2020-2021学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题給出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1．（5分）已知函数，则　　
A． B． C． D．
2．（5分）设随机变量服从正态分布，若，则　　
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（5分），，，，等5名学生进入学校劳动技能大赛决赛，并决出第一至第五名的名次（无并列名次）．已知学生和都不是第一名也都不是最后一名，则这5人最终名次的不同排列有　　
A．18种 B．36种 C．48种 D．54种
4．（5分）某企业建立了风险分级管控和隐患排查治理的双重独立预防机制，已知两套机制失效的概率分别为和，则恰有一套机制失效的概率为　　
A． B． C． D．
5．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成．有一种“金钱起卦法”，其做法为：取两枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下，再撒钱币到桌面或平盘等硬物上，此为一爻，重复六次，得到六爻．两枚钱币全部正面向上称为变爻，若每一枚钱币正面向上的概率为，则一卦中恰有两个变爻的概率为　　
A． B． C． D．
6．（5分）的展开式中常数项为　　
A． B． C．20 D．40
7．（5分）某放射性同位素在衰变过程中，其含量（单位：贝克）与时间（单位：天）满足函数关系，其中为时该同位素的含量．已知时，该同位素含量的瞬时变化率为，则　　
A．24贝克 B．贝克 C．1贝克 D．贝克
8．（5分）已知函数，，若存在实数，使得，则的最大值为　　
A． B．1 C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑
9．（5分）下列结论正确的是　　
A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1
B．样本，，，，，，，，的回归直线至少经过其中一个样本点
C．在回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位
D．在线性回归模型中，用相关指数刻画拟合效果，的值越小，模型的拟合效果越好
10．（5分）已知复数满足，则的可能取值有　　
A．0 B．1 C．2 D．3
11．（5分）如图是函数的导函数的图象，则下列结论正确的是　　

A．（1） B．是的极小值点
C．是的极小值点 D．是的极大值点
12．（5分）将3个不同的小球随机放入4个不同的盒子，用表示空盒子的个数，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.
13．（5分）在两名男生与三名女生中随机抽取两人进行某项体能测试，则在第1次抽到男生的条件下，第2次抽到女生的概率为 　　．
14．（5分）若复数是虚数单位）是纯虚数，则实数　　．
15．（5分）已知图1是“杨辉三角”，图2是“莱布尼茨三角”，两个“三角”之间具有关联性．已知“杨辉三角”中第行第个数为，则“莱布尼茨三角”中第行第个数为 　　；已知“杨辉三角”中第行和第行中的数满足关系式，类比写出“莱布尼茨三角”中第行和第行中的数满足的关系式 　　．

16．（5分）若与的图象有且仅有两个公共点，则实数的取值范围为 　　．
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.
17．（10分）已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）若对任意的都有成立，求的取值范围．
18．（12分）已知复数，．
（1）当，，，时，求，，；
（2）根据（1）的计算结果猜想与的关系，并证明该关系的一般性；
（3）结合（2）的结论进行类比或推广，写出一个复数的模的运算性质（不用证明）．
19．（12分）为了了解员工长假的出游意愿，某单位从“70后”至“00后”的人群中按年龄段分层抽取了100名员工进行调查．调查结果如图4所示，已知每个员工仅有“有出游意愿”和“无出游意愿”两种回答，且样本中“00后”与“90后”员工占比分别为和．
（1）现从“00后样本中随机抽取3人，记3人中“无出游意愿”的人数为随机变量，求的分布列及数学期望；
（2）若把“00后”和“90后”定义为青年，“80后”和“70后”定义为中年，结合样本数据完成列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关？

有出游意愿
无出游意愿
合计
青年



中年



合计



附：

0.050
0.010
0.005
0.001

3.841
6.635
7.879
10.828
，其中．

20．（12分）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且在上有且仅有1个极值点，求的取值范围．
21．（12分）共享单车以低碳、环保、节能、健康的理念，成为解决市民出行“最后一公里”的有力手段．某公司调研部门统计了最近5个季度本公司的共享单车使用次数（万次），结果如下：
季度序号
1
2
3
4
5
使用次数（万次）
1
1.2
1.5
1.8
2.2
（1）根据上表，画出散点图并根据所画散点图，判断能否用线性回归模型拟合使用次数与季度序号之间的关系，如果能，求出关于的线性回归方程；如果不能，请说明理由．
如果你是公司主管领导，你会在下一季度向市场增加投放共享单车吗？请说明理由．
（2）为进一步开拓市场做准备，公司目前接受报价的有两款车型：型单车每辆500元，第一年收入500元，以后逐年递减80元；型单车每辆300元，第一年收入500元，以后逐年递减100元．经市场调研，两款车型使用寿命频数统计如表：
车型使用寿命
1年
2年
3年
4年
总计

10
20
30
40
100

10
35
30
25
100
不考虑除采购成本以外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计概率，以1辆单车所产生的利润的数学期望为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？
参考数据：，．
参考公式：，．

22．（12分）已知函数，．
（1）证明恒成立；
（2）用，表示，中的最大值．已知函数，记函数，，若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围．

2020-2021学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题給出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.
1．（5分）已知函数，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：．
故选：．
2．（5分）设随机变量服从正态分布，若，则　　
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：因为，
所以，解得．
故选：．
3．（5分），，，，等5名学生进入学校劳动技能大赛决赛，并决出第一至第五名的名次（无并列名次）．已知学生和都不是第一名也都不是最后一名，则这5人最终名次的不同排列有　　
A．18种 B．36种 C．48种 D．54种
【解答】解：由题意，、都不是第一名且不是最后一名；
故先排，有3种情况；
再排，有2种情况；
余下3人有种排法．
故共有种不同的情况．
故选：．
4．（5分）某企业建立了风险分级管控和隐患排查治理的双重独立预防机制，已知两套机制失效的概率分别为和，则恰有一套机制失效的概率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为两套机制是相互独立的，且两套机制失效的概率分别为和，
则恰有一套机制失效的概率为．
故选：．
5．（5分）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一卦由六爻组成．有一种“金钱起卦法”，其做法为：取两枚相同的钱币合于双手中，上下摇动数下，再撒钱币到桌面或平盘等硬物上，此为一爻，重复六次，得到六爻．两枚钱币全部正面向上称为变爻，若每一枚钱币正面向上的概率为，则一卦中恰有两个变爻的概率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知变爻的概率为，
因为六爻实际为6次独立重复试验，
所以一卦中恰有两个变爻的概率为．
故选：．
6．（5分）的展开式中常数项为　　
A． B． C．20 D．40
【解答】解：由的通项公式，
①当即时，．
②当即时，．
的展开式中常数项．
故选：．
7．（5分）某放射性同位素在衰变过程中，其含量（单位：贝克）与时间（单位：天）满足函数关系，其中为时该同位素的含量．已知时，该同位素含量的瞬时变化率为，则　　
A．24贝克 B．贝克 C．1贝克 D．贝克
【解答】解：因为，
则，
因为时，该同位素含量的瞬时变化率为，
则，
所以，
故贝克．
故选：．
8．（5分）已知函数，，若存在实数，使得，则的最大值为　　
A． B．1 C． D．
【解答】解：设，则，
所以，，故，
令，
则，恒成立，
则在上单调递减，且（1），
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以在处取得极大值，即最大值，
故的最大值为（1），
所以的最大值为1．
故选：．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑
9．（5分）下列结论正确的是　　
A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1
B．样本，，，，，，，，的回归直线至少经过其中一个样本点
C．在回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位
D．在线性回归模型中，用相关指数刻画拟合效果，的值越小，模型的拟合效果越好
【解答】解：两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1，满足相关关系的性质，所以正确；
样本，，，，，，，，的回归直线不一定经过其中一个样本点，故不正确；
在回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位，满足回归直线方程的性质，故正确；
越大拟合效果越好，故不正确；
故选：．
10．（5分）已知复数满足，则的可能取值有　　
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：复数满足，则的几何意义是单位圆上的点与的距离之和，
所以和的最大值为原点与的距离加半径，即，
和的最小值为原点与的距离减去半径，即，
所以的取值范围为，
故1，2满足题意，0，3不满足，
故选：．
11．（5分）如图是函数的导函数的图象，则下列结论正确的是　　

A．（1） B．是的极小值点
C．是的极小值点 D．是的极大值点
【解答】解：由图象得：时，，时，，其中（1），
在递减，在递增，
（1），所以不正确；
不是的极小值点，所以不正确；
是的极小值点，所以正确；
是的极大值点，所以正确；
故选：．
12．（5分）将3个不同的小球随机放入4个不同的盒子，用表示空盒子的个数，则下列结论正确的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：当时，把三个小球放在4个不同的盒子里，3个小球恰在3个不同的盒子内的方法有种，
将三个不同的小球随意放入4个不同的盒子里的所有方法有种，
则3个小球恰在3个不同的盒子内的概率为，即，故选项正确，
当时，即表示三个不同的小球同时放入其中的一个盒子中，共有4种情况，
则，故选项错误，
的取值只可能为1，2，3，
，故选项错误，
，故选项正确．
故选：．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.
13．（5分）在两名男生与三名女生中随机抽取两人进行某项体能测试，则在第1次抽到男生的条件下，第2次抽到女生的概率为 　　．
【解答】解：因为第一次抽到的是男生，
所以还剩下1名男生和3名女生，
故第2次抽到女生的概率为．
故答案为：．
14．（5分）若复数是虚数单位）是纯虚数，则实数　1　．
【解答】解：复数为纯虚数，
所以且，所以．
故答案为：1．
15．（5分）已知图1是“杨辉三角”，图2是“莱布尼茨三角”，两个“三角”之间具有关联性．已知“杨辉三角”中第行第个数为，则“莱布尼茨三角”中第行第个数为 　　；已知“杨辉三角”中第行和第行中的数满足关系式，类比写出“莱布尼茨三角”中第行和第行中的数满足的关系式 　　．

【解答】解：对照图1和图2，可得图2中的每一数的分母即为图1中的对应数的2倍，3倍，，倍，
所以“莱布尼茨三角”中第行第个数为；
由图2可得，第行第个数即为第行第个数和第个数的和．
即为．
故答案为：；．
16．（5分）若与的图象有且仅有两个公共点，则实数的取值范围为 　　．
【解答】解：若与的图象有且仅有两个公共点，
则有两个根，
即有两个根，
令，
，
所以在上，，单调递增，
在，上，，单调递减，
所以，
又在上；在上，
作出大致图象：

所以实数的取值范围为．
故答案为：．
四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.
17．（10分）已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）若对任意的都有成立，求的取值范围．
【解答】解：（1）因为，所以，．（1分）
令，解得或，
当，即或；当，即，．（3分）
故的单调递增区间为和，单调递减区间为，．（4分）
所以，时，有极大值，．（5分）
当时，有极小值．（6分）
（2）由（1）知在上单调递减，在上单调递增，．（7分）
又，（1），．（8分）
所以时，，．（9分）
因为对任意的都有成立，所以．（10分）
18．（12分）已知复数，．
（1）当，，，时，求，，；
（2）根据（1）的计算结果猜想与的关系，并证明该关系的一般性；
（3）结合（2）的结论进行类比或推广，写出一个复数的模的运算性质（不用证明）．
【解答】解：（1）由题知，，
，
；
（2）猜想，
证明：，，
，
，
．
故成立；
（3），或，或．
19．（12分）为了了解员工长假的出游意愿，某单位从“70后”至“00后”的人群中按年龄段分层抽取了100名员工进行调查．调查结果如图4所示，已知每个员工仅有“有出游意愿”和“无出游意愿”两种回答，且样本中“00后”与“90后”员工占比分别为和．
（1）现从“00后样本中随机抽取3人，记3人中“无出游意愿”的人数为随机变量，求的分布列及数学期望；
（2）若把“00后”和“90后”定义为青年，“80后”和“70后”定义为中年，结合样本数据完成列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关？

有出游意愿
无出游意愿
合计
青年



中年



合计



附：

0.050
0.010
0.005
0.001

3.841
6.635
7.879
10.828
，其中．

【解答】解：（1）由题知，样本中“00后”员工人数人，．（1分）
由图4知，其中8人有出游意愿，2人无出游意愿，
从中随机抽取3人，抽到“无出游意愿”的人数的所有可能取值为0，1，2，．（2分）
，，，
随机变量的分布列为

0
1
2




（5分）
随机变量的期望．（6分）
（2）由题知，样本中中年员工占比为，人数人，青年员工人数人，．（7分）
结合图3得到如下列联表，

有出游意愿
无出游意愿
合计
青年
30
10
40
中年
40
20
60
合计
70
30
100
（9分）
假设“有出游意愿与年龄段无关”，则，．（11分）
不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该单位员工长假的出游意愿与年龄段有关．（12分）
20．（12分）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且在上有且仅有1个极值点，求的取值范围．
【解答】解：（1）由题得，函数定义域为，，．（1分）
①当时，在上恒成立，
所以函数在上单调递增；．（3分）
②当时，由，得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，．（5分）
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减．（6分）
（2）由题得，令，得，（7分）
因为在上有且仅有1个极值点，
所以与在的图象有且仅有一个交点，（8分）
①当时，，此时与没有交点，（9分）
②当时，由前面的分析得，两个函数图象在上有且仅有一个交点，则，
即，．（11分）
综上所述，的取值范围为．（12分）
21．（12分）共享单车以低碳、环保、节能、健康的理念，成为解决市民出行“最后一公里”的有力手段．某公司调研部门统计了最近5个季度本公司的共享单车使用次数（万次），结果如下：
季度序号
1
2
3
4
5
使用次数（万次）
1
1.2
1.5
1.8
2.2
（1）根据上表，画出散点图并根据所画散点图，判断能否用线性回归模型拟合使用次数与季度序号之间的关系，如果能，求出关于的线性回归方程；如果不能，请说明理由．
如果你是公司主管领导，你会在下一季度向市场增加投放共享单车吗？请说明理由．
（2）为进一步开拓市场做准备，公司目前接受报价的有两款车型：型单车每辆500元，第一年收入500元，以后逐年递减80元；型单车每辆300元，第一年收入500元，以后逐年递减100元．经市场调研，两款车型使用寿命频数统计如表：
车型使用寿命
1年
2年
3年
4年
总计

10
20
30
40
100

10
35
30
25
100
不考虑除采购成本以外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计概率，以1辆单车所产生的利润的数学期望为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？
参考数据：，．
参考公式：，．

【解答】解：（1）散点图如图所示：

根据散点图，可以用线性回归模型拟合使用次数与次季度序号之间的关系，
设回归方程为，
则，
由，，得，
所以关于的线性回归方程为．
开放型答案，根据学生理由叙述情况，酌情给分．
参考答案一：下一季度可以向市场增加投放共享单车，理由：
①由中散点图判断可预估下季度市场对本公司单车使用次数会持续上涨；
②由中使用次数关于季度序号的线性回归方程可知，下季度市场对本公司单车下一季度的使用次数会持续上涨0.3万次左右，因此需要向市场增加投放共享单车．
说明：答出一种理由即可给满（1分），其他理由酌情给分．（5分）
参考答案二：下一季度可以先不向市场增加投放共享单车，理由：
题中只给出了使用次数这一方面的数据，是否增加投放共享单车还要考察单车的使用率高低，单车的区域分布是否合理，单车使用后的回收与分配是否及时等等因素，这些都会影响投放单车的决策，因此要进行进一步调查过后才能决定．
说明：答出一种理由即可给满（1分），其他理由酌情给分．（5分）
（2）设1辆型单车产生的毛利润为随机变量，则的所有可能取值为500，920，1260，1520，．．（6分）
用频率估计概率，则1辆型单车产生毛利润的分布列为
毛利润
500
920
1260
1520
概率




（7分）
则1辆型单车毛利润的数学期望，
故1辆型单车纯利润的数字期望为，．（8分）
设1辆型单车产生的毛利润为随机变量，则的所有可能取值为500，900，1200，1400，．（9分）
用频率估计概率，则1辆型单车产生毛利润的分布列为
毛利润
500
900
1200
1400
概率




（10分）
则1辆型单车毛利润的数学期望，
故1辆型单车纯利润的数学期望为，（11分）
因为1辆型单车纯利润的数学期望大于1辆型单车的，所以选择型单车．（12分）
22．（12分）已知函数，．
（1）证明恒成立；
（2）用，表示，中的最大值．已知函数，记函数，，若函数在上恰有2个零点，求实数的取值范围．
【解答】（1）证明：由题得的定义域为，
则在上恒成立等价于在上恒成立，．（1分）
记，则，．（2分）
当时，；时，，
故在上单调递减，上单调递增，．（3分）
所以（1），即恒成立．（4分）
（2）解：由题得，
①当时，，此时无零点．（5分）
②当时，（e），（e）
．当（e），即时，是的一个零点；
．当（e），即时，不是的一个零点；．（6分）
③当时，恒成立，因此只需考虑在上的零点情况．
由
．当时，，在上单调递增，且（e），
当时，（e），则在上无零点，故在上无零点；
当时，（e），则在上无零点，故在上有1个零点；
当时，由（e），，得在上仅有一个零点，故在上有2个零点；
所以，．（9分）
．当时，由得，
由时，；当时，，
故在上单调递减，在上单调递增；
由（e），，得在上仅有一个零点，故在上有2个零点；
所以，．（11分）
综上所述，时，在上恰有两个零点．（12分）
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