2023高考考点分析 第二节 三角恒等变换

这是一份2023高考考点分析 第二节 三角恒等变换，共8页。
【考点分析】　第二节 三角恒等变换【考点一】  三角函数公式的直接应用【典型例题1】  (1)(2021·高考全国甲卷)若，,则=（    ）A．      B．      C．      D．(2)(2021·高考全国乙卷文数) （    ）A．      B．      C．      D．(3)(2021·湖北枣阳模拟)若sin α＝，则sin＝(　　)A．　　 B．C．　　 D．【解析】　(1)方法一：，，，，，解得，，。故选A。方法二：不妨设，则，，，于是：，，又，，即：。(2)由题意，=，故选D。(3)∵sin α＝，∴cos α＝＝，∴sin＝sin α·cos ＋cos αsin ＝×＋×＝，故选B.【答案】　(1)A   (2)D   (3)B【归纳总结】  利用三角函数公式应注意的问题(1)使用公式求值，首先要注意公式的结构特点和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．　 【考点二】  两角和与差公式的逆用【典型例题2】  已知α为第二象限角，且tan α＋tan ＝2tan αtan －2，则sin等于(　　)A．－   B．  C．－   D．【解析】  tan α＋tan ＝2tan αtan －2⇒＝－2⇒tan＝－2，因为α为第二象限角，所以sin＝，cos＝－，则sin＝－sin＝－sin＝cossin －sincos ＝－.【答案】  C【答案】　(1)逆用公式的关键是准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式，同时，要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．(3)重视sin αcos β，cos αsin β，cos αcos β，sin αsin β的整体应用．【考点三】  公式的变形应用【典型例题3】  (2021·广西两校联考)已知sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，则log等于(　　)A．－1　　 B．－2　　　C.　　 D．2【解析】  因为sin (α＋β)＝，sin (α－β)＝，所以sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，则sin αcos β＝，cos α·sin β＝，所以＝，于是log＝log＝log55－1＝－1，故选A．【答案】  A【考点四】  三角公式中角的变换【典型例题4】  (1)已知sin α＋cos α＝，α∈，sin＝，β∈.①求sin 2α和tan 2α的值；②求cos(α＋2β)的值．(2)(2021·江西吉安白鹭洲中学联考)已知0<α<<β<π，cos＝，sin(α＋β)＝.①求sin 2β的值；②求cos的值．【解析】　(1)①由题意得(sin α＋cos α)2＝，即1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝.又2α∈，所以cos 2α＝＝，所以tan 2α＝＝.②因为β∈，β－∈，sin＝，所以cos＝，于是sin 2＝2sincos＝.又sin 2＝－cos 2β，所以cos 2β＝－，又2β∈，所以sin 2β＝，又cos2α＝＝，α∈，所以cos α＝，sin α＝.所以cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β＝×－×＝－.(2)①解法一：∵cos＝cos cos β＋sin ·sin β＝(sin β＋cos β)＝，∴cos β＋sin β＝，∴1＋sin 2β＝，∴sin 2β＝－.解法二：sin 2β＝cos＝2cos2－1＝－.②∵0<α<<β<π，∴<β－<，<α＋β<，∴sin>0，cos(α＋β)<0.∵cos＝，sin(α＋β)＝，∴sin＝，cos(α＋β)＝－.∴cos＝cos ＝cos(α＋β)·cos＋sin(α＋β)sin＝－×＋×＝.【答案】  (1)①    ②－    (2)①－     ②【归纳总结】　(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝(α＋)－(＋β)等．【考点五】  化简与求值【典型例题5】  已知tan α＝2.(1)求tan的值；(2)求的值．【解析】  (1)tan＝＝＝－3.(2)＝＝＝＝1.【答案】  (1) －3   (2) 1【考点六】  二倍角公式的活用【典型例题6】 (1)已知3π≤θ≤4π，且＋＝，则θ＝(　　)A．或　　 B．或C．或　　 D．或　　　　(2)若α∈，cos＝2cos 2α，则sin 2α＝________．【解析】(1)因为3π≤θ≤4π，所以≤≤2π，所以cos ≥0，sin ≤0，则＋＝＋＝cos －sin ＝cos(＋)＝，所以cos(＋)＝，所以＋＝＋2kπ或＋＝－＋2kπ，k∈Z，即θ＝－＋4kπ或θ＝－＋4kπ，k∈Z.因为3π≤θ≤4π，所以θ＝或，故选D． (2)由已知得(cos α＋sin α)＝2(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)，所以cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝.由cos α＋sin α＝0得tan α＝－1，因为α∈，所以tan α＞0，所以cos α＋sin α＝0不满足条件；由cos α－sin α＝两边平方得1－sin 2α＝，所以sin 2α＝.　【答案】　(1)D    (2)【归纳总结】  三角函数公式的应用技巧运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．　 【考点七】  三角恒等式的证明【典型例题7】  求证：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B；(2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos 2θ.【证明】　(1)因为左边＝－＝＝(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B)＝cos 2Acos 2B＝右边，所以等式成立．(2)法一：因为左边＝cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ＝右边，所以等式成立．法二：因为右边＝cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ＝cos2θ(1－tan2θ)＝左边，所以等式成立．【归纳总结】  证明三角恒等式实际上就是有目的地化繁为简，最后左右归一．常用方法：(1)从左边推到右边；(2)从右边推到左边；(3)找中间量，常用技巧：切化弦，降次消元，拆项拆角，“1”的代换以及公式变形等．指导思想是统一三角函数名称，统一为相同的角．　 【考点八】  三角恒等变换的简单应用【典型例题8】  请利用图1、图2中大矩形内部阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：________________________．【解析】  两个图的阴影部分面积相等，题图1中大矩形面积为S＝(cos α＋cos β)(sin α＋sin β)＝sin(α＋β)＋sin αcos α＋sin βcos β，减去四个小直角三角形的面积得S1＝S－sin αcos α－sin βcos β＝sin(α＋β)，题图2中阴影部分面积为S2＝sin αcos β＋cos αsin β.【答案】  sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β【归纳总结】  利用三角恒等变换解决实际问题的思路(1)结合具体图形引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行化简，解决最优化问题．　 (2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的范围，最后作出结论并回答问题．[提醒]　注意恰当选择自变量，并利用解直角三角形等知识表示有关线段．【考点九】  三角恒等变换的综合应用【典型例题9】  已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f(－2x)－2f2(x)在区间[0，]上的值域．【解析】　(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，∴sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－.(2)∵f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，∴g(x)＝cos(－2x)－2cos2x＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin(2x－)－1.∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.∴－≤sin(2x－)≤1，∴－2≤2sin(2x－)－1≤1，故函数g(x)＝f(－2x)－2f2(x)在区间[0，]上的值域是[－2，1]．【答案】  (1) －   (2) [－2，1]【考点十】  三角恒等变换的中参数的求解【典型例题10】  (2021·庆市第八中学月考)若函数在上单调递增，则的取值范围为(    )A． B． C． D．【解析】  ∵，∴，设，即有，只需要，解得.故选：A.【答案】  A