课时质量评价22　同角三角函数的基本关系与诱导公式练习题

这是一份课时质量评价22　同角三角函数的基本关系与诱导公式练习题，共6页。

A组 全考点巩固练
1．lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(7π,4)))的值为( )
A．－1 B．－eq \f(1,2) C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(2),2)
B 解析：lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(7π,4)))＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs \f(π,4)))＝lg2eq \f(\r(2),2)＝lg22－eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2).故选B．
2．若sin θcs θ＝eq \f(1,2)，则tan θ＋eq \f(cs θ,sin θ)的值是( )
A．－2 B．2 C．±2 D．eq \f(1,2)
B 解析：tan θ＋eq \f(cs θ,sin θ)＝eq \f(sin θ,cs θ)＋eq \f(cs θ,sin θ)＝eq \f(1,cs θsin θ)＝2.
3．(2020·全国100所名校新高考模拟)cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,10)－θ))＋cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,5)－θ))＝( )
A．eq \f(1,2) B．eq \r(2) C．1 D．eq \f(\r(3),2)
C 解析：cs2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,10)－θ))＋cs2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,5)－θ))＝cs2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,10)))＋cs2 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,10)))))＝cs2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,10)))＋sin2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,10)))＝1.故选C．
4．若θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则eq \r(1－2sinπ＋θsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ)))等于( )
A．sin θ－cs θB．cs θ－sin θ
C．±(sin θ－cs θ)D．sin θ＋cs θ
A 解析：eq \r(1－2sinπ＋θsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－θ)))
＝eq \r(1－2sin θcs θ)＝eq \r(sin θ－cs θ2)
＝|sin θ－cs θ|.
因为θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以sin θ－cs θ>0，所以原式＝sin θ－cs θ.故选A．
5．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(17π,12)))等于( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(2\r(2),3) C．－eq \f(1,3) D．－eq \f(2\r(2),3)
A 解析：cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(17π,12)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,12)))＝eq \f(1,3).故选A．
6．sin eq \f(4,3)π·cs eq \f(5,6)π·taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)π))的值是________．
－eq \f(3\r(3),4) 解析：原式＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,3)))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6)))·taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π－\f(π,3)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－sin \f(π,3)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－cs \f(π,6)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－tan \f(π,3)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))×(－eq \r(3))＝－eq \f(3\r(3),4).
7．(2020·嘉定区一模)已知点(－2，y)在角α终边上，且tan(π－α)＝2eq \r(2)，则sin α＝________.
eq \f(2\r(2),3) 解析：由题意得tan α＝eq \f(y,－2).
因为tan(π－α)＝－tan α＝2eq \r(2)，
所以tan α＝－2eq \r(2)＝－eq \f(y,2)，
解得y＝4eq \r(2).所以sin α＝eq \f(4\r(2),\r(4＋32))＝eq \f(2\r(2),3).
8．已知2sin α－cs α＝0，则sin2α－2sin αcs α的值为________．
－eq \f(3,5) 解析：由已知2sin α－cs α＝0得tan α＝eq \f(1,2).所以sin2α－2sin αcs α＝eq \f(sin2α－2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(tan2α－2tan α,tan2α＋1)＝－eq \f(3,5).
9．已知cs α－sin α＝eq \f(5\r(2),13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))).
(1)求sin αcs α的值；
(2)求eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)))的值．
解：(1)因为cs α－sin α＝eq \f(5\r(2),13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，
平方得1－2sin αcs α＝eq \f(50,169)，
所以sin αcs α＝eq \f(119,338).
(2)sin α＋cs α＝eq \r(sin α＋cs α2)＝eq \r(1＋2sin αcs α)＝eq \f(12\r(2),13)，
所以，原式＝eq \f(cs 2α,cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)))
＝eq \f(cs α－sin αcs α＋sin α,\f(\r(2),2)cs α－sin α)
＝eq \r(2)(cs α＋sin α)＝eq \f(24,13).
10．(2020·宜昌一中期末)已知α是第三象限角，且cs α＝－eq \f(\r(10),10).
(1)求tan α的值；
(2)化简并求eq \f(csπ－α,2sin－α＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α)))的值．
解：(1)因为α是第三象限角，cs α＝－eq \f(\r(10),10)，所以sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(3\r(10),10)，所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝3.
(2)原式＝eq \f(－cs α,－2sin α＋cs α)＝eq \f(cs α,2sin α－cs α)＝eq \f(1,2tan α－1).将tan α＝3代入，得原式＝eq \f(1,2×3－1)＝eq \f(1,5).
B组 新高考培优练
11．(多选题)(2020·潍坊月考)下列化简正确的是( )
A．tan(π＋1)＝tan 1
B．eq \f(sin－α,tan360°－α)＝cs α
C．eq \f(sinπ－α,csπ＋α)＝tan α
D．eq \f(csπ－αtan－π－α,sin2π－α)＝1
AB 解析：由诱导公式得tan(π＋1)＝tan 1，故A正确；
eq \f(sin－α,tan360°－α)＝eq \f(－sin α,－tan α)＝cs α，故B正确；
eq \f(sinπ－α,csπ＋α)＝eq \f(sin α,－cs α)＝－tan α，故C不正确；
eq \f(csπ－αtan－π－α,sin2π－α)＝eq \f(－cs α·－tan α,－sin α)＝－1，故D不正确．故选AB．
12．(多选题)已知a＝eq \f(sinkπ＋α,sin α)＋eq \f(cskπ＋α,cs α)(k∈Z)，则a的值可以为( )
A．1B．－2
C．－1D．2
BD 解析：当k为偶数时，a＝eq \f(sin α,sin α)＋eq \f(cs α,cs α)＝2；
当k为奇数时，a＝eq \f(－sin α,sin α)＋eq \f(－cs α,cs α)＝－2.
13．已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,2)＋α))＝eq \f(12,25)，且0<αeq \f(3,5) eq \f(4,5) 解析：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)－α))·cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,2)＋α))＝－cs α(－sin α)＝sin αcs α＝eq \f(12,25).
又因为0<α由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin αcs α＝\f(12,25)，,sin2α＋cs2α＝1，))
得sin α＝eq \f(3,5)，cs α＝eq \f(4,5).
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，一个单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C(2,1)时，eq \(OP,\s\up6(→))的坐标为________．
(2－sin 2,1－cs 2) 解析：如图，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过点P作x轴的垂线与过点C作y轴的垂线交于点B．
因为圆心移动的距离为2，所以劣弧eq \(\S\UP11(︵),PA)＝2，即圆心角∠PCA＝2，则∠PCB＝2－eq \f(π,2)，所以|PB|＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(π,2)))＝－cs 2，|BC|＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(π,2)))＝sin 2，所以xP＝2－|BC|＝2－sin 2，yP＝1＋|PB|＝1－cs 2，所以eq \(OP,\s\up6(→))＝(2－sin 2，1－cs 2)．
15．在△ABC中，
(1)求证：cs2eq \f(A＋B,2)＋cs2eq \f(C,2)＝1.
(2)若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋B))tan(C－π)<0，
求证：△ABC为钝角三角形．
证明：(1)在△ABC中，A＋B＝π－C，
所以eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2).
所以cseq \f(A＋B,2)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(C,2)))＝sineq \f(C,2).
所以cs2eq \f(A＋B,2)＋cs2eq \f(C,2)＝sin2eq \f(C,2)＋cs2eq \f(C,2)＝1.
(2)因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋B))·tan(C－π)<0，
所以(－sin A)(－cs B)tan C<0，
即sin Acs Btan C<0.
因为在△ABC中，00，则cs Btan C<0.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs B<0，,tan C>0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs B>0，,tan C<0，))
所以B为钝角或C为钝角，
所以△ABC为钝角三角形．