2022年江苏省南京大学强基计划数学试卷（初试）

这是一份2022年江苏省南京大学强基计划数学试卷（初试），共35页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。

2022年江苏省南京大学强基计划数学试卷（初试）
一、填空题。
1．（2022•南京自主招生）函数y＝的值域为　 　．
2．（2022•南京自主招生）x∈（0，），求函数y＝sin2xcosx的最大值为 　 　．
3．（2022•南京自主招生）已知x、y、z满足x+y+z＝1，则x2+4y2+9z2的最小值为 　 　．
4．（2022•南京自主招生）在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，已知acosC﹣bcos2A＝asinAsinB﹣csinA，则tanA的值为 　 　．
5．（2022•南京自主招生）若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是　 　．
6．（2022•南京自主招生）已知向量，，满足||＝3，||＝2，•＝6，且（）（+2）＝0，则|+|最小值为 　 　．
7．（2022•南京自主招生）已知直线y＝ax+2与三次曲线y＝x3﹣ax有三个不同交点，则a的取值范围为 　 　．
8．（2022•南京自主招生）在棱长为6的正四面体ABCD中，M为面BCD上一点，且|AM|＝5，设异面直线AM与BC所成的角为α，则|cosα|最大值为 　 　．
9．（2022•南京自主招生）方程x1+x2+x3+3x4+3x5+5x6＝7的非负整数解个数为 　 　．
10．（2022•南京自主招生）设F，l为双曲线＝1的右焦点与右准线，椭圆Γ以F和为其对应的焦点及准线，过F作一条平行于y＝x的直线，交椭圆Γ于A，B两点，若Γ的中心位于以AB为直径的圆外，则椭圆离心率e的范围为 　 　．

2022年江苏省南京大学强基计划数学试卷（初试）
参考答案与试题解析
一、填空题。
1．（2022•南京自主招生）函数y＝的值域为　[1，2]　．
【考点】函数的值域．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出函数的定义域，利用导数研究出函数的单调性，确定出最值的位置，求出相应的函数值，即可得到值域
【解答】解：∵y＝
∴解得4≤x≤5
又y′＝
令y′＞0解得，令y′＜0，得，故当函数取到最大值2
又x＝4时，y＝，x＝5时，y＝1
函数y＝的值域为[1，2]
故答案为[1，2]
【点评】本题考查求函数的值域，由于本题函数解析式比较特殊，单调性不易判断出，故采取了求导的方法研究函数的单调性，确定出函数最值的位置，求出值域，解答本题关键是熟练掌握求导公式，以及掌握导数法确定函数单调性的步骤．
2．（2022•南京自主招生）x∈（0，），求函数y＝sin2xcosx的最大值为 　　．
【考点】利用导数研究函数的最值．菁优网版权所有
【专题】转化思想；换元法；导数的综合应用；数学运算．
【答案】
【分析】由同角三角函数的平方关系，可得y＝cosx﹣cos3x，令t＝cosx∈（0，1），再求导，判断函数f（t）的单调性，然后求其最大值，即可．
【解答】解：y＝sin2xcosx＝（1﹣cos2x）cosx＝cosx﹣cos3x，
令t＝cosx，则f（t）＝t﹣t3，f'（t）＝1﹣3t2，
因为x∈（0，），所以t∈（0，1），
令f'（t）＝1﹣3t2＝0，则t＝±，
所以f（t）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，
所以f（t）max＝f（）＝，即函数y的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查利用导数求函数的最值，还涉及同角三角函数的平方关系，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
3．（2022•南京自主招生）已知x、y、z满足x+y+z＝1，则x2+4y2+9z2的最小值为 　　．
【考点】柯西不等式的几何意义；基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．
【答案】．
【分析】直接利用柯西不等式的应用求出结果．
【解答】解：已知x、y、z满足x+y+z＝1，利用柯西不等式，
整理得，当且仅当x＝4y＝9z，即x＝，y＝，z＝，时，等号成立，
故x2+4y2+9z2的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：柯西不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
4．（2022•南京自主招生）在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，已知acosC﹣bcos2A＝asinAsinB﹣csinA，则tanA的值为 　1　．
【考点】解三角形；正弦定理；余弦定理．菁优网版权所有
【专题】转化思想；转化法；解三角形；数学运算．
【答案】1．
【分析】根据已知条件，结合正弦定理，以及三角函数的恒等变换公式，求出sinA＝cosA，即可求解．
【解答】解：∵acosC﹣bcos2A＝asinAsinB﹣csinA，
∴由正弦定理可得，sinAcosC﹣sinBcos2A＝sin2AsinB﹣sinCsinA，
∴sinAcosC+sinCsinA＝sinB（sin2A+cos2A）＝sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
∴sinCsinA＝cosAsinC，
∵sinC≠0，
∴sinA＝cosA，
∴tanA＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于基础题．
5．（2022•南京自主招生）若数列x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则的取值范围是　[4，+∞）或（﹣∞，0]　．
【考点】等差数列的性质；等比数列的性质；基本不等式及其应用．菁优网版权所有
【专题】计算题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】由题意可知＝＝＝++2．由此可知的取值范围．
【解答】解：在等差数列中，a1+a2＝x+y；在等比数列中，xy＝b1•b2．
∴＝＝＝++2．
当x•y＞0时，+≥2，故≥4；
当x•y＜0时，+≤﹣2，故≤0．
答案：[4，+∞）或（﹣∞，0]
【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细思考．
6．（2022•南京自主招生）已知向量，，满足||＝3，||＝2，•＝6，且（）（+2）＝0，则|+|最小值为 　　．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】转化思想；分析法；平面向量及应用；数学运算．
【答案】．
【分析】先根据||＝3，||＝2，•＝6求出，的夹角θ，建立直角坐标系，设＝（x，y），根据（）（+2）＝0得到的终点的轨迹是以（﹣2，﹣）为圆心，为半径的圆，再根据||＝表示的是圆（x+2）2+（y+）2＝上的点到点（﹣2，﹣2）的最小值，进而求解即可．
【解答】解：设，的夹角为θ，根据•＝||||cosθ＝6，解得，则θ＝45°．
以方向为x轴正方向建立如下图坐标系：

则，，设＝（x，y），则，，
因为（）（+2）＝0，所以（3+x）（2+2x）+y（2+2y）＝0，整理得到（x+2）2+（y+）2＝，
所以的终点的轨迹是以（﹣2，﹣）为圆心，为半径的圆．
因为，所以||＝，表示的是圆（x+2）2+（y+）2＝上的点到点（﹣2，﹣2）的最小值，
经验证（﹣2，﹣2）在圆外，故最大值为点（﹣2，﹣2）到圆心的距离减去半径的长度．
点（﹣2，﹣2）到圆心的距离d＝＝，
则|+|最小值为＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查平面向量的数量积和图形的几何意义，属于中档题．
7．（2022•南京自主招生）已知直线y＝ax+2与三次曲线y＝x3﹣ax有三个不同交点，则a的取值范围为 　（，+∞）　．
【考点】利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】计算题；函数思想；分析法；导数的综合应用；数学运算．
【答案】（，+∞）
【分析】利用分离参数法，构造函数，再对函数求导，求得函数的单调性，再分析a的范围即可．
【解答】解：依题设得ax+2＝x3﹣ax，即x3＝2ax+2有三个不同的解．显然x≠0，于是．
记，则．
所以f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）及（0，+∞）上单调递增，
，，
由图像知2a＞3，解得a，

故答案为：（，+∞）．
【点评】本题考查导数的应用，考查学生的运算能力，属于难题．
8．（2022•南京自主招生）在棱长为6的正四面体ABCD中，M为面BCD上一点，且|AM|＝5，设异面直线AM与BC所成的角为α，则|cosα|最大值为 　　．
【考点】异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有
【专题】转化思想；综合法；空间角；逻辑推理；数学运算．
【答案】．
【分析】过点A作底面BCD的垂线为AH，H为垂足，连接DH，推导出AM是以AH为旋转轴的圆锥的母线，且M所在的底面圆周半径r＝1，由最小角定理知，AM与BC所成角α的最小值为AM与面BCD所成线面角，由此能求出结果．
【解答】解：过点A作底面BCD的垂线为AH，H为垂足，连接DH，

DH＝＝2，AH＝＝2，
∵AM＝5，∴AM是以AH为旋转轴的圆锥的母线，
且M所在的底面圆周半径r＝1，
由最小角定理知，AM与BC所成角α的最小值为：
AM与面BCD所成线面角，
即当α最小时，（cosα）max＝．
故答案为：．
【点评】本题考查线面角的定义、最小角定理、旋转的性质、正四面体的结构特征、圆锥的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
9．（2022•南京自主招生）方程x1+x2+x3+3x4+3x5+5x6＝7的非负整数解个数为 　81　．
【考点】函数的零点与方程根的关系．菁优网版权所有
【专题】计算题；转化思想；综合法；排列组合；逻辑推理；数学运算．
【答案】81．
【分析】讨论六个字母的取值，通过分类讨论，分别求解即可．
【解答】解：方程x1+x2+x3+3x4+3x5+5x6＝7的非负整数解，
令a＝x1+x2+x3，b＝x4+x5，c＝x6，可知c∈{0，1}，b∈{0，1，2}，a∈{0，1，2，3，4，5，6，7}，
又a+3b+5c＝7，
a＝7，x1，x2，x3可取{3，3，1；4，2，1；7，0，0；2，5，0；3，4，0；1，6，0；1，5，1；2，3，2}，非负整数解个数为3+6+3+6+6+6+3+3＝36组；
a＝6，非负整数解个数为0组；
a＝5，非负整数解个数为0组；
a＝4，x1、x2、x3，取值为：0，0，4；0，1，3；0，2，2；1，1，2四种类型，x6为0，x4，x5为0，1，
非负整数解个数为2×（3+6+3+3）＝30组；
a＝3，非负整数解个数为0组；
a＝2，x1、x2、x3，取值为：0，0，2；0，1，1；x6为1，x4，x5为0，0，
非负整数解个数为3+3＝6组；
a＝1，x1、x2、x3，取值为：0，0，1；0，1，0；1，0，0；x6为0，x4，x5为0，2；2，0，1，1；
非负整数解个数为3×3＝9组；
a＝0，非负整数解个数为0组；
共有：36+30+6+9＝81．
另解：x1+x2+x3+3x4+3x5+5x6＝7，
即为（x1+1）+（x2+1）+（x3+1）+3（x4+1）+3（x5+1）+5（x6+1）＝21，
设y1＝x1+1，y2＝x2+1，y3＝x3+1，y4＝x4+1，y5＝x5+1，y6＝x6+1，
y1+y2+y3＝z1，y4+y5＝z2，y6＝z3，
可得z1+3z2+5z3＝21，其中z1≥3，z2≥2，z3≥1，
由列举法可得（z1，z2，z3）可为（4，4，1）、（5，2，2）、（7，3，1）、（10，2，1），
所以原方程的非负整数解的个数为+++＝9+6+30+36＝81．
故答案为：81．
【点评】本题考查不定方程解的公式问题，排列组合的实际应用，是难题．
10．（2022•南京自主招生）设F，l为双曲线＝1的右焦点与右准线，椭圆Γ以F和为其对应的焦点及准线，过F作一条平行于y＝x的直线，交椭圆Γ于A，B两点，若Γ的中心位于以AB为直径的圆外，则椭圆离心率e的范围为 　＜e＜1　．
【考点】双曲线的性质；椭圆的性质．菁优网版权所有
【专题】数形结合；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学抽象；数学运算．
【答案】＜e＜1．
【分析】根据定义求得椭圆Γ的焦准距，设椭圆中心为O，建立平面直角坐标系，联立直线AB和椭圆Γ，利用韦达定理与向量法即可求解．
【解答】解：由双曲线方程可知其焦准距为：3，
则椭圆Γ的焦准距＝3（同侧焦点和准线），
如图，设椭圆中心为O，建立平面直角坐标系，

设Γ：＝1（a＞b＞0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
设直线AB方程：y＝（x+c），
联立直线AB和椭圆Γ可得：（b2+3a2）x2+6a2cx+3a2c2﹣a2b2＝0，
由韦达定理得：，
由椭圆中心O位于以AB为直径的圆外，
则有：＞0⇒x1x2+y1y2＞0，
代入韦达定理：+＞0，
所以4a4﹣10a2c2+3c4＜0，
即，3e4﹣10e2+4＜0，
解得：＜e＜1．
故答案为：＜e＜1．
【点评】本题考查双曲线和椭圆的性质，主要考查了离心率的范围和直线与圆锥曲线的位置关系，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．

考点卡片
1．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：≥（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，＝，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y≤，
若x＜0时，﹣≤y＜0，
综上得，可以得出﹣≤y≤，
∴的最值是﹣与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．

2、利用基本不等式证明不等式

3、基本不等式与恒成立问题

4、均值定理在比较大小中的应用



【解题方法点拨】
技巧一：凑项

点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）＝[2x•（8﹣2x）]≤（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y＝的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y＝＝＝（x+1）++5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥2+5＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x+的单调性．

技巧六：整体代换

点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方

点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
2．函数的值域
【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．
【解题方法点拨】（1）求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．
无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．
（2）函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．
在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．
（3）运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力．
【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数的压轴题中出现，是常考题型．
3．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
4．等差数列的性质
【等差数列】
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1+n（n﹣1）或Sn＝ （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）

例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．
（1）求此数列{an}的通项公式；
（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．
又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．
∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．
（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．
∴268是此数列的第136项．
这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．

【等差数列的性质】
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
5．等比数列的性质
【等比数列】
（又名几何数列），是一种特殊数列．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，因为第二项与第一项的比和第三项与第二项的比相等，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）． 注：q＝1 时，an为常数列．
等比数列和等差数列一样，也有一些通项公式：①第n项的通项公式，an＝a1qn﹣1，这里a1为首项，q为公比，我们发现这个通项公式其实就是指数函数上孤立的点．②求和公式，Sn＝，表示的是前面n项的和．③若m+n＝q+p，且都为正整数，那么有am•an＝ap•aq．

例：2，x，y，z，18成等比数列，则y＝　　．
解：由2，x，y，z，18成等比数列，设其公比为q，
则18＝2q4，解得q2＝3，
∴y＝2q2＝2×3＝6．
故答案为：6．
本题的解法主要是运用了等比数列第n项的通项公式，这也是一个常用的方法，即知道某两项的值然后求出公比，继而可以以已知项为首项，求出其余的项．关键是对公式的掌握，方法就是待定系数法．
【等比数列的性质】
（1）通项公式的推广：an＝am•qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak•al＝am•an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an•bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或⇔{an}是递增数列；或⇔{an}是递减数列；q＝1⇔{an}是常数列；q＜0⇔{an}是摆动数列．
6．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．

【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B

题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴

【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
7．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．

【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
8．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）＝＝||cosθ；
（2）⇔＝0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，＝||||；当，方向相反时，＝﹣||||；
特别地：＝||2或||＝（用于计算向量的模）
（4）cosθ＝（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||

2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ）•＝λ（）＝•（）；
（3）分配律：（）•≠•（）

【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）2＝2±2•+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③•（•）≠（•）•，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；
③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“⇒”；
④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“||＝||•||”；
⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（）•＝”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是　①②　．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”，
即③错误；
∵||≠||•||，
∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“⇒”；||≠||•||，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“||＝||•||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（）•＝”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
9．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccosA，
b2＝a2+c2﹣2accosB，
c2＝a2+b2﹣2abcosC　
变形
形式
①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
②sinA＝，sinB＝，sinC＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA
cosA＝，
cosB＝，
cosC＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况

A为锐角
A为钝角或直角
图形




关系式
a＝bsinA
bsinA＜a＜b
a≥b
a＞b
解的个数
一解
两解
一解
一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．S＝a•ha（ha表示边a上的高）；
2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．
3．S＝r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
10．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝2R
（ R是△ABC外接圆半径）
a2＝b2+c2﹣2bccos A，
b2＝a2+c2﹣2accos_B，
c2＝a2+b2﹣2abcos_C　
变形
形式
①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
②sin A＝，sin B＝，sin C＝；
③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；
④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝
解决
三角
形的
问题
①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；
②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
①已知三边，求各角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
11．解三角形
【知识点的知识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．

7．关于三角形面积问题
①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC＝；
⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r•s，（ r为△ABC内切圆的半径）

在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称
公式
变形
内角和定理
A+B+C＝π
+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理
a2＝b2+c2﹣2bccosA
b2＝a2+c2﹣2accosB
c2＝a2+b2﹣2abcosC
cosA＝
cosB＝
cosC＝
正弦定理
＝2R
R为△ABC的外接圆半径
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC
sinA＝，sinB＝，sinC＝
射影定理
acosB+bcosA＝c
acosC+ccosA＝b
bcosC+ccosB＝a

面积公式
①S△＝aha＝bhb＝chc
②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA
③S△＝
④S△＝，（s＝（a+b+c））；
⑤S△＝（a+b+c）r
（r为△ABC内切圆半径）
sinA＝
sinB＝

sinC＝
12．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：

13．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】


14．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围

2．椭圆的对称性

3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：

e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
15．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程
（a＞0，b＞0）
（a＞0，b＞0）
图形








性





质
焦点
F1（﹣c，0），F2（ c，0）
F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距
|F1F2|＝2c
|F1F2|＝2c
范围
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
对称
关于x轴，y轴和原点对称
顶点
（﹣a，0）．（a，0）
（0，﹣a）（0，a）
轴
实轴长2a，虚轴长2b
离心率
e＝（e＞1）
准线
x＝±
y＝±
渐近线
±＝0
±＝0
16．柯西不等式的几何意义
【知识点的认识】
柯西不等式的几何意义
柯西不等式的代数形式十分简单，但却非常重要．数学当中没有巧遇，凡是重要的结果都应该有一个解释，一旦掌握了它，就使这个结果变得不言而喻了．而一个代数结果最简单的解释，通常驻要借助于几何背景．现在就对柯西不等式的二维、三维情况做出几何解释．
（1）二维形式　　　　（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2　　　

如图，可知线段OP，OQ及PQ的长度分别由下面的式子给出：
，
θ表示OP与OQ的夹角．由余弦定理，我们有
|PQ|2＝|OP|2+|OQ|2﹣2|OP|⋅|OQ|cosθ，
将|OP|，|Oq|，|PQ|的值代入，化简得到 ，
而0≤cos2θ≤1，故有 ，
于是（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2
这就是柯西不等式的二维形式．
我们可以看到当且仅当cos2θ＝1，即当且仅当θ是零或平角，亦即当且仅当O，P，Q在同一条直线上是时等号成立．在这种情形，斜率之间必定存在一个等式；换句话说，除非c＝d＝0，我们们总有．
（2）三维形式　　　
对于三维情形，设P（a1，a2，a3），Q（b1，b2，b3）是不同于原点O（0，0，0）的两个点，则OP与OQ之间的夹角θ的余弦有
　　　　
又由cos2θ≤1，得到柯西不等式的三维形式：
　　　　
当且仅当 三点共线时，等号成立；此时只要这里的 都不是零，就有．
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