四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高二理科数学下学期期中联考试题（Word版附解析）

2022～2023学年度下期高中2021级期中联考

理科数学

考试时间120分钟，满分150分

注意事项： 

1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．

A．    B．    C．    D．

2．函数的导函数为

A．      B．

C．      D．

3．若可导函数满足，则

A．1    B．2    C．3    D．4

4．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线与平面平行，则实数的值为

A．         B．   

C．         D．

5．若定义在上的函数的导数的图象如图所示，则下列说法正确的是

A．函数在区间上单调递减，在区间上单调递增

B．函数在区间上单调递增，在区间上单调递减

C．函数在处取极大值，无极小值

D．函数在处取极大值，无极小值

6．若函数在点处的切线斜率为1，则

A．    B．    C．    D．

7．若关于的不等式恒成立，则的取值范围为

A．   B．   C．   D．

8．已知正四面体的棱长为，若分别是的中点，则线段的长为

A．2    B．    C．    D．

9．函数的图象大致是

A          B       C     D

10．若函数有两个极值点，则的取值范围为

A．       B．

C．或     D．

11．如图，半径为1的球是圆柱的内切球，线段是球的一条直径，点是圆柱表面上的动点，则的取值范围为

A．         B．

C．         D．

12．若关于的不等式的解集中恰有个整数，则的取值范围是

A．        B． 

C．     D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知，，则______．

14．______．

15．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是______．

16．如图，正方体的棱长为，若空间中的动点满足，，则下列命题正确的是______．（请用正确命题的序号作答）

①若，则点到平面的距离为；

②若，则二面角的平面角为；

③若，则三棱锥的体积为；

④若，则点的轨迹构成的平面图形的面积为．

三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

已知空间向量，，．

（1）若，求；

（2）若与相互垂直，求．

18．（12分）

已知函数．

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数在区间的最大值与最小值．

19．（12分）

如图，在正三棱柱中，，是的中点．

（1）求异面直线与所成角的余弦值；

（2）证明：平面平面．

20．（12分）

制作一个容积为的圆柱体容器（有底有盖，不考虑器壁的厚度），设底面半径为．

（1）把该容器外表面积表示为关于底面半径的函数；

（2）求的值，使得外表面积最小．

21．（12分）

在如图①所示的长方形中，，，是上的点且满足，现将三角形沿翻折至平面平面（如图②），设平面与平面的交线为．

（1）求二面角的余弦值；

（2）求与平面所成角的正弦值．

22．（12分）

已知函数，．

（1）求函数的导函数在上的单调性；

（2）证明：，有．

2022～2023学年度下期高中2021级期中联考

理科数学参考答案及评分标准

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．    14．    15．    16．②④

三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）

解：（1），         …………………………2分

，

即，且，，解得；    …………………………5分

（2），，      …………………………7分

又，解得．       …………………………10分

18．（12分）

解：（1），切点为，

又，，        …………………………3分

切线方程为，

即曲线在点处的切线方程为；   …………………………6分

（2）由（1）知，令，得或，令，得，

函数在区间，为增函数，在区间为减函数，  ……………………8分

又，，；      …………………………10分

又，，．     …………………………12分

19．（12分）

解：（1）如图，分别作，的中点，，连接，，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系，

，

设异面直线与所成角为，，

，，      …………………………3分

；       …………………………6分

（2），，

设平面的法向量为，

有，

取非零向量，          …………………………8分

，，

设平面的法向量为，

有，

取非零向量，            …………………………10分

，平面平面．       …………………………12分

20．（12分）

解：（1）设圆柱体水杯的高为，则，       …………………………2分

表面积，

即；        …………………………6分

（2）由（1）得令，解得，   …………………………8分

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，        …………………………10分

当时，表面积取最小值．         …………………………12分

21．（12分）

解：（1）如图，作的中点，连接，易证，

又平面平面，又平面平面，

又平面

平面，           …………………………2分

取的三等分点(靠近点)，易知，

建立分别以所在直线为轴的空间直角坐标系如图所示，  

平面，平面，，

又，平面的法向量为，且， …………………………4分

又，，

设平面的法向量为，

则，

取非零向量，          …………………………6分

设二面角的平面角为，，,

由题知，二面角的余弦值为；    …………………………7分

（2）设直线与相交于点，，平面，同理平面，

由平面公理3可得，又，即为，       …………………………10分

平面，是在平面内的投影，

是与平面所成角，

由，又，，

，

与平面所成角的正弦值为．        …………………………12分

22．（12分）

解：（1），，      …………………………2分

，令，

又，       …………………………4分

，，

，

在上单调递增，即在上单调递增；  …………………………6分

（2）要证，

即证，

不妨设函数，      …………………………8分

即证，

在上单调递增，又，

，

即在区间上单调递增，

，，命题得证．         …………………………12分

解析：

1．解：由向量加、减运算的定义可知B正确，故选B．

2．解：由求导法则可知D正确，故选D．

3．解：由导数的定义可知，故选C．

4．解：若直线与平面平行，则，即，解得，故选C．

5．解：均为导函数的性质，均错误，在处极小值，错误，故选A．

6．解：，，，解得，故选D．

7．解：构造函数，则，令，得，在区间上为减函数，在区间上为增函数，，若题设成立，则，故选B．

8．解：，又与，的夹角均为，又，

，，故选B．

9．解：由定义域为，排除B；又，令，得，的单增区间为，排除C；当时，，排除D；故选A．

10．解：，，即有两个大于的解，必须满足，且，解得，故选D．

11．解：，又，，，故选A．

12．解：，不等式可化为，令，，在为增函数，在为减函数，令，则的图象恒过，若解集恰有个整数，满足不等式且3不满足不等式，即且，

，故选C．

13．解：，故答案为．

14．解：，故答案为2．

15．解：，若在区间单调递减，则，即在恒成立，即，故答案为．

16．解：由空间向量的正交分解及其坐标表示可建立如图空间直角坐标系，由题可知向量，平面的法向量，则点与平面的距离为，故①错误；

设平面的法向量，又，，且，取非零向量，设二面角的平面角为，则，是锐角，二面角的平面角为，故②正确；

，，平面的法向量为，则点到平面的距离为，易知，则三棱锥，故③错误；

延长至点，使得，取中点，中点，

，

整理得，点在平面上，截面为边长为的正六边形，其面积，即，故④正确．故答案为②④．