2023高考考点分析 第三节 导数与函数的极值、最值

【考点分析】　第三节 导数与函数的极值、最值

【考点一】  根据图象判断函数的极值

【典型例题1】  (2021·成都市)已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极小值点的个数为(　　)

A．1　 B．2 　

C．3  D．4

【解析】　如图所示，在区间(a，b)内，f′(c)＝0，且在x＝c附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，所以在区间(a，b)内只有1个极小值点，故选A．

【答案】  A

【考点二】  利用导数研究函数的极值

【典型例题2】  (2021·北京市高考适应性测试)已知函数f(x)＝ex(x－1)－eax2，a<0．

(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)求函数f(x)的极小值；

(3)求函数f(x)的零点个数．

【解析】　(1)f′(x)＝ex(x－1)＋ex－eax＝ex·x－ea·x＝x(ex－ea)，

∴f′(0)＝0，f(0)＝－1，因此切线方程为y＝－1．

(2)f′(x)>0解得x<a或x>0，f′(x)<0解得0<x<a，

因此，f(x)在(－∞，a)递增，(a,0)递减，(0，＋∞)递增．

因此，f(x)在x＝0处取得极小值f(0)＝－1．

(3)f(a)＝ea(a－1)－ea·a2＝－ea(a2－2a＋2)＝－ea[(a－1)2＋1]<0．

又f(2)＝e2－2ea>e2－2>0，

由(2)知f(x)在x＝a处取得极大值，f(a)<0，因此，f(x)只有一个零点．

【答案】  (1) y＝－1      (2) －1    (3) 一个

【归纳总结】  函数极值的两类热点问题

(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤

①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号．

(2)根据函数极值情况求参数的两个要领

①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．

②验证：求解后验证根的合理性．

【考点三】  已知函数的极值求参数

【典型例题3】  (1)(2021·河北邯郸一中月考)若函数f(x)＝aex－sin x在x＝0处有极值，则a的值为(　　)

A．－1　 B．0 　

C．1  D．e

(2)(2021·南昌市)若函数f(x)＝(x－1)ex－ax(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数a的取值范围是(　　)

A．     B．(－∞，0)

C．  D．(0，＋∞)

【解析】　(1)f′(x)＝aex－cos x，若函数f(x)＝aex－sin x在x＝0处有极值，则f′(0)＝a－1＝0，解得a＝1，经检验a＝1符合题意．故选C．

(2)由题意得f′(x)＝exx－a，因为函数f(x)＝ex(x－1)－ax有两个极值点，所以f′(x)＝0有两个不等根，即a＝exx有两个不等根，所以直线y＝a与y＝exx的图象有两个不同的交点．令g(x)＝exx，则g′(x)＝ex(x＋1)．当x<－1时，g′(x)<0，当x>－1时，g′(x)>0，所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，当x＝－1时，g(x)取得最小值，且最小值为－．当x<0时，g(x)<0，当x>0时，g(x)>0，则可得函数g(x)的大致图象，如图所示，则－<a<0，故选A．

【答案】　(1)C　(2)A

【考点四】  利用导数求不含函数的最值(值域)

【典型例题4】  (2021·广东五校联考)已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．

(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；

(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．

【解析】  (1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，

当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋＝，令f′(x)＝0，得x＝1．

当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0．

所以f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数．所以f(x)max＝f(1)＝－1．

所以当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1．

(2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈．

①若a≥－，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上是增函数，所以f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意；

②若a<－，令f′(x)>0得a＋>0，结合x∈(0，e]，解得0<x<－，

令f′(x)<0得a＋<0，结合x∈(0，e]，解得－<x≤e．从而f(x)在上为增函数，在上为减函数，所以f(x)max＝f＝－1＋ln．

令－1＋ln＝－3，得ln＝－2，即a＝－e2，

因为－e2<－，所以a＝－e2为所求．故实数a的值为－e2．

【答案】  (1) －1      (2) －e2

【归纳总结】 

1．掌握求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的方法

(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；

(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；

(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到．

2．搞清极值与最值的区别与联系

(1)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近的导函数符号得出的．

(2)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个都没有，且极大值并不一定比极小值大．

(3)极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是极值．

【考点五】  利用导数求含参数的函数的最值(值域)

【典型例题5】  已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)求函数在区间上的最小值．

【解析】  (1)则

令，则或

∴在，上递增，在递减

(2)由(1)可知：在上递增，在递减

当时，在递减

∴函数在区间上的最小值为；

当时，在上递增，在递减

∴函数在区间上的最小值为．

综上所述：当时，函数在区间上的最小值为；

当时，函数在区间上的最小值为．

【答案】  (1)在，上递增，在递减  (2)当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为．

【考点六】  根据最值求参数

【典型例题6】  (2022•浙江省湖州高三期末)若函数存在最小值，则实数a的取值范围是___________.

【解析】  因为函数，

所以，

当时，， ，又，

所以，所以函数在上单调递增，此时无最小值；

当时，则有两个不等实根，

设两个不等实根，

则，

所以函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减；

所以是函数的极小值点，

又时，，所以，

所以要使得函数存在最小值，则函数的最小值只能为，且，

即，所以，

即，解得，所以.

故答案为：.

【答案】 

【考点七】  函数极值与最值的综合问题

【典型例题7】  (2022•西南大学附属中学校高三第六次月考)已知函数.

(1)讨论函数的极值；

(2)当时，证明：恒成立.

【解析】  (1)显然的定义域为，

因为，所以，

若，则当时，，当时，，

故函数在上单调递增，在上单调递减；

故在处取得唯一的极大值，且极大值为1.

若，则当时恒成立，故函数在上单调递增，无极值.

综上，当时，的极大值为，无极小值；当时，无极值.

(2)当时，若证恒成立，只需证恒成立，

即证，

由(1)知在处取得最大值，最大值为，

所以即证，即证.

令，因为，所以，则只需证明，

令，，则，

当时，，当时，.

故在上单调递增，在上单调递减，

故，故，即.

因此当时，恒成立.

【答案】  (1)答案见解析    (2)证明见解析

【归纳总结】

(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．

(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．

(3)不等式成立(恒成立)问题中的常用结论

(1)f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，f(x)≥a成立⇒f(x)max≥a.

(2)f(x)≤b恒成立⇔f(x)max≤b，f(x)≤b成立⇔f(x)min≤b.

(3)f(x)>g(x)恒成立，令F(x)＝f(x)－g(x)，则F(x)min>0.

(4)①∀x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x1)min>g(x2)max；

②∀x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x1)min>g(x2)min；

③∃x1∈M，∃x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x1)max>g(x2)min；

④∃x1∈M，∀x2∈N，f(x1)>g(x2)⇔f(x1)max>g(x2)max.

【考点八】  导数在生活中的应用

【典型例题8】  为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k的值及f(x)的表达式；

(2)求隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．

【解析】  (1)由题设知，每年能源消耗费用为C(x)＝，由题意可知C(0)＝＝8，解得k＝40，因此C(x)＝.又隔热层的建造费用为C1(x)＝6x，

所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)．

(2)f′(x)＝6－，令f′(x)＝0，即＝6，解得x＝5或x＝－(舍去)，

当0≤x＜5时，f′(x)＜0；当5＜x≤10时，f′(x)＞0.

故当x＝5时，f(x)的值最小，最小值为f(5)＝6×5＋＝70.

所以当隔热层修建5 cm厚时，总费用最小，最小为70万元．

【答案】  (1) f(x)＝＋6x(0≤x≤10)    (2) 70万元

【归纳总结】  利用导数解决生活中的优化问题的步骤：

(1)分析实际问题中各个量之间的关系，确定实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；

(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；

(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，求出最值；

(4)回归实际问题作答．

【考点九】  不等式恒成立与存在性问题

【典型例题9】  (2022•北京市景山学校模拟)已知函数．

(1)当时，求的极值；

(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．

【解析】  (1)当时，，的定义域为，

，则.

令，则，令，则，

所以在上单调递减，在上单调递增.

当时，取得极小值且为，无极大值.

(2)对任意的恒成立，

则对任意的恒成立，

令，，所以，

则在上单调递减，在上单调递增，

所以，，

所以，则，则.

实数a的取值范围为：.

【答案】  (1)极小值是，无极大值.(2)