三个仓库各自存放若干吨粮食，第一次从甲仓库取出的粮食平分给乙仓库和丙仓库；第二次从这时的乙仓库取出的粮食平分给甲仓库和丙仓库；第三次从这时的丙仓库取出的粮食平分给甲仓库和乙仓库，现在三个仓库存粮都是432吨，问原来三个仓库各存粮多少吨？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】根据最后三个仓库存粮吨数相等，都是432吨，据此求出第三次取出之前，丙仓库内的粮食是432÷（1﹣）=576（吨），那么此时甲乙仓库的粮食数相等是：432﹣576××=360（吨），又因为第二次从这时的乙仓库取出的粮食平分给甲仓库和丙仓库；那么乙仓库之前有是360÷=720（吨），则甲仓库此时是360﹣720×=180（吨），丙仓库就是576﹣720×=396（吨）；又因为第一次从甲仓库取出的粮食平分给乙仓库和丙仓库；所以之前甲仓库是180÷（1﹣）=300（吨），则乙仓库是720﹣300×=660（吨），丙仓库是396﹣300×=336（吨），据此即可解答问题．
【解答】解：根据题干分析可得：
第三次取出之前：丙仓库内的粮食是432÷（1﹣）=576（吨）
那么此时甲乙仓库的粮食数相等是：432﹣576××=360（吨）

第二次取出之前：乙仓库之前有是360÷=720（吨）
则甲仓库此时是360﹣720×=180（吨）
丙仓库就是576﹣720×=396（吨）

第一次取出之前：甲仓库是180÷（1﹣）=300（吨），
则乙仓库是720﹣300×=660（吨），
丙仓库是396﹣300×=336（吨）．
答：原来甲仓库存粮300吨，乙仓库存粮660吨，丙仓库存粮336吨．

【例164】 14．计算一条除数式时，若不小心将除数由31写成13，结果得出商数是10、余数是4．问这条除数式正确的商数和余数是多少？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】先求出除数是13，商是10，余数是4时被除数是多少，利用被除数=商×除数+余数；然后被除数不变，除数换成31，求出正确的商和余数，即可得解．
【解答】解：被除数：
13×10+4=134，
134÷31=4…10；
因此正确的商是4，余数是10；
答：这条除数式正确的商数是4，余数是10．

【例165】 15．有一堆棋子，把它们五等份后还剩4个；取其中的三份再五等份还剩3个；再取其中两份五等份还剩2个．这堆棋子最少有多少个？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】设棋子的数量是x颗，第一次分每等分a颗；第一次分每等分b颗；第一次分每等分c颗；由此找出x与c之间的关系，再根据x和c都是整数，把c从1开始进行讨论求解．
【解答】解：设棋子共有x颗，第一次分每等分a颗；第一次分每等分b颗；第一次分每等分c颗；则
x=5a+4；
3a=5b+3；
2b=5c+2；
化简可知：6x=125c+104；
因为x和c都为正整数，
c=1时，x=38.166…，不符合题意；
c=2时，x=59，符合题意；
答：这堆棋子最少有59颗棋子．
用还原法：
最后“取其中2份5等分剩2个”，则最少每份2个（由于取2的倍数，所以最少取2个），所以2份共5×2+2=12个，
所以每份是12÷2=6个，
又“取其中的三份再五等分剩3个”，说明三份共5×6+3=33个，
所以每份是33÷3=11个，
“把它们五等分剩余4个”，说明共有11×5+4=59个，
即这堆棋子最少有59个．

【例166】 16．小明做减法题时，把被减数个位上的3错写成5，把十位上的1错写成7，这样算得的结果是201．正确的差应该是多少？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】“把被减数个位上的3错写成5，把十位上的1错写成7”，相当于把被减数看多了75﹣13=62，再根据减数不变，可知算得的差比正确的差也得多62，据此用201减去62即为正确的差．
【解答】解：小明把被减数看多了：75﹣13=62，
减数不变，差也多了62，
所以正确的差应该是：201﹣62=139；
答：正确的差应该是139．

【例167】 17．蔡明家有很多书，他把这些书借给同班同学看，他先借给了甲2本和剩下的，然后借给了乙3本和剩下的，又借给了丙4本和剩下的，最后剩下1本，求蔡明共有多少本书？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】这道题有多个单位“1”，可用倒推法把每一个单位“1”求出来解．这道题从后往前做，根据“又借给丙4本4本和剩下的，最后剩下1本”入手，把借给了丙4本后剩下的看作单位“1”，1本所对的分率是，所以这时的单位“1”的量是1÷=2（本），由此可知借给丙之前有4+2=6（本）；这时原题可变为“先借给了甲2本和剩下的，然后借给了乙3本和剩下的，最后还剩下6本”，同上方法可求出借给乙之前有6÷（1﹣）+3=12（本）；借给甲之前有12÷（1﹣）+2=18（本）．
【解答】解：借给丙之前的本数：
1÷+4，
=2+4，
=6（本），
借给乙之前的本数：
6÷（1﹣）+3，
=6+3，
=9+3，
=12（本），
借给甲之前的本数：
12÷（1﹣）+2
=12+2，
=16+2，
=18（本）．
答：蔡明共有18本书．

【例168】 18．有一篮子鸡蛋分给若干人，第一人拿走1个鸡蛋和余下的，第二人拿走2个和余下的，第三人拿走3个和余下的，…，最后恰好分完，并且每人分到的鸡蛋数相同，问：共有多少鸡蛋？分给几个人？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】依次拿出的鸡蛋的个数为1、2、3…是连续的几个自然数，每个人都又拿出剩下的，说明第一个人拿完1个鸡蛋后，剩下的个数正好是9的倍数，…由此推理可得：最后一个人拿完前一个人剩下的正好拿完，由此可得一共有8个人，进而解答．
【解答】解：根据题干分析可得：
一共有8个人，最后一个人拿了8个鸡蛋，
1﹣=，
则第六个人拿完剩下了：8÷+7=16个鸡蛋，
第五个人拿完剩下了：16÷+6=24个鸡蛋，
第四个人拿完剩下了：24÷+5=32个鸡蛋，
第三个人拿完剩下了：32÷+4=40个鸡蛋，
第二个人拿完剩下了：40÷+3=48个鸡蛋，
第一个人拿完剩下了：48÷+2=56个鸡蛋，
所以原来一共有：56÷+1=64个鸡蛋．
答：共有64个鸡蛋，分给8个人．

【例169】 19．将一个装有水的容器，第一次倒去原有的，第二次倒去剩余的，第三次倒去剩余的，第四次倒去剩余的．依次继续下去，在倒9次后，剩余的水恰好是原来的水的．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】把根据题意，对应的单位“1”是原来水的总量，则1×（1﹣）是第一次倒完剩下的；对应的单位“1”是第一次倒去剩下的，则1×（1﹣）×（1﹣）是第二次倒完剩下的；对应的单位“1”是第二用去剩下的，则×（1﹣）是第三次倒完剩下的；对应的单位“1”是第三次用去剩下的，则1×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）是第五次倒完剩下的；由此即可推理解答．
【解答】解：因为1×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×（1﹣），[来源:Zxxk.Com]
=1×××××××××，
=，
答：依次继续下去，在倒9次后，剩余的水恰好是原来的水的．
故答案为：9．

【例170】 20．一个书架分上中下三层，一共放书384本．如果从上层取出与中层一样多的本数放入中层，再从中层取出与下层一样多的本数放入下层，最后从下层取出与上层现在一样多的本数放入上层，这时三层书架中书的本数相等．书架的中层原来有书多少本？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】抓住三层书的本数相同时，书架上的书为：384÷3=128本，由此进行逆推．
【解答】解：现在上中下三层都有：384÷3=128本，
下层未给上层时，上层有：128÷2=64本，下层有：128+64=192本，中层有：128本；
中层未给下层时，下层有：192÷2=96本，中层有：128+96=224本，上层有：64本；
所以上层未给中层时，中层有：224÷2=112本；
答：原来中层有112本．

【例171】 21．一只猴子偷吃桃树上的桃子，第一天偷吃了，以后的28天，分别偷了当天现有桃子的，，…，，．偷了29天后，树上只剩下2个桃．问：树上原有多少个桃？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】最后剩下的2个桃子是第29天吃剩的，于是可以求出第29天时，应该有2÷（1﹣）=4个桃，第28天时有4÷（1﹣）=6个桃，第27天时有6÷（1﹣）=8个桃…就这样倒着想，可以求出树上原有桃子的个数．
【解答】解：2÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）÷…÷（1﹣），
=4÷÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）÷…÷（1﹣），
=6÷（1﹣）÷（1﹣）÷（1﹣）÷…÷（1﹣），
=8÷÷（1﹣）÷（1﹣）÷…÷（1﹣），
=58÷（1﹣），
=58×，
=60（个）；
答：树上原有桃60个

【例172】 22．甲、乙、丙、丁各有若干棋子，甲先拿出自己棋子的一部分给了乙、丙，使乙、丙每人的棋子数各增加一倍，然后乙也把自己棋子的一部分以同样的方式分给了丙、丁，丙也把自己棋子的一部分以这种方式给了甲、丁，最后丁也以这种方式将自己的棋子给了甲、乙，这时四人的棋子都是16枚．原来甲、乙、丙、丁四人各有棋子多少枚？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】此题是采用倒推法解决问题的，抓住最后甲乙丙丁是16，16，16，16，且每次分完后甲乙丙丁的棋子的枚数都是2的倍数，由此逆推即可解决问题．
【解答】从后往前推：最后甲乙丙丁是16，16，16，16，
那丁分之前甲乙丙丁是8，8，16，32，
那丙分之前甲乙丙丁是4，8，36，16，
那乙分之前甲乙丙丁是4，34，18，8，
那甲分之前甲乙丙丁是30，17，9，8，
答：原来甲有30、乙有17、丙有9、丁有8枚．

【例173】 23．有一个多位数，它的末位数字是4，如果把这个4移到最左边，得到的新数是原数的4倍，求原数．
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】个位是4是已知的，那么乘4是16，所以十位是6，百位是6乘4再加1是25，所以百位是5，以此类推，找出新数是原数4倍的数．
【解答】解：（1）4×4=16，十位的数字是6，向百位进1；
若是两位数，则为64，
46÷64≠4，不对；
（2）若是三位数，则为164，
416÷164≠4，不对；
6×4=24，加上进的1是25，百位上的数字是5，向千位进2；
（3）若是四位数，则为：2564，
4256÷2564≠4，不对；
5×4=20，加上进的2就是22，千位上的数字是2，向万位进2；
（4）若是五位数，则为82564，
48256÷82564≠4，不对；
2×4=8，把加进的2是10，万位上的数是0，向十万位进1；
（5）若为6位数，则为：102564，
410256÷102564=4，符合题意，正确．
故答案为：102564．

【例174】 24．一个车间计划用5天完成加工一批零件的任务，第一天加工了这批零件的多120个，第二天加工了剩下的少150个，第三天加工了剩下的多80个，第四天加工了剩下的少20个，第五天加工了最后的1800个．这批零件总数有多少个？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】本题从最后的结果出发，一步一步向前推．
（1）“第四天加工了剩下的少20个，第五天加工了最后的1800个”就把后2天加工的这部分看成单位“1”，第5天加工的数量减去20，就是单位“1”的，据此就可以求出三天后剩下的数量；
（2）“第三天加工了剩下的多80个”把后3天加工的数量再看成单位“1”，那么后2天加工的数量加上80就是单位“1”的1﹣，据此就可以求出后3天加工的数量；
（3）“第二天加工了剩下的少150个”把后4天加工的数量再看成单位“1”，那么后3天加工的数量减去150就是就是单位“1”的1﹣，据此就可以求出后4天加工的数量；
（4）“第一天加工了这批零件的多120个”把这批零件的数量看成单位“1”，那么后3天加工的数量加120个就是单位“1”的1﹣；用除法就可以求出总零件的数量．
【解答】解：后2天共加工：
（1800﹣20）÷（1﹣）
=1780
=3560（个），
后3天共加工：
（3560+80）÷（1﹣）
=3640
=5460（个）
后4天加工：
（5460﹣150）÷（1﹣）
=5310
=7080（个）
零件总数为：
（7080+120）÷（1﹣）
=7200
=9000（个）．
答：这批零件总数有9000个．

【例175】 25．设有甲、乙、丙三个小组，现对这三组人员进行三次调整：第一次丙组不动，甲、乙两组中的一组调出7人给另一组；第二次乙组不动，甲、丙两组中的一组调出7人给另一组；第三次甲组不动，丙、乙两组中的一组调出7人给另一组．经过三次调整后，甲组有5人，乙组有13人，丙组有6人．问原来各组各有多少人？
【考点】NC：逆推问题（还原问题）．
【分析】本题若按人员调整的先后顺序来推算，其困难是不知道第一次调整时，究竟是从甲组调出7人给乙组，还是从乙组调出7人给甲组，需要分别讨论，我们从最后的结果进行倒推就比较容易．第三次调整（甲组不动）后，各组人数是：5、13、6，由于这时丙组只有6人，所以，一定是从丙组调出7人给乙组，因此第三次调整前各组人数是：5、6、13，这也是第二次调整（乙组不动）后的人数．同理：第二次调整是从甲组调出7人给丙组，所以第二次调整前各组人数是：12、6、6，这也是第一次调整（丙组不动）后的人数．第一次调整必是乙调出7人给甲，所以，原来各组人数是：5、13、6．
【解答】解：第三次调整后：
甲组：5人，乙组：13人，丙组：6人；
第二次调整后：
甲组：5人，乙组：13﹣7=6（人），丙组：6+7=13（人）；
第一次调整后：
甲组：5+7=12（人），乙组：6人，丙组：13﹣7=6（人）；
原来：甲组：12﹣7=5（人），乙组：6+7=13（人），丙组：6人．
答：甲组原来有5人，乙组有13人，丙组有6人．