2023高考能力提高专项练习 第一节 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式

【能力提升练】   第一节 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式

1．(2022•全国高考甲卷数学(理))沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，(    )

A． B． C．       D．

【解析】  如图，连接，因为是的中点，所以，又，所以三点共线，即，又，所以，则，故，所以.故选：B.

【答案】  B

2．(2022•江苏省扬州中学高三(下)开学检测)已知角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与直线平行，则的值为(    )

A． B． C． D．

【解析】  因为角的终边与直线平行，即角的终边在直线上，所以；，故选：D

【答案】  D

3．(2022•重庆市育才中学高三二诊)希波克拉底是古希腊医学家，他被西方尊为“医学之父”，除了医学，他也研究数学.特别是与“月牙形”有关的问题.如图所示.阴影部分的月牙形的边缘都是圆弧，两段圆弧分别是的外接圆和以为直径的圆的一部分，若，，则该月牙形的面积为(    )

A． B． C． D．

【解析】  由已知可得，的外接圆半径为1.由题意，内侧圆弧为的外接圆的一部分，且其对应的圆心角为，则弓形的面积为，外侧的圆弧以为直径，所以半圆的面积为，则月牙形的面积为.故选：A．

【答案】  A

4．(2022•重庆市第八中学高三第六次月考)(多选)已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则下列各式的符号无法确定的是(    )

A． B．      C．      D．

【解析】  由三角函数定义，，所以，对于A选项，当时，，时，，时，，所以选项A符号无法确定；

对于B选项， ，所以选项B符号确定；

对于C选项，，故当时，，时，，时，，所以选项C的符号无法确定；

对于D选项，，所以选项D符号确定.所以下列各式的符号无法确定的是AC选项.故选：AC.

【答案】  AC

5．(2022•重庆市第八中学高三第五次月考)在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点在第一象限内.若，则(    )

A． B． C．     D．

【解析】  因为角的终边与单位圆的交点在第一象限内，所以，.因为，所以，即，将代入，得，即，解得，当时，(舍)；当时，；所以.故选：C.

【答案】  C

6．(2022•山东省部分学校高三(下)2月联考)已知，，则(    )

A． B． C． D．

【解析】  由，得，即，解得，因为，，所以 ，因为，，所以解得，所以，故选：A

【答案】  A

7．(2022•黑龙江省哈三中高三二模)黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则(    )

A． B． C． D．

【解析】  根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021，经过一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，所以数字黑洞为123，即，∴.故选：D.

【答案】  D

8．(2022•黑龙江省哈三中高三一模)人们把最能引起美感的比例称为黄金分割．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为称为黄金分割比．人们称底与腰之比为黄金分割比的三角形为最美三角形，它是一个顶角为的等腰三角形，由此我们可得(    )

A． B． C． D．

【解析】  如图，在中，，点为中点，底与腰之比为黄金分割比，所以，，所以，所以.故选：A

【答案】  A

9．(2022•甘肃省兰州大学附属中学高三第三次月考)魏晋时期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，可得到的近似值为(    )(取近似值3.14)

A． B． C． D．

【解析】  当时,每个等腰三角形的顶角为,则其面积为,又因为等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,所以,故选：B

【答案】  B

10．(2022•北京市北京大学附属中学高三2月开学考试)在平面直角坐标系中，角，，且以Ox为始边，则“”是“角，以Ox为终边”的(    )

A．充分而不必要条件                B．必要而不充分条件 

C．充分必要条件                    D．既不充分也不必要条件

【解析】  若，推不出角，以Ox为终边，

如：，则，故充分性不成立，

若角，以Ox为终边，则，

则，

故角，以Ox为终边能推出，故必要性成立，

所以“”是“角，以Ox为终边”的必要而不充分条件.故选：B.

【答案】  B

11．(2022•重庆市育才中学高三(下)入学考试)若点关于轴对称点为，写出的一个取值为___．

【解析】  与关于轴对称，即关于轴对称，，则，当时，可取的一个值为.故答案为：(满足即可).

【答案】  (满足即可)

12．(2022•辽宁省名校高三第四次联考)函数的最大值为_______________________．

【解析】  ，所以当时，故答案为：1

【答案】 

13．(2022•湖南省衡阳市第八中学高三第五次月考)已知角的终边经过点，若，则___________.

【解析】  由题意，角的终边经过点，可得.又由，得，根据三角函数的定义，可得，解得.故答案为：.

【答案】 

14．(2022•广东省铁一中学高三(上)期末)某中学开设了剪纸艺术社团，该社团学生在庆中秋剪纸活动中剪出了三个互相外切的圆，其半径分别为，，(单位：)，则三个圆之间空隙部分的面积为______.

【解析】  如图，的半径为cm, 的半径为cm, 的半径为cm,

,,

, ,

又,可得,，

中的小扇形的面积为，

中的小扇形的面积为，

中的小扇形的面积为，

则三个圆之间空隙部分的面积为，故答案为：

【答案】 

15．(2022•浙江省镇海中学模拟)已知函数，点O为坐标原点，点，向量，是向量与的夹角，则的值为______．

【解析】  由题意可得是直线的倾斜角，∴，∴.故答案为：.

【答案】