2023高考考点分析 第一节 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式

【考点分析】　第一节 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式

【考点一】  终边相同的角应用

【典型例题1】设集合，集合，则(       )

A． B．  C．  D．

【解析】  表示终边在直线上的角， 表示终边在直线上的角，而 表示终边在四条射线上的角，四条射线分别是射线 ，它们构成直线、直线，故. 故选：D.

【答案】  D

【归纳总结】　利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．

【考点二】  终边落在直线上角的表示

【典型例题2】  (2021·吉林长春)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线x＋y＝0上，则角α的取值集合是(　　)

A．             B．

C．      D．

【解析】　因为直线x＋y＝0的倾斜角是，所以终边落在直线x＋y＝0上的角的取值集合为或α＝2kπ＋或.故选D.

【答案】  D

【归纳总结】  当角的集合的表达式分两种或两种以上情形时，能合并的尽量合并，注意，把最后角的集合化成简约的形式．

【考点三】  已知角α所在象限，判断所在象限

【典型例题3】  (2022•全国高三专题练)角的终边属于第一象限，那么的终边不可能属于的象限是(       )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解析】  ∵角的终边在第一象限，

∴，，则，，

当时，此时的终边落在第一象限，

当时，此时的终边落在第二象限，

当时，此时的终边落在第三象限，

综上，角的终边不可能落在第四象限，故选：D.

【答案】  D

【归纳总结】  (1)已知角α所在象限，应熟练地确定所在象限：

(2)一般地，已知角α是第n(n＝1、2、3、4)象限的角，求是第几象限的角时，把各象限都2等分(2是的分母)，从∠AOB开始逆时针依次标上1、2、3、4，再循环一遍，直到填满为止，则有标号n的就是α为第n象限时，所在象限数．

一般地，要确定所在的象限，可以把各个象限都n等分，从x轴的正半轴起，按逆时针方向把这4n个区域依次循环标上号码1、2、3、4，则标号是几的区域，就是θ为第几象限的角时，终边落在的区域，所在的象限就可直观地看出．

如已知角α为第四象限的角，判断为第几象限的角，如图将各象限三等分，依次标注1、2、3、4，则标号为4的区域就是所在的象限，即二、三、四象限．

【考点四】  扇形的弧长、面积公式

【典型例题4】  (2022•浙江省赫威斯育才高中模拟)“圆材埋壁”是我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”的模型，其截面如图所示，若圆柱形材料的底面半径为1，截面圆圆心为，墙壁截面为矩形，且，则扇形的面积是__________.

【解析】  由题意可知，圆的半径为，即，又，所以为正三角形，∴，所以扇形的面积是.故答案为：

【答案】  ##

【归纳总结】  弧长、扇形面积问题的解题策略

(1)明确弧度制下弧长公式是l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝lr＝|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．

(2)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．

【考点五】  利用三角函数定义求值

【典型例题5】  (1)(2022•湖北省武汉模拟)已知角的始边与轴非负半轴重合，终边上一点，若，则(       )

A．3 B． C． D．

(2)(2022•宁夏石嘴山市第一中学三模)已知角的终边上有一点，则的值是(       )

A． B． C．或 D．不确定

【解析】　(1)因为角的终边上一点，所以，又，所以为第四象限角，所以，又因，所以.故选：C.

(2)角的终边上点，则，于是得，所以.故选：B

【答案】　(1)C　(2)B

【归纳总结】 三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法

(1)已知角α的终边上的一点P的坐标，求角α的三角函数值

方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解．

(2)已知角α的一个三角函数值和终边上一点P的横坐标或纵坐标，求与角α有关的三角函数值

方法：先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题．

(3)已知角α的终边所在的直线方程(y＝kx，k≠0)，求角α的三角函数值

方法：先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到原点的距离(注意a的符号，对a分类讨论)，再利用三角函数的定义求解．

【考点六】  判断三角函数值的符号

【典型例题6】  (1)(2022•河北省石家庄二中模拟)若角满足，，则在(       )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

(2)(2022•全国高三专题练)已知，则(       )

A． B． C． D．

【解析】  (1)，是第二或第四象限角；当是第二象限角时，，，满足；当是第四象限角时，，，则，不合题意；综上所述：是第二象限角.故选：B.

(2)由知，为第二象限角，所以为第一或第三象限角，所以．故选：C.

【答案】  (1)B　(2)C

【归纳总结】　判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况和三角函数的定义域．

【考点七】  利用三角函数线比较大小

【典型例题7】  若，则，，的大小关系为(　　)

A．>>             B．>>

C．<<             D．<<

【解析】  利用单位圆中的正切线、正弦线、余弦线，即可得出结论．．所以在单位圆中，做出角的正切线、正弦线、余弦线．可得正切线最长，余弦线最短．所以有>>．故选 A

【答案】  A

【考点八】  利用三角函数线解不等式

【典型例题8】  函数的定义域为________ ．

【解析】  要使原函数有意义，必须有，即，如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为．故答案为．

【答案】 

【考点九】  已知正余弦求参数

【典型例题9】  已知sin θ＝，cos θ＝，其中θ∈，则下列结论不正确的是(　　)

A．m≤－5　　 B．3≤m<5

C．m＝0　　 D．m＝8

【解析】　因为θ∈，所以sin θ＝≥0　①，cos θ＝≤0　②，且2＋2＝1，整理得＝1，即5m2－22m＋25＝m2＋10m＋25，即4m(m－8)＝0，解得m＝0或m＝8，又m＝0不满足①②两式，m＝8满足①②两式，故m＝8．故选D．

【答案】  D

【考点十】  已知正余弦求正余弦问题

【典型例题10】  已知θ是第一象限角，若sin θ－2cos θ＝－，则sin θ＋cos θ的值为(　　)

A．           B．－            C．               D．

【解析】  ∵sin θ－2cos θ＝－，∴sin θ＝2cos θ－，∴(2cos θ－)2＋cos2θ＝1，

∴5cos2θ－cos θ－＝0，即(cos θ－)(5cos θ＋)＝0．

又∵θ为第一象限角，∴cos θ＝，∴sin θ＝，∴sin θ＋cos θ＝．

【答案】  C

【考点十一】  已知正余弦求正切

【典型例题11】  已知cos＝，且α∈，则tan α＝(　　)

A.            B.            C．－          D．±

【解析】　因为cos＝，所以sin α＝－，显然α在第三象限，所以cos α＝－，故tan α＝.

【答案】　B

【考点十二】  已知正切求正余弦

【典型例题12】  (1)(2022•广东省惠州一模)已知，，则(       )

A． B． C． D．

(2)(2022•重庆市南开中学月考)已知，则(    )

A． B．1 C． D．5

【解析】  (1)因为，且，，所以，，所以.故选：A.

(2)由题意，则．

【答案】  (1)A  (2)D

【归纳总结】  同角三角函数基本关系式的应用技巧

(1)知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解．

(2)知弦求切：常通过平方关系sin2α＋cos2α＝1及商数关系tan α＝结合诱导公式进行求解．

(3)知切求弦：通常先利用商数关系转化为sin α＝tan α·cos α的形式，然后用平方关系求解．若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，如＝；asin2α＋bcos2α＋csin αcos α＝＝.

【考点十三】  sin α±cos α与sin αcos α关系的应用

【典型例题13】  (1)(2022·湖北武汉·模拟预测)已知，，则(       )

A． B． C． D．

(2)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x的方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，则sin θ－cos θ＝(　　)

A.   B.

C.   D．－

【解析】  (1)，，，，，，所以.故选：C

(2)因为sin θ，cos θ是方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，所以sin θ＋cos θ＝，sin θ·cos θ＝，可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝1＋m＝，解得m＝－.因为θ为第二象限角，所以sin θ＞0，cos θ＜0，即sin θ－cos θ＞0，因为(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－m＝1＋，所以sin θ－cos θ＝＝.故选B.

【答案】  (1)C　(2)B

【归纳总结】  对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，若令sin α＋cos α＝t(t∈[－，])，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．

【考点十四】  诱导公式的应用

【典型例题14】  (1)若k∈Z时，的值为________．

(2)(2021·贵州贵阳联考)已知角α的始边与x轴正半轴重合且终边过点(4,5)，则的值为　     　.

(3)已知cos＝，则cos－sin2＝　　．

【解析】　(1)当k为奇数时，

＝＝－1；

当k为偶数时，＝＝－1．

(2)因为角α的始边与x轴正半轴重合且终边过点(4,5)，所以tan α＝，因此＝＝－＝－＝－.

(3)cos－sin2＝cos －sin2＝－cos－sin2＝cos2－cos－1＝－．

【答案】　(1)－1　(2)－　(3)－

【归纳总结】

(1)诱导公式用法的一般思路

①化大角为小角．

②角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．

(2)常见的互余和互补的角

①常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．

②常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等．

(3)三角函数式化简的方向

①切化弦，统一名．

②用诱导公式，统一角．

③用因式分解将式子变形，化为最简．　

【考点十五】  同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用

【典型例题15】  已知f(x)＝(n∈Z)．

(1)化简f(x)的表达式；

(2)求f＋f的值．

【解析】  (1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，

f(x)＝＝＝

＝sin2x(n＝2k，k∈Z)；

当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，

f(x)＝

＝＝

＝＝sin2x(n＝2k＋1，k∈Z)．

综上得f(x)＝sin2x．

(2)由(1)得f＋f＝sin2＋sin2＝sin2＋sin2＝sin2＋cos2＝1．

【答案】  (1) f(x)＝sin2x    (2)1

【归纳总结】  (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．

(2)注意角的范围对三角函数符号的影响．

【考点十六】  利用诱导公式的寻求规律解题

【典型例题16】  已知函数f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(4)＝3，则f(2 023)的值为________．

【解析】  因为f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，

所以f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β)

＝asin α＋bcos β＝3，

所以f(2 023)＝asin(2 023π＋α)＋bcos(2 023π＋β)

＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)

＝－asin α－bcos β＝－3.

【答案】  －3