2023年广东省惠阳区中考一模数学试题

2023年广东省惠阳区中考一模数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列各数中，最大的数是（　　　）

A．2 B． C． D．

2．新冠病毒的直径大约是0.00000014米，呈圆形或者椭圆形，主要通过呼吸道进行传播．数据0.00000014用科学记数法表示（    ）

A． B． C． D．

3．下列计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

4．下面几何体中，其主视图与俯视图相同的是（    ）

A． B． C． D．

5．如图，，则的度数（    ）

A． B． C． D．

6．一次数学测试，甲、乙两班同学的成绩统计并分析如图所示，则下列说法正确的是（    ）

A．甲班的成绩比乙班的成绩稳定 B．小明得84分将排在甲班的前25名

C．甲，乙两班竞赛成绩的众数相同 D．甲班的整体成绩比乙班好

7．二次根式有意义，则的取值为（    ）

A． B． C． D．

8．如果一个多边形的内角和等于900°，这个多边形是（　　）

A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形

9．若，则的值为（    ）

A．8 B．7 C．5 D．6

10．二次函数的图像如图所示，有下列结论：

①；②；③；④．

其中正确的有（    ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

二、填空题

11．分解因式：__________．

12．如图，在平行四边形中，是边上的中点，连接，并延长交延长线于点，则与平行四边形的面积之比是__________．

13．若，则的值为__________．

14．为了测量校园水平地面上一棵不可攀爬的树的高度，小明利用物理学中“光的反射定律”做了如下的探索：如图，找一面很小的镜子放在合适的位置（点处），小明站在点处刚好能在镜子里看到树梢顶点，此时小明看镜子的视线与地面的夹角为（即），镜子到大树的水平距离为30米，则树的高度为__________米（注：反射角等于入射角，结果若有根号则保留根号）．

15．如图，在中，，，分别以点为圆心，相同半径画弧，弧线分别相交有两个交点，连接这两个交点的直线交于点，连接，则______．（结果若有根号则保留根号）

三、解答题

16．解不等式组，并求不等式组的正整数解．

17．先化简，再求值：，其中．

18．为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目（：书法，：绘画，：摄影，：泥塑，：剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．根据统计图信息完成下列问题：

(1)张老师调查的学生人数是______，其中选择“泥塑”选修课的人数是______，“剪纸”项目在扇形统计图中圆心角的度数为______；若该校共有学生1000名，请估计全校选修“绘画”的学生人数约是______．

(2)现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法（用表示），求所选2人都是选修“书法”的概率．

19．疫情全面开放以来，旅游业迅速升温，某旅行社为吸引广大市民组团去市旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为350元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于280元．

(1)如果某公司组织12人参加去市旅游，那么需人均支付旅行社旅游费用__________元；

(2)现某公司组织员工去市旅游，共支付给该旅行社旅游费用6000元，那么该单位有多少名员工参加旅游？

20．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴，轴分别交于点，已知点的纵坐标为1

(1)求一次函数的表达式；

(2)求点的坐标，并直接写出时的取值范围

21．如图，锐角，以为直径的与边交于点，与边交于点，过点作，垂足为点，连接．

(1)求证：是的切线；

(2)若，求和弧围成的阴影部分的面积．

22．如图1，正方形的边长为5，点为正方形边上一动点，过点作于点，将绕点逆时针旋转得，连接．

(1)证明：．

(2)延长交于点．判断四边形的的形状，并说明理由；

(3)若，求线段的长度

23．如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点是抛物线上位于直线上方的动点，分别过点作轴的平行线交抛物线于点，作轴的平行线交直线于点，以为边作矩形，求矩形周长的最大值，并求出此时点的坐标；

(3)若点是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？不存在，则说明理由；若存在，请求出点的坐标．

参考答案：

1．A

【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小进行比较即可．

【详解】解：根据题意，∵，

∴，

∴最大的数是2；

故选：A．

【点睛】此题主要考查了实数的比较大小，关键是掌握实数比较大小的法则．

2．C

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【详解】解：．

故选：C．

【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

3．D

【分析】根据合并同类项，可判断A，根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，可判断B，根据幂的乘方底数不变指数相乘，可判断C，根据同底数幂的除法底数不变指数相减，可判断D．

【详解】解：A、不是同类项不能合并，故A错误；

B、，故B错误；

C、，故C错误；

D、，故D正确．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键．

4．C

【分析】根据主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看所得到的图形进行分析即可．

【详解】解：A、圆柱的主视图是长方形，俯视图是圆，选项A不符合题意；

B、圆锥的主视图是三角形，俯视图是圆，选项B不符合题意；

C、正方体的主视图、俯视图都是正方形，选项C符合题意；

D、三棱柱的主视图是矩形，俯视图是三角形，选项D不符合题意；

故选：C．

【点睛】此题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．

5．C

【分析】根据平行线的性质以及三角形外角的性质得出，将已知数据代入即可求解．

【详解】解：∵

∴，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质以及三角形外角的性质是解题的关键．

6．B

【分析】数据分析中的方差越小，成绩越稳定；由中位数判断成绩排名；整体成绩需要参考各项分析数据方可得出结论．

【详解】解：A选项，甲班方差大于乙班方差，所以乙班成绩稳定，A错误；

B选项，甲班中位数是83，共50人参加，，排名在25名之前，B正确；

C选项，数据分析中未给出众数的相关信息，C无法判断，不选；

D选项，甲、乙两班平均数相等，甲班中位数小于乙班中位数，且甲班方差大于乙班方差，乙班成绩更加稳定，因此甲班整体成绩不如乙班好，D错误；

故选：B．

【点睛】本题考查数据整理和分析，掌握平均数、中位数、众数、方差的含义是解题的关键，易错点是方差越小越稳定．

7．B

【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．

【详解】解：根据题意得，．

解得：

故选：B．

【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义：被开方数为非负数是关键．

8．D

【分析】根据n边形的内角和为（n﹣2）•180°得到（n﹣2）•180°＝900°，然后解方程即可．

【详解】解：设所求正n边形边数为n，

则（n﹣2）•180°＝900°，

解得n＝7．

故选D．

【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．

9．C

【分析】完全平方公式的运用，，代入数值即可．

【详解】解：由，可得：

故选：C．

【点睛】本题考查完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式，并灵活运用是解题的关键．

10．B

【分析】由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；

由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等可判断②正确；

由图知时二次函数有最小值，可判断③错误：

由抛物线的对称轴为可得，因此，根据图像可判断④正确．

【详解】①∵抛物线的开口向上，

∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上，

由得，

故①正确．

②由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等．

由图知时，，

∴时，．

即．

故②正确．

③由图知时二次函数有最小值

故③错误．

④由抛物线的对称轴为可得

，

∴

当时，．

由图知时

故④正确．

综上所述：正确的是①②④．

故选B．

【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合是解题的关键．

11．

【分析】根据提公因式法分解因式即可．

【详解】解：

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握提公因式法，易错点是提取公因式后要保留1．

12．

【分析】根据平行四边形的性质得出，证明，，进而根据相似三角形的性质即可求解．

【详解】解：∵平行四边形中，是边上的中点，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

在中，

，

∴，

∴，

∴，

∴与平行四边形的面积之比是

故答案为：．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．

13．2

【分析】先根据绝对值和平方的非负性求出的值，然后代入代数式中即可得出答案．

【详解】，

故答案为：2．

【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握绝对值和平方的非负性是解题的关键．

14．

【分析】先由由反射定律可知，再解求出的长即可得到答案．

【详解】解：由反射定律可知，

在中，米，

∴米，

∴树的高度为米．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确求出是解题的关键．

15．

【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理，可得，由作图方法可知点在线段的垂直平分线上，进而可得，设，则，证明，根据相似三角形对应边成比例即可列式求解．

【详解】解：中，，，

，

由作图方法知：点在线段的垂直平分线上，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

设，则，

，

解得，（舍去），

．

故答案为：．

【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质等，解题的关键是设法证明．

16．原不等式组的解集为；原不等式组的正整数解为

【分析】分别解两个不等式，然后取得这两个不等式解的公共部分即可得出答案，最后求其整数解．

【详解】解：

解不等式①，得，

解不等式②，得，

原不等式组的解集为．

原不等式组的正整数解为

【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式及不等式组的知识，要掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

17．，

【分析】先算小括号里面的加法，然后再算括号外面的除法，最后代入求值．

【详解】解：

，

当时，原式．

【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则以及二次根式的分母有理化计算是解题关键．

18．(1)50，12，，120

(2)

【分析】（1）由A项对应学生人数及所占百分比，求出总人数；D项目人数总人数 除D项目之外的人数；求出E项人数的占比，再乘以即可；用B项人数占比乘以1000即可；

（2）画树状图求概率，见解析

【详解】（1）解：，调查人数是50人；

， D项目有12人；

，E项对应圆心角度数为；

，全校估计选修“B绘画”的学生有120人；

故答案为：50，12，，120．

（2）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，抽到两人都是书法（A）的结果有2种，

∴抽到两人都是书法的概率为．

【点睛】本题考查数据的统计和概率，解题关键是用同一项目的人数其所占样本数的比例，求出样本数，并用频率估计整体的概率，熟练使用树状图计算概率．

19．(1)340

(2)20名

【分析】（1）根据所给的收费标准列式求解即可；

（2）设该单位有名员工参加旅游，计算得到可分下列两种情况：当时，当时，根据所给的收费标准列出方程求解即可．

【详解】（1）解：，

人均支付旅行社旅游费用340元；

故答案为：340；

（2）解：设该单位有名员工参加旅游，由题意得：

，解得

，

该单位超过10人参加旅游；

当时，

由题意得，，

，

解得或（舍去）；

当时，

由题意得，，

解得（不符合题意）

综上所述，；

答：该单位有20名员工参加旅游．

【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题关键是需分不同情况进行讨论，根据题意列出一元二次方程，求解时舍去不符合题意的解，易错点是需确定未知数在不同取值范围时不同的解法．

20．(1)

(2)或

【分析】（1）代入A点的纵坐标到反比例函数求得A点的坐标，将A点的坐标带入到一次函数解析式，求得b的值，即求出一次函数解析式；

（2）联立一次函数与反比例函数解析式，求得B点的坐标；观察函数图像，得到时的取值范围．

【详解】（1）解：（1）点的纵坐标为1，点在上，

代入点纵坐标，解得：,

点的坐标为，

将代入一次函数，得，

解得：，

一次函数解析式为：，

（2）（2）联立解得：或

点的坐标是

点的坐标是

观察函数图像，时的取值范围为或．

【点睛】本题考查求一次函数解析式和函数图像上的不等关系，解题的关键是代入函数图像上一点的坐标进行求解，联立一次函数与反比例函数解析式求交点坐标，通过观察函数图像确定的取值范围．

21．(1)见解析

(2)，阴影部分的面积是

【分析】（1）连接，由等腰三角形和圆的性质，证明为的中位线，证明，即可证明是的切线；

（2）由等腰三角形、圆的性质，解直角三角形即可求、以及圆半径的长，由特殊角的三角函数值确定圆心角的度数，得出扇形的面积，进而求出阴影部分的面积．

【详解】（1）解：（1）证明：连接，

在中，为圆的直径，

，

又，

∴，

为的中位线，

，

，

，

，又为半径，

是的切线．

（2）（2），

，

，

是等边三角形，

，

又，

是等边三角形，

，

，

阴影部分的面积为．

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，圆的性质和切线的判定以及解直角三角形，解题的关键是熟练运用等腰三角形“三线合一”的性质、圆中直径所对的圆周角是，通过解直角三角形求出圆心角的度数以及各边的长．

22．(1)见解析

(2)正方形，见解析

(3)3

【分析】（1）由旋转的性质证明，即可得出答案；

（2）先证明四边形是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形即可证明；

（3）设正方形边长为x，在中用勾股定理即可求解．

【详解】（1）解：（1）由题意和旋转的性质可得：，

四边形是正方形

，

，即：

由：，

可得：，

；

（2）（2）四边形是正方形，理由如下：

由（1）得：，且

，

，

四边形是矩形，

，

四边形是正方形；

（3）（3）在正方形中，，

在正方形中，设，

，则，

在中，，

即：，

解得：（不符合题意，舍去），，

故答案为：3．

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定、正方形的判定及性质、以及勾股定理的运用，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定、正方形的判定方法是解题的关键，设所求线段为未知数，用勾股定理建立等量关系进行求解．

23．(1)

(2)矩形周长的最大值56，点的坐标为

(3)存在，点的坐标为或或

【分析】（1）把点B代入抛物线解析式中，进行计算即可；

（2）由抛物线的解析式，可得抛物线的对称轴，及A点坐标，求出直线的解析式，

设点横坐标为x，根据直线的解析式和中点坐标公式，用x表示出D点和Q点的坐标，即可用x表示、 的长，根据矩形的周长为：，由题意知，当点P在对称轴右侧时，取最大值，矩形的周长有最大值；

（3）根据点N在抛物线对称轴上得，讨论如下：①当为平行四边形的对角线时，②当为平行四边形的边时，若点M在对称轴左侧时，③当为平行四边形的边时；分别按照中点坐标公式计算对角线上两点的坐标即可求出M点的坐标．

【详解】（1）解：（1）把代入得，

解得．

这个抛物线的解析式为：；

（2）（2）抛物线的解析式为：，

对称轴为，

设直线的解析式为，

，解得

直线的解析式为，

设，则，

轴，

，则，

由题意得，当点在对称轴右侧时，矩形的周长最大，

矩形的周长

，

当时，矩形周长的最大值56，

此时点的坐标为；

（3）（3）存在，点的坐标为或或

理由如下：设，

分三种情况：

①当为对角线时，如图1，

，解得，

，点的坐标为；

②当为对角线时

，

，

解得

，

∴点的坐标为

③当为对角线时

，解得

，

∴点的坐标为．

综上，点的坐标为或或．

【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式，灵活运用矩形的性质，平行四边形的性质．